江苏省南通一中2021-2022学年九年级上学期10月调研考试数学【试卷+答案】

这是一份江苏省南通一中2021-2022学年九年级上学期10月调研考试数学【试卷+答案】，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江苏省南通一中九年级（上）调研数学试卷（10月份）
一、选择题：
1．二次函数y＝（x﹣1）2+4的顶点坐标是（　　）
A．（1，4） B．（﹣1，4） C．（1，﹣4） D．（﹣1，﹣4）
2．二次函数y＝x2﹣2x﹣3不具备的性质是（　　）
A．开口向上 B．对称轴是x＝1
C．y随x增大而增大 D．与x轴有交点
3．函数y＝（a﹣3）x|a﹣1|+（a﹣1）x+3的图象是抛物线，则a的值是（　　）
A．﹣1或3 B．﹣1 C．3 D．a≠3
4．若点A（﹣2，y1）、B（1，y2）、C（4，y3）在二次函数y＝x2+k的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2
5．将抛物线y＝2（x﹣1）2﹣3向右移动2个单位，再向下移动3个单位，得到的抛物线的解析式为（　　）
A．y＝2（x+1）2 B．y＝2（x+1）2﹣6
C．y＝2（x﹣3）2 D．y＝2（x﹣3）2﹣6
6．在学校运动会上，初三（5）班的运动员掷铅球，铅球的高y（m）与水平距离x（m）之间函数关系式为y＝﹣0.2x2+1.6x+1.8，则此运动员的成绩是（　　）
A．10m B．4m C．5m D．9m
7．若二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣2，0）和（3，0），则方程ax2+bx+c＝0的解为（　　）
A．x1＝﹣3，x2＝﹣2 B．x1＝2，x2＝3
C．x1＝﹣2，x2＝3 D．x1＝﹣3，x2＝2
8．一次函数y＝ax+b（a≠0）与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
9．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，下列结论：
①abc＞0；②2a+b＝0；③a﹣b+c＞0；④当x≠1时，a+b＞ax2+bx；⑤4ac＜b2．
其中正确的有（　　）个

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．定义：在平面直角坐标系中，点P（x，y）的横、纵坐标的绝对值之和叫做点P（x，y）的勾股值，记[P]＝|x|+|y|．若抛物线y＝ax2+bx+1与直线y＝x只有一个交点C，已知点C在第一象限，且2≤[C]≤4，令t＝2b2﹣4a+2020，则t的取值范围为（　　）
A．2017≤t≤2018 B．2018≤t≤2019
C．2019≤t≤2020 D．2020≤t≤2021
二、填空题
11．已知二次函数y＝（x+1）（x﹣a）的对称轴为直线x＝2，则a的值是　 　．
12．已知二次函数y＝x2﹣（m﹣2）x+4的图象的顶点在x轴上，则m的值是 　 　．
13．在平面直角坐标系中，与抛物线y＝2x2﹣3x+1关于x轴对称的抛物线的解析式为 　 　．
14．已知二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y＝mx+n的图象交于A、B两点，其坐标为A（﹣2，﹣2）；B（3，1）：则y1＞y2时，x的取值范围是　 　．

15．已知函数y＝|x2﹣3|的大致图象如图所示，如果方程|x2﹣3|＝m（m为实数）有4个不相等的实数根，则m的取值范围是 　 　．

16．某市民广场有一个直径16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头（喷水头高度忽略不计），各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物OA的顶端A处汇合，水柱离中心3米处达最高5米，如图所示建立直角坐标系．王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的他站立时必须在离水池中心O　 　米以内．

17．已知二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣2，则m的值是　 　．
18．对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点，如果二次函数y＝﹣x2+2x+c有两个相异的不动点x1，x2，且x1＜1＜x2，则c的取值范围是 　 　．
三、解答题
19．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示．
（1）求b、c的值；
（2）求y的最大值；
（3）写出当y＜0时，x的取值范围．

