2021年江苏省无锡市九年级上学期数学期中联考试卷含答案
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这是一份2021年江苏省无锡市九年级上学期数学期中联考试卷含答案,共20页。试卷主要包含了单项选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
九年级上学期数学期中联考试卷
一、单项选择题
1.以下方程为一元二次方程的是〔 〕
A. x2-2=0 B. ax2-2x-3=0 C. x2+y=1 D. x2- -1=0
2.关于x的一元二次方程(m-1)x2+2x+1=0有实数根,那么m的取值范围是〔 〕
A. m<2 B. m≤2 C. m<2且m≠1 D. m≤2且m≠1
3.某企业2021年初获利润300万元,到2021年初方案利润到达507万元.设这两年的年利润平均增长率为x.应列方程是〔 〕
A. 300〔1+x〕=507 B. 300〔1+x〕2=507
C. 300〔1+x〕+300〔1+x〕2=507 D. 300+300〔1+x〕+300〔1+x〕2=507
4.假设等腰三角形的两条边长分别是方程x2-7x+10=0的两根,那么等腰三角形的周长为〔 〕
A. 9 B. 10 C. 12 D. 9或12
5.⊙O的半径为1,AO=d,且关于x的方程x2-2d x+1=0有两个相等的实数根,那么点A与⊙O的位置关系是〔 〕
A. 在⊙O内 B. 在⊙O外 C. 在⊙O上 D. 无法确定
6.以下语句中,正确的选项是〔 〕
A. 经过三点一定可以作圆 B. 等弧所对的圆周角相等
C. 相等的弦所对的圆心角相等 D. 三角形的外心到三角形各边距离相等
7.正十边形的每一个外角的度数为〔 〕
A. B. C. D.
8.如图,菱形OABC的顶点A,B,C在⊙O上,过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D。假设⊙O的半径为1,那么BD的长为( )
A. 1 B. 2 C. D.
9.如图,直线a⊥b,垂足为H,点P在直线b上,PH=4cm,O为直线b上一动点,以O为圆心1cm为半径作圆,当O从点P出发以2 cm/s速度向右作匀速运动,经过t s与直线a相切,那么t为〔 〕
A. 2s B. s或2s C. 2s或 s D. s或 s
10.如图,AB为半圆O的直径,M,C是半圆上的三等分点,AB=8,BD与半圆O相切于点B.点P为 上一动点〔A,M重合〕,直线PC交BD于点D,BE⊥OC于点E,延长BE交PC于点F,那么以下结论正确的选项是:①PB=PD;② 的长为 π;③∠DBE=45°;④当P为 中点时EC=EF;⑤∠DFB=∠CBP.其中正确的个数为〔 〕
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
二、填空题
11.假设关于x的一元二次方程x2-kx-2=0的一个根为 ,那么k=________.
12.设x1 , x2是方程x2﹣3x﹣2=0的两个根,那么代数式x12+x22的值为________.
13.假设关于x的一元二次方程x2+ax+3b=0有一个根是3,那么a+b的值为________.
14.圆锥的底面半径为3cm,母线长为5cm,那么这个圆锥的侧面积是________cm2.
15.AB是半圆的直径,O为圆心,C是半圆上的点,D是 上的点,假设∠BOC=50°,那么∠D的度数为________.
16.如图,AB是圆O的弦,半径OC⊥AB于点D,且OC=5cm,DC=2cm,那么AB=________.
17.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,点O在AB上,经过点A的⊙O与BC相切于点D,交AB于点E,假设 ,那么图中阴影局部面积为________.
18.如图, AB是⊙O的直径,AB=2,∠ABC=60°,P是⊙O上一动点,D是AP的中点,连接CD,那么CD的最小值为________.
