备战2022年高考数学数列专项题型-第11讲 数列的奇偶性问题（含解析）

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第11讲 数列的奇偶性问题一．选择题（共5小题）1．已知数列满足，，则　　A． B． C． D．【解析】解：数列满足，，可得，则．．故选：．2．已知数列满足，， ，则数列的前2017项的和为　　A． B． C． D．【解析】解：由，，，得，，，，，累加得：，．．则．故选：．3．数列满足，则的前60项和为　　A． B． C． D．【解析】解：根据题意，数列满足，当为奇数时，有，其中当时，有，当时，有，当时，有，当时，有，则的前60项和；故选：．4．数列满足，则数列的前60项和为　　A．1860 B．5100 C．3720 D．930【解析】解：数列满足，为偶数时，，即．为奇数时，，即．相减可得：．由，可得：．可得：．则数列的前60项和．故选：．5．已知数列满足，，是数列的前项和，则　　A． B． C． D．【解析】解：数列满足，，当时，解得，所以（常数），所以数列，，，是以1为首项，2为公比的等比数列，同理数列，，，是以2为首项，2为公比的等比数列．所以．故选：．二．填空题（共4小题）6．已知数列满足，若，则　1　，前60项的和为　 　．【解析】解：数列满足，，，解得．，解得． ，有，，，，，，．从而可得，，，，，，，，从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．的前60项和为，故答案为：1，1830．7．已知数列的前项和为，，，则的值为　　．【解析】解：由，得：，，，，．把以上各式相加得：，，，则．故答案为：．8．已知数列满足，则的前50项的和为　1375　．【解析】解：当是奇数时，；当是偶数时，．则，的前50项的和，，，，，故答案为：13759．已知函数，数列满足，则　　．【解析】解：函数，数列满足，．．．．故答案为：．三．解答题（共5小题）10．已知数列满足：，，，．（1）求、、、的值；（2）设，，试求；（3）比较、、、的大小关系．【解析】解：（1）因为，，，所以，，，，，，所以、、、的值分别为：3，5，5，8；（2）由，可得，可得，可得，，，两式相减可得，化简可得，；（3），，，，则．11．已知数列的通项公式为．（1）写出这个数列的前6项，并画出图象；（2）判断7是该数列的第几项？【解析】解：（1）数列的通项公式为．这个数列的前6项，分别为：1，1，1，3，1，5．画出图象；（2）令，解得．则7是该数列的第8项．12．已知数列满足：．（Ⅰ）问数列是否为等差数列或等比数列？说明理由；（Ⅱ）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（Ⅲ）设，求数列的前项和．【解析】解：（Ⅰ），，，．（3分）因为，，，所以数列不是等差数列．又因为，所以数列也不是等比数列．（5分）（Ⅱ）（解法一）因为对任意正整数，，所以数列是首项为，公差为的等差数列，（7分）从而对．所以数列的通项公式是．（9分）（解法二）因为对任意正整数，，得，所以数列是每项均为0的常数列，从而对，所以数列的通项公式是．（7分），，所以数列是首项为，公差为的等差数列．（9分）（Ⅲ），，，也适合上式．所以数列的通项公式为．（11分）（解法一）设数列的前项和为，则当，，时，，，．（12分），．（14分）（解法二）利用待定系数法可得：对，有，，（12分）从而，，（13分）所以．（14分）13．已知数列满足：，，；（1）求、、；（2）求证：数列为等比数列，并求其通项公式；（3）求和；【解析】解：（1），，可得；，；（2）证明：，可得数列为公比为，首项为等比数列，即；（3）由（2）可得，．14．（1）设函数，且数列满足，，；求数列的通项公式．（2）设等差数列、的前项和分别为和，且，，；求常数的值及的通项公式．（3）若，其中、即为（1）、（2）中的数列、的第项，试求．【解析】解：（1）由题意：，变形得：，（1分）数列是以为公比，为首项的等比数列．（3分），即．（5分）（2）由等差数列、知：，；由得：，（6分），，，解得；（8分），和分别是等差数列、的前项和；可设，；，，即．（10分）当时，，当时，．综上得：．（12分）（3）当时，（14分）当时，．（16分）