20．如图，若二次函数y＝x2﹣x﹣2的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）若P为二次函数图象上一点，且S△ABP＝6，求点P的坐标．

21．把二次函数y＝x2+kx+c的图象经过（1，0）与（2，5）两点．
（1）求这个函数的解析式；
（2）求抛物线与坐标轴的交点坐标；
（3）求抛物线的顶点坐标和对称轴．
22．把抛物线C1：y＝x2+2x+3先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线C2．
（1）直接写出抛物线C2的函数关系式；
（2）动点P（a，﹣6）能否在抛物线C2上？请说明理由；
（3）若点A（m，y1），B（n，y2）都在抛物线C2上，且m＜n＜0，比较y1，y2的大小，并说明理由．
23．如图，已知直线y＝x+1与抛物线y＝ax2+2x+c相交于点A（﹣1，0）和点B（2，m）两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点P是位于直线AB上方抛物线上的一动点，当△PAB的面积S最大时，求此时△PAB的面积S及点P的坐标．

24．某超市购进一批牛肉销售，经过还价，实际价格每千克比原来少2元，发现原来买这批牛肉32千克的钱，现在可买33千克．
（1）现在实际购进这批牛肉每千克多少元？
（2）若这批牛肉的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足如图所示的一次函数关系．求y与x之间的函数关系式；
（3）这批牛肉的销售单价定为多少时，能获得最大利润？最大利润是多少？（利润＝销售收入﹣进货金额）

25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3经过B（﹣1，0）、C（3，0）两点．
（1）求抛物线的解析式及顶点A的坐标；
（2）在二次函数的图象位于x轴上方的部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过点M、N作x轴的垂线，分别交x轴于点H、G．
①当四边形MNGH为正方形时，求MN的长；
②当四边形MNGH为矩形时，求矩形MNGH周长的最大值．

26．若一次函数y＝kx+m的图象经过二次函数y＝ax2+bx+c的顶点，我们则称这两个函数为“丘比特函数组”
（1）请判断一次函数y＝﹣3x+5和二次函数y＝x2﹣4x+5是否为“丘比特函数组”，并说明理由．
（2）若一次函数y＝x+2和二次函数y＝ax2+bx+c为“丘比特函数组”，已知二次函数y＝ax2+bx+c顶点在二次函数y＝2x2﹣3x﹣4图象上并且二次函数y＝ax2+bx+c经过一次函数y＝x+2与y轴的交点，求二次函数y＝ax2+bx+c的解析式；
（3）当﹣3≤x≤﹣1时，二次函数y＝x2﹣2x﹣4的最小值为a，若“丘比特函数组”中的一次函数y＝2x+3和二次函数y＝ax2+bx+c（b、c为参数）相交于PQ两点请问PQ的长度为定值吗？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