三、解答题
19.解方程:
〔1〕〔3x-1〕2= 〔x+1〕2
〔2〕x2+10x-7=0 〔用配方法〕
〔3〕x2+3x+1=0 〔用公式法〕
〔4〕〔x+5〕 〔x-1〕=7
20.如图,四边形ABCD是矩形,点E是CD的中点,
〔1〕画圆O,使该圆O过点A、B、E〔保存作图痕迹〕;
〔2〕假设AB=2,AD=3,那么〔1〕中所画圆O的半径为________.
21.关于x的一元二次方程x2+2x﹣k=0有两个不相等的实数根.
〔1〕求k的取值范围;
〔2〕假设方程的两个不相等的实数根是a,b,求 的值.
22.如图,四边形ABCD内接于⊙O,AC平分∠BAD,延长DC交AB的延长线于点E.
〔1〕假设∠ADC=86°,求∠CBE的度数;
〔2〕假设AC=EC,求证:AD=BE
23.某景区商店以2元的批发价进了一批纪念品.经调查发现,每个定价3元,每天可以能卖出500件,而且定价每上涨0.1元,其销售量将减少10件.根据规定:纪念品售价不能超过批发价的2.5倍.
〔1〕当每个纪念品定价为3.6元时,商店每天能卖出________件;
〔2〕如果商店要实现每天800元的销售利润,那该如何定价?
24.如图, 中, , , ,一动点P从点C出发沿着 方向以 的速度运动,另一动点Q从A出发沿着 边以 的速度运动,P,Q两点同时出发,运动时间为 .
〔1〕假设 的面积是 面积的 ,求t的值?
〔2〕△PCQ的面积能否为 面积的一半?假设能,求出t的值;假设不能,说明理由.
25.如图,在 中, , 是斜边 上的中线,以 为直径的 分别交 、 于点 、 ,过点 作 ,垂足为 .
〔1〕假设 的半径为 , ,求 的长;
〔2〕求证: 与 相切.
26.如图,⊙O为等边△ABC的外接圆,半径为2,点D在劣弧上运动〔不与点A,B重合〕,连接DA,DB,DC.
〔1〕求证:DC是∠ADB的平分线;
〔2〕设四边形ADBC的面积为S,线段DC的长为x,试用含x的代数式表示S;
〔3〕假设点M,N分别在线段CA,CB上运动〔不含端点〕,经过探究发现,点D运动到每一个确定的位置,△DMN的周长有最小值t,随着点D的运动,t的值会发生变化,求所有t值中的最大值.
27.三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角.
〔1〕如图1,∠E是△ABC中∠A的遥望角,假设∠A=α,那么∠E=________.〔请用含α的代数式表示〕
〔2〕如图2,四边形ABCD内接于⊙O, ,四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F,连结BF并延长交CD的延长线于点E.求证:∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角.
〔3〕如图3,在〔2〕的条件下,连结AE,AF,假设AC是⊙O的直径.求∠AED的度数.
答案解析局部
一、单项选择题
1.【答案】 A
【解析】【解答】解:A、符合一元二次方程定义,正确;
B、假设a=0,那么方程为一元一次方程,错误;
C、含有两个未知数,错误;
D、不满足整式方程,错误.
故答案为:A.
【分析】根据一元二次方程的定义“含有一个未知数且未知数的最高次数是2的整式方程叫作一元二次方程〞并结合各选项即可判断求解.
2.【答案】 D
【解析】【解答】解:因为关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有实数根,所以b2-4ac=22-4(m-1)×1≥0,解得m≤2.又因为(m-1)x2+2x+1=0是一元二次方程,所以m-1≠0.综合知,m的取值范围是m≤2且m≠1,因此此题选D.
【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0,即可得出关于m的一元一次不等式组,解之即可得出m的取值范围.
3.【答案】 B
【解析】【解答】设这两年的年利润平均增长率为x,列方程为:300〔1+x〕2=507.
故答案为:B.
