备战2022 中考数学 人教版 第二十讲 圆 的 认 识练习题

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 第二十讲　圆 的 认 识圆的对称性、垂径定理及其推论1．对称性：圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．__      __都是它的对称轴，__      __是它的对称中心．2．垂径定理及其推论1．注意“知二推三”：一条直线满足：①过圆心，②垂直于弦，③平分弦，④平分弦所对优弧，⑤平分弦所对劣弧，这五个结论中的两个，可以推得其他三个结论成立．2．注意“非直径”条件：一条直径所平分的弦不能是直径，否则推论不成立．3．注意方程思想：在运用垂径定理求线段的长度时，常将未知的一条线段设为x，利用勾股定理构造关于x的方程解决问题，这是一种用代数方法解决几何问题的解题策略．1．注意成立的条件：圆心角、弧、弦之间的关系定理及推论成立的大前提是“在同圆或等圆中”．2．注意推出的依据：圆心角、弧、弦之间的关系定理及推论，都是来源于“圆的旋转不变性”．即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．圆心角、弧、弦之间的关系1．一条弦所对应的弧有优弧、劣弧之分，因此所对的圆周角也有两种情况：①优弧所对的圆周角是钝角；②劣弧所对的圆周角是锐角．2．一条弧只对应一个圆心角，却对应无数个圆周角．3．解决与圆有关的角度计算问题，一般见角寻找它所对的弧，见弧寻找它所对的角，通过“弧的中介作用”把已知角和未知角联系起来．圆周角定理及其推论圆内接四边形的性质圆内接四边形的对角__      __，如图，∠A＋∠BCD＝__      __，∠B＋∠D＝180°.1．圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角．(     )2．圆内接平行四边形是矩形．(     )3．平分弦的直径垂直于弦．(     )4．一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．(     )5．如果两条弦相等，那么它们所对的圆周角相等．(     )考点一　垂径定理及其推论【典例1】(2021·鄂州中考)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1.筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2.已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是(     )A．1米　     B．(4－)米C．2米      D．(4＋)米【例题变式】(变换条件与结论)(2020·青海中考)已知⊙O的直径为10 cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝8 cm，CD＝6 cm，则AB与CD之间的距离为__      __cm.垂径定理基本图形计算中的“四变量”“两关系”1．四变量：如图，设弦长为a，圆心到弦的距离(弦心距)为d，半径为r，弧的中点到弦的距离(弓形高)为h，这四个变量知任意两个即可求其他两个．2.两关系：①()2＋d2＝r2；②h＋d＝r.注意：计算时常通过作半径或过圆心作弦的垂线段来构造直角三角形．1．(2020·黔东南州中考)如图，⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM∶OC＝3∶5，则AB的长为(     )A．8　　　　B．12　　　　C．16　　　　D．22．(2021·青海中考)如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，AB＝16厘米．若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为(     )A．1.0厘米/分    B．0.8厘米/分C．1.2厘米/分    D．1.4厘米/分3．(2021·南京中考)如图，AB是⊙O的弦，C是的中点，OC交AB于点D.若AB＝8 cm，CD＝2 cm，则⊙O的半径为__      __cm.4．(2020·牡丹江中考)在半径为的⊙O中，弦AB垂直于弦CD，垂足为P，AB＝CD＝4，则S△ACP＝__      __．考点二　圆心角、弧、弦之间的关系【典例2】(2020·福建中考)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝CD，A为中点，∠BDC＝60°，则∠ADB等于(     )A．40°    B．50°C．60°    D．70°圆心角、弧、弦三者之间的关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等；在具体应用上述关系解决问题时，要根据需要选择其有关部分．1．(2020·眉山中考)如图，四边形ABCD的外接圆为⊙O，BC＝CD，∠DAC＝35°，∠ACD＝45°，则∠ADB的度数为(     )A．55°    B．60°    C．65°    D．70°2．(2019·辽阳中考)如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且点B是的中点，BD交OC于点E，∠AOC＝100°，∠OCD＝35°，那么∠OED＝__      __．3.(2021·临沂中考)如图，已知在⊙O中，＝＝，OC与AD相交于点E.求证：(1)AD∥BC；(2)四边形BCDE为菱形．考点三　圆周角定理及推论【典例3】(2020·河池中考)如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E都在⊙O上，∠1＝55°，则∠2＝__      __°.【例题变式】(变换条件与结论)(2019·南京中考)如图，⊙O的弦AB，CD的延长线相交于点P，且AB＝CD.求证：PA＝PC.在解决与圆有关的角度的相关计算时，一般先判断角是圆周角还是圆心角，再转化成同弧所对的圆周角或圆心角，利用同弧所对的圆周角相等，同弧所对的圆周角是圆心角的一半等关系进行求解．1．(2021·白银中考)如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，AB＝CD，∠AOB＝42°，则∠CED＝(     )A．48°    B．24°    C．22°    D．21°2．(2020·镇江中考)如图，AB是半圆的直径，C，D是半圆上的两点，∠ADC＝106°，则∠CAB等于(     )A．10°    B．14°    C．16°    D．26°3．(2021·黑龙江中考)如图，在⊙O中，AB是直径，弦AC的长为5 cm，点D在圆上且∠ADC＝30°，则⊙O的半径为__      __cm.考点四　圆内接四边形的性质【典例4】(2021·海南中考)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接AE.若∠BCD＝2∠BAD，则∠DAE的度数是(     )A．30°　　　　　 B．35°C．45°        D．60°圆内接四边形的角的“两种”关系1．对角互补，若四边形ABCD为⊙O的内接四边形，则∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°.2．任一外角与其相邻的内角的对角相等，简称圆内接四边形的外角等于其内对角．1．(2020·张家界中考)如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD为120°，则∠BOD的度数为(     )A．100°　　　B．110°　　　C．120°　　　D．130°2．(2019·盐城中考)如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，且为50°，则∠E＋∠C＝__      __°.3.(2021·苏州中考)如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠1＝∠2，延长BC到点E，使得CE＝AB，连接ED.(1)求证：BD＝ED；(2)若AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，求tan ∠DCB的值．人教九年级上册　P89　T5如图，⊙O中，OA⊥BC，∠AOB＝50°，求∠ADC的度数． (变换条件)(2020·荆门中考)如图，⊙O中，OC⊥AB，∠APC＝28°，则∠BOC的度数为(     )A.14°　　　　B．28°　　　　C．42°　　　　D．56°(变换问法)(2020·十堰中考)如图，点A，B，C，D在⊙O上，OA⊥BC，垂足为E.若∠ADC＝30°，AE＝1，则BC＝(     )A．2　　B．4　　C．　　D．2