2021-2022学年江苏省南通一中九年级（上）调研数学试卷（10月份）
参考答案与试题解析
一、选择题：
1．二次函数y＝（x﹣1）2+4的顶点坐标是（　　）
A．（1，4） B．（﹣1，4） C．（1，﹣4） D．（﹣1，﹣4）
【分析】已知解析式为抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．
【解答】解：y＝（x﹣1）2+4是抛物线解析式的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，
顶点坐标为（1，4），
故选：A．
【点评】主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法．
2．二次函数y＝x2﹣2x﹣3不具备的性质是（　　）
A．开口向上 B．对称轴是x＝1
C．y随x增大而增大 D．与x轴有交点
【分析】根据二次函数的性质可得出答案．
【解答】解：A、a＝1＞0，开口向上，故A不符合题意；
B、y＝x2﹣2x﹣3对称轴为x＝1，故B不符合题意；
C、因y＝x2﹣2x﹣3对称轴为x＝1，x＞1时y随x的增大而增大，故C符合题意；
D、因为Δ＝16＞0，所以二次函数y＝x2﹣2x﹣3与x轴有两个交点，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，熟悉二次函数对称轴、顶点、与x轴交点是解决此类题的关键．
3．函数y＝（a﹣3）x|a﹣1|+（a﹣1）x+3的图象是抛物线，则a的值是（　　）
A．﹣1或3 B．﹣1 C．3 D．a≠3
【分析】根据二次函数的定义解答即可．
【解答】解：由题意可得，
，
解得：a＝﹣1，
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是理解二次函数定义并且能够应用．
4．若点A（﹣2，y1）、B（1，y2）、C（4，y3）在二次函数y＝x2+k的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2
【分析】由抛物线开口向上且对称轴为直线x＝3知离对称轴水平距离越远，函数值越大，据此求解可得．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+k中a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，对称轴为y轴．
∴离对称轴水平距离越远，函数值越大，
∵点A（﹣2，y1）、B（1，y2）、C（4，y3）在二次函数y＝x2+k的图象上，
∴点C（4，y3）离对称轴水平距离最远，点B（1，y2）离对称轴水平距离最近，
∴y2＜y1＜y3．
故选：B．
【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质．
5．将抛物线y＝2（x﹣1）2﹣3向右移动2个单位，再向下移动3个单位，得到的抛物线的解析式为（　　）
A．y＝2（x+1）2 B．y＝2（x+1）2﹣6
C．y＝2（x﹣3）2 D．y＝2（x﹣3）2﹣6
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：将抛物线y＝2（x﹣1）2﹣3向右移动2个单位，再向下移动3个单位后得到抛物线的解析式为：y＝﹣2（x﹣1﹣2）2﹣3﹣3，
即y＝﹣2（x﹣3）2﹣6；
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
6．在学校运动会上，初三（5）班的运动员掷铅球，铅球的高y（m）与水平距离x（m）之间函数关系式为y＝﹣0.2x2+1.6x+1.8，则此运动员的成绩是（　　）
A．10m B．4m C．5m D．9m
【分析】铅球落地才能计算成绩，此时y＝0，即y＝﹣0.2x2+1.6x+1.8＝0，解方程即可．在实际问题中，注意负值舍去．
【解答】解：由题意可知，把y＝0代入解析式得：
y＝﹣0.2x2+1.6x+1.8＝0，
解得x1＝9，x2＝﹣1（舍去），
即该运动员的成绩是9米．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的实际应用，搞清楚铅球落地时，即y＝0，测量运动员成绩，也就是求x的值，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
7．若二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣2，0）和（3，0），则方程ax2+bx+c＝0的解为（　　）
A．x1＝﹣3，x2＝﹣2 B．x1＝2，x2＝3
C．x1＝﹣2，x2＝3 D．x1＝﹣3，x2＝2
【分析】利用抛物线与x轴的交点问题确定方程ax2+bx+c＝0的解．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣2，0）和（3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣2，x2＝3．
故选：C．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
8．一次函数y＝ax+b（a≠0）与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据一次函数的性质和二次函数的性质，由函数图象可以判断a、b的正负情况，从而可以解答本题．
【解答】解：在A中，由一次函数图象可知a＞0，b＞0，二次函数图象可知，a＜0，b＜0，故选项A错误；
在B中，由一次函数图象可知a＞0，b＞0，二次函数图象可知，a＞0，b＜0，故选项B错误；
在C中，由一次函数图象可知a＜0，b＞0，二次函数图象可知，a＜0，b＜0，故选项C错误；
在D中，由一次函数图象可知a＜0，b＜0，二次函数图象可知，a＜0，b＜0，故选项D正确；
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的图象和一次函数的图象，解题的关键是明确一次函数和二次函数的性质．
9．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，下列结论：
①abc＞0；②2a+b＝0；③a﹣b+c＞0；④当x≠1时，a+b＞ax2+bx；⑤4ac＜b2．
其中正确的有（　　）个