【分析】此题是一道平均增长率的问题,根据公式a(1+x)n=p,a是增长开始的量,x是增长率,n是增长次数,p是增长结束到达的量,设这两年的年利润平均增长率为x,利用公式即可列出方程。
4.【答案】 C
【解析】【解答】解:方程x2-7x+10=0可变形为 ,
∴x-2=0或x-5=0,
∴ ,
由题意得:等腰三角形的两条边长分别是2和5,
假设这个等腰三角形的三边长分别是2、5、5,那么其周长=2+5+5=12;
假设这个等腰三角形的三边长分别是2、2、5,由于2+2<5,此时不能构成三角形;
所以这个等腰三角形的周长是12.
故答案为:C.
【分析】先利用分解因式法求出方程的两根,然后分两种情况并结合三角形的三边关系解答即可.
5.【答案】 C
【解析】【解答】解:∵a=1,b=−2d,c=1,
∴△=b2−4ac=〔−2d〕2−4×1×1=4d2−4=0,
解得:d=1.
那么点A在⊙O上.
故答案为:C.
【分析】关于x的方程x2−2dx+1=0有两个相等的实数根知判别式△=b2−4ac=0,从而即可得到关于d的方程,求解得出d的值,进而判断点A与⊙O的位置关系.
6.【答案】 B
【解析】【解答】解:A、经过不在同一直线上的三个点一定可以作圆,所以原命题是假命题;
B、等弧所对的圆周角相等,是真命题;
C、在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等,所以原命题是假命题;
D、三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等,所以原命题是假命题.
故答案为:B.
【分析】由确定圆的条件、圆周角定理、三角形外心的性质即可一一判断得出答案.
7.【答案】 A
【解析】【解答】解:360°÷10=36°,
故答案为:A.
【分析】利用多边形的外角性质计算即可求出值.
8.【答案】 D
【解析】【解答】解:连接 ,
四边形 是菱形,
,
,
,
,
是 的切线,
,
,
,
故答案为: .
【分析】连接OB,利用菱形的性质可证得∠AOB=60°,利用切线的性质,可证得∠DBO=90°,再利用解直角三角形求出BD的长。
9.【答案】 D
【解析】【解答】解:设圆与直线b交于A、B两点,
当O从点P出发以2 cm/s速度向右作匀速运动,OP=2t,PB=2t+1,PA=2t-1,
当PB=PH时即2t+1=4,t=1.5与直线a相切,
当PA=PH时即2t-1=4,t=2.5与直线a相切.
故答案为:D.
【分析】 设圆与直线b交于A、B两点,当点O在点H的左侧⊙O与直线a相切时,OP=PH−OH;当点O在点H的右侧⊙O与直线a相切时,OP=PH+OH,即可求解.
10.【答案】 C
【解析】【解答】解:①连接AC,并延长AC,与BD的延长线交于点H,如图1,
∵M,C是半圆上的三等分点,
∴∠BAH=30°,
∵BD与半圆O相切于点B.
∴∠ABD=90°,
∴∠H=60°,
∵∠ACP=∠ABP,∠ACP=∠DCH,
∴∠PDB=∠H+∠DCH=∠ABP+60°,
∵∠PBD=90°-∠ABP,
假设∠PDB=∠PBD,那么∠ABP+60°=90°-∠ABP,
∴∠ABP=15°,
∴P点为 的中点,这与P为 上的一动点不完全吻合,
∴∠PDB不一定等于∠ABD,
∴PB不一定等于PD,
故①错误;
②∵M,C是半圆上的三等分点,
∴∠BOC= ×180°=60°,
∵直径AB=8,
∴OB=OC=4,
∴ 的长度= ,
故②正确;
③∵∠BOC=60°,OB=OC,
∴∠ABC=60°,OB=OC=BC,
∵BE⊥OC,
∴∠OBE=∠CBE=30°,
∵∠ABD=90°,
∴∠DBE=60°,
故③错误;
④∵ M,C是半圆上的三等分点,
∴∠BPC=30°,∠COB=60°
∴△COB为等边三角形,
∴∠OBC=60°
又CF⊥OC,
∴∠CBF=30°,
又∠PCB=∠BCF,
∴△PCB∽△BCF,
∴∠CFB=∠CBP,
又P为 的中点,
∴∠PBC=45°,
∴∠CFE=45°,
又∠CEF=90°,
∴∠FCE=45°,
∴EF=EC,
故④ 正确;
⑤由④可得出,∠DFB=∠CBP正确,
故⑤ 正确.
∴②④ ⑤正确.
故答案为:C.
【分析】①连接AC,并延长AC,与BD的延长线交于点H,假设PD=PB,得出P为 的中点,与实际不符,即可判定正误;②先求出∠BOC,再由弧长公式求得 的长度,进而判断正误;③由∠BOC=60°,得△OBC为等边三角形,再根据三线合一性质得∠OBE,再由角的和差关系得∠DBE,便可判断正误;④通过条件可证明△ BCF∽△ PCB,可得到∠ CFE=∠ FCE,便可判断正误;⑤通过④可得∠DFB=∠CBP.
二、填空题
11.【答案】 -1
【解析】【解答】解:将x=1代入原方程可得:1-k-2=0,
解得k=-1.
故答案为:-1.
【分析】由题意把x=1代入一元二次方程可得关于k的方程,解方程即可求解.
12.【答案】 13
【解析】【解答】解:根据题意得x1+x2=3,x1x2=﹣2,
所以x12+x22=〔x1+x2〕2﹣2x1x2
=32﹣2×〔﹣2〕=13.
故答案为:13.
【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=3,x1x2=﹣2,再利用完全平方公式将x12+x22变形为〔x1+x2〕2﹣2x1x2 , 然后利用整体代入的方法计算.
13.【答案】 -3
【解析】【解答】解:把x=3代入方程x2+ax+3b=0得9+3a+3b=0,
∴a+b=-3.
故答案为:-3.
【分析】把x=3代入原方程得9+3a+3b=0,然后两边同时除以3即可得出答案.
14.【答案】 15π
【解析】【解答】解:圆锥的侧面积=2π×3×5÷2=15π.
故答案是:15π.
【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2,把相应数值代入即可求解.
15.【答案】 115°
【解析】【解答】解:连接BD,如图,
∵AB是半圆的直径,
∴ ,
∵ ,
∴ .
故答案为: .
【分析】连接BD,如图,利用直径所对的圆周角等于90°得到 , 根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得出,然后计算 即可.
16.【答案】 8
【解析】【解答】解:连接OA,
∵半径OC⊥AB,
∴∠ODA=90°,AD=BD,
由题意得,OD=OC−CD=3,
在Rt△OAD中,AD= =4,
∴AB=2AD=8,
故答案为:8.
【分析】连接OA,根据垂径定理得到∠ODA=90°,AD=BD,根据勾股定理求出AD,从而即可得出答案.
17.【答案】 8-2π
【解析】【解答】解:连结OD,过O作OF⊥AC于F,
∵⊙O与BC相切于点D,
∴OD⊥BC,
∵∠C=90°,
∴四边形ODCF为矩形,
∴OF=DC=2 ,
∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,
∴∠BAC=45º,
∴OF=AF=2 ,
由勾股定理OA= ,
∴OA=OD=4,
∵OD∥AC,
∴∠AOD=∠BAC=45º,
在Rt△OBD中,BD=OD=4,
S△BOD= ,
S扇形OED= ,
S阴影= S△BOD- S扇形OED=8- .
故答案为:8- .
【分析】连结OD,过O作OF⊥AC于F,先证四边形ODCF为矩形,解决OF=DC,再用勾股定理求半径OA,确定∠BOD大小,求S△BOD , 与S扇形OED , 最后计算S阴影= S△BOD- S扇形OED即可.