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴右侧，能得到：a＜0，c＞0，﹣＞0，b＞0，
∴abc＜0，故①错误；
②∵对称轴x＝1，
∴﹣＝1，
∴2a+b＝0，故②正确．
③当x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，故③错误．
④∵抛物线开口向下，对称轴x＝1，
∴当x＝1时，函数有最大值y＝a+b+c，
∴a+b+c＞ax2+bx+c（x≠1），
即a+b＞ax2+bx，故④正确；
⑤图象与x轴有2个不同的交点，依据根的判别式可知b2﹣4ac＞0，即4ac＜b2．故⑤正确；
综上所述正确的个数为3个
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
10．定义：在平面直角坐标系中，点P（x，y）的横、纵坐标的绝对值之和叫做点P（x，y）的勾股值，记[P]＝|x|+|y|．若抛物线y＝ax2+bx+1与直线y＝x只有一个交点C，已知点C在第一象限，且2≤[C]≤4，令t＝2b2﹣4a+2020，则t的取值范围为（　　）
A．2017≤t≤2018 B．2018≤t≤2019
C．2019≤t≤2020 D．2020≤t≤2021
【分析】联立方程组求得C点坐标，并由只有一个交点条件求得a、b的关系式，再由新定义和2≤[C]≤4列出b的不等式，求得b的取值范围，由t＝2b2﹣4a+2020，得出t关于b的函数解析式，再根据函数的性质求得t的取值范围．
【解答】解：由题意方程组只有一组实数解，
消去y得ax2+（b﹣1）x+1＝0，
由题意得Δ＝0，
∴（b﹣1）2﹣4a＝0，
∴4a＝（b﹣1）2，即a＝，
∴方程ax2+（b﹣1）x+1＝0可以化为，
即（b﹣1）2x2+4（b﹣1）x+4＝0，
∴x1＝x2＝，
∴C（，），
∵点C在第一象限，
∴1﹣b＞0，
∵2≤[C]≤4，
∴2≤≤4，
∴1≤≤2，
解得：﹣1≤b≤0，
∵t＝2b2﹣4a+2020，
∴t＝2b2﹣（b﹣1）2+2020＝b2+2b+2019＝（b+1）2+2018，
∵﹣1≤b≤0，
∴t随b的增大而增大，
∵b＝﹣1时，t＝2018，
t＝0时，t＝2019，
∴2018≤t≤2019．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质、二元二次方程组、一元一次不等式组等知识，解题的关键是理解题意，学会把问题转化为方程或方程组解决，学会构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题，属于中考压轴题．
二、填空题
11．已知二次函数y＝（x+1）（x﹣a）的对称轴为直线x＝2，则a的值是　5　．
【分析】先将题目中的函数解析式化为一般形式，然后根据对称轴x＝，即可求得相应的a的值．
【解答】解：∵二次函数y＝（x+1）（x﹣a）＝x2+（﹣a+1）x﹣a，它的对称轴为直线x＝2，
∴﹣＝2，
解得，a＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
12．已知二次函数y＝x2﹣（m﹣2）x+4的图象的顶点在x轴上，则m的值是 　6或﹣2　．
【分析】根据二次函数y＝x2﹣（m﹣2）x+4的图象的顶点在x轴上，可知该函数顶点的纵坐标为0，即＝0，然后求解即可．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣（m﹣2）x+4的图象的顶点在x轴上，
∴＝0，
解得m1＝6，m2＝﹣2，
故答案为：6或﹣2．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确二次函数图象顶点在x轴上时，顶点的纵坐标都是0．
13．在平面直角坐标系中，与抛物线y＝2x2﹣3x+1关于x轴对称的抛物线的解析式为 　y＝﹣2x2+3x﹣1　．
【分析】利用原抛物线上的关于x轴对称的点的特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数就可以解答．
【解答】解：∵抛物线y＝2x2﹣3x+1关于x轴对称的抛物线为﹣y＝2x2﹣3x+1，
∴所求解析式为：y＝﹣2x2+3x﹣1．
故答案为：y＝﹣2x2+3x﹣1．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，解决本题的关键是抓住关于x轴对称的坐标特点．
14．已知二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y＝mx+n的图象交于A、B两点，其坐标为A（﹣2，﹣2）；B（3，1）：则y1＞y2时，x的取值范围是　﹣2＜x＜3　．