18.【答案】
【解析】【解答】解:连接OD,如下列图:
∵点D是AP的中点,
∴OD⊥AP,
∴动点D是以OA为直径的圆的运动轨迹,取OA的中点E,连接CE,交⊙E于点 ,那么CD的最小值为 的长,连接AC,过点C作CF⊥AB交于点F,如下列图:
∴∠CFB=∠CFA=90°,
∵AB是直径,
∴∠ACB=90°,
∵∠ABC=60°,
∴∠CAB=30°,∠FCB=30°,
∵AB=2,
∴OA=OB=BC=1,
∴AE=OE= ,
在Rt△CFB中,BF= , ,
∴EF=1,
∴在Rt△CFE中, ,
∴ ,即CD的最小值为 ;
故答案为: .
【分析】连接OD,那么有OD⊥AP,进而可得动点D是以OA为直径的圆的运动轨迹,然后取OA的中点E,连接CE,最后根据圆的最值问题进行求解即可.
三、解答题
19.【答案】 〔1〕解:3x—1=x+1,3x—1=-x-1,
x1=1, x2=0,
〔2〕解:〔x+5〕2=32,
x1= ,x2= ,
〔3〕解:△=9-4=5 ,
,
x1= , ,
〔4〕解:x2+4x-12=0,
x1=2 x2=-6.
【解析】【分析】〔1〕利用直接开平方法进行求解一元二次方程即可;
〔2〕利用配方法解方程,①移项,将常数项移到方程的右边,②配方,方程的两边都加上一次项系数一半的平方25,左边利用完全平方公式分解因式,右边合并同类项,然后利用直接开平方法求解即可;
〔3〕利用公式法解一元二次方程,先算出方程根的判别式的值,由判别式的值大于0知方程有两个不相等的实数根,然后直接利用求根公式x=即可算出方程的根;
〔4〕首先将方程整理成一般形式,然后将方程的左边利用十字相乘法分解因式,根据两个因式的乘积等于0,那么这两个因式至少有一个为0,从而将方程降次为两个一元一次方程,解一元一次方程即可求出方程的解.
20.【答案】 〔1〕解:分以下三步:
①连接AE,
②作线段AB、AE的垂直平分线,两直线相交于点O,
③以点O为圆心、OA长为半径画圆,
那么圆O即为所作,如下列图:
〔2〕
【解析】【解答】解:〔2〕连接OA,
由〔1〕可知, 垂直平分AB,
,
四边形ABCD是矩形,点E是CD的中点,
点E一定在OF上,
四边形ADEF是矩形,
,
设圆O的半径为r,那么 ,
,
在 中, ,即 ,
解得 ,
即圆O的半径为 .
故答案为:.
【分析】〔1〕先连接AE,再分别作AB、AE的垂直平分线,两直线相交于点O,然后以点O为圆心、OA长为半径画圆即可得;
〔2〕先根据矩形的性质得出点E一定在OF上,再根据垂直平分线的定义、矩形的判定与性质分别可得 ,然后利用勾股定理即可得.
21.【答案】 〔1〕解:∵方程有两个不相等的实数根,
∴△=b2-4ac=4+4k>0,
解得k>-1.
∴k的取值范围为k>-1;
〔2〕解:由根与系数关系得a+b=-2,a•b=-k,
= = .
【解析】【分析】〔1〕根据方程有两个不相等的实数根可得△>0,从而列出不等式,解不等式求出k的取值范围;
〔2〕由根与系数的关系可得a+b=-2,a•b=-k,代入整理后的代数式,计算即可.
22.【答案】 〔1〕解:∵四边形 ABCD 内接于⊙O,∴∠ADC+∠ABC=180°,∵∠CBE+∠ABC=180°,∴∠ADC=∠CBE,
又∵∠ADC=86°,
∴∠CBE=86°.
〔2〕证明:∵AC=EC,∴∠E=∠CAE,∵AC 平分∠BAD,∴∠DAC=∠CAB,∴∠DAC=∠E,又∵四边形 ABCD 内接于⊙O,
∴∠ADC+∠ABC=180°,∵∠CBE+∠ABC=180°,∴∠ADC=∠CBE,
在△ ADC 和△ EBC 中
∴△ADC≌△EBC〔AAS〕,
∴AD=BE.
【解析】【分析】〔1〕根据圆内接四边形性质和邻补角定义可得∠ADC=∠CBE,结合条件即可得出答案.
〔2〕根据等腰三角形性质和角平分线定义可得∠DAC=∠E,由〔1〕知∠ADC=∠CBE,根据全等三角形判定AAS可得△ADC≌△EBC,再由全等三角形性质即可得证.
23.【答案】 〔1〕440
〔2〕解:设实现每天800元利润的定价为每件x元,由题意得: ,
解得:x1=4,x2=6,
∵售价不能超过批发价的2.5倍,即2.5×2=5,
∴x2=6不合题意,舍去,得x=4,
∴应定价每件4元,才可获得800元的利润.
【解析】【解答】解:〔1〕∵每个定价3元,每天可以能卖出500件,而且定价每上涨0.1元,其销售量将减少10件,
∴当每个纪念品定价为3.6元时,商店每天能卖出: (件);
故答案为:440;
【分析】〔1〕根据上涨的价格与减少的数量之间的关系得出答案;
〔2〕根据总利润=单件利润×数量得出方程,从而得出答案,然后根据售价不能超过批发价的2.5倍进行舍根.
24.【答案】 〔1〕解:由,可得
解得
t=2
故当 时 的面积为 面积的 ;
〔2〕解:当 时,
,
整理得 ,
,
∴此方程没有实数根,
∴ 的面积不可能是 面积的一半.
【解析】【分析】(1)根据三角形面积的关系列出方程求t;
(2) 根据三角形面积的关系列出方程求t.根据根的判别式求解的情况.
25.【答案】 〔1〕解:连接 、 ,
,
.
为 的斜边 的中线,由于直角三角形斜边的中线等于斜边的一半,
, , ,
为圆 的直径. ,即 ,
由于等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合,
.
〔2〕证明: 、 为 、 的中点,由于三角形中位线平行于底边,
,
.
,
,
即 .
又 为半径
与圆 相切.
【解析】【分析】〔1〕根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半,可求得 的长度,再根据勾股定理,可求得 的长度. 根据圆的直径对应的圆周角为直角,可知 ,根据等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合,可求得 的长.〔2〕根据三角形中位线平行于底边,可知 ,再根据 ,可知 ,那么可知 与 相切.
26.【答案】 〔1〕证明:△ABC是等边三角形,
∠BAC=∠ABC=60º,
BC孤所对圆周角相等,
∠BDC=∠BAC=60º,
AC弧所对圆周角相等,
∠ADC=∠ABC=60º,
∠BDC=∠ADC,
AD平分∠ADB,
〔2〕解:如下列图,延长DA到点E,使EA=DB,
∴△ABC为等边三角形,
∴∠BAC=∠ABC=60º,AC=BC,
∴∠ADC=∠BDC=∠BAC=60º,
在△ADB中,
∠DAB+∠DBA=180º-∠ADC-∠BDC=60º,
那么∠EAC=180º-∠BAC-∠DAB=180º-60º-(60º-∠DAB)=60º+∠DBA=∠DBC,
在△DBC和△EAC中,
因为DB=EA,∠DBC=∠EAC,BC=AC,
△DBC≌△EAC〔SAS〕,
∴S四边形ADBC=S△DEC , DC=EC,∠ADC=60º,
△DEC为等边三角形,
S= ,
⊙O为等边△ABC的外接圆,半径为2,
边长为2×2×cos30º=2 ,
那么2
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