【分析】根据图象即可求解．
【解答】解：∵二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y＝mx+n的图象交于A（﹣2，﹣2）、B（3，1）两点
∴观察图象知：y1＞y2时，x的取值范围是﹣2＜x＜3
故答案为：﹣2＜x＜3
【点评】本题考查的是二次函数与不等式，利用数形结合求解是解答此题的关键．
15．已知函数y＝|x2﹣3|的大致图象如图所示，如果方程|x2﹣3|＝m（m为实数）有4个不相等的实数根，则m的取值范围是 　0＜m＜3　．

【分析】根据函数y＝|x2﹣3|，可以得到该函数与y轴的交点，再根据函数图象，即可写出方程|x2﹣3|＝m（m为实数）有4个不相等的实数根时，m的取值范围．
【解答】解：∵函数y＝|x2﹣3|，当x＝0时，y＝3，
∴该函数与y轴的交点坐标为（0，3），
由图象可得，方程|x2﹣3|＝m（m为实数）有4个不相等的实数根时，m的取值范围是0＜m＜3，
故答案为：0＜m＜3．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题，利用数形结合的思想解答．
16．某市民广场有一个直径16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头（喷水头高度忽略不计），各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物OA的顶端A处汇合，水柱离中心3米处达最高5米，如图所示建立直角坐标系．王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的他站立时必须在离水池中心O　7　米以内．

【分析】根据题意，可以设出OA右侧的抛物线解析式，然后根据题意，可以求得抛物线的解析式，再令y＝1.8求出x的值，再结合函数图象，即可得到王师傅应站在离中心O多少米的范围内才不会被淋湿．
【解答】解：设OA右侧的抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+5，
∵某市民广场有一个直径16米的圆形喷水池，
∴该抛物线过点（8，0），
∴0＝a（8﹣3）2+5，得a＝﹣，
∴OA右侧的抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣3）2+5＝x2++，
当y＝1.8时，1.8＝﹣（x﹣3）2+5，得x1＝7，x2＝﹣1，
∵各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物OA的顶端A处汇合，点A的坐标为（0，），
∴为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心O7米以内，
故答案为：7．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
17．已知二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣2，则m的值是　﹣1.5或　．
【分析】分类讨论抛物线对称轴的位置确定出m的范围即可．
【解答】解：由二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），得到对称轴为直线x＝m，抛物线开口向上，
当m＞2时，由题意得：当x＝2时，y最小值为﹣2，代入得：4﹣4m＝﹣2，即m＝1.5＜2，不合题意，舍去；
当﹣1≤m≤2时，由题意得：当x＝m时，y最小值为﹣2，代入得：﹣m2＝﹣2，即m＝或m＝﹣（舍去）；
当m＜﹣1时，由题意得：当x＝﹣1时，y最小值为﹣2，代入得：1+2m＝﹣2，即m＝﹣1.5，
综上，m的值是﹣1.5或，
故答案为：﹣1.5或．
【点评】此题考查了二次函数的最值，利用了分类讨论的思想，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．
18．对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点，如果二次函数y＝﹣x2+2x+c有两个相异的不动点x1，x2，且x1＜1＜x2，则c的取值范围是 　c＞0　．
【分析】由函数的不动点概念得出x1，x2是方程﹣x2+2x+c＝x的两个实数根，由x1＜1＜x2知Δ＞0且x＝1时y＜0，据此得，解之可得．
【解答】解：由题意知二次函数y＝﹣x2+2x+c有两个相异的不动点x1，x2是方程﹣x2+2x+c＝x的两个不相等实数根，且x1＜1＜x2，
整理，得：x2﹣x﹣c＝0，
由x2﹣x﹣c＝0有两个不相等的实数根，且由x1＜1＜x2知Δ＞0，
令y＝x2﹣x﹣c，画出该二次函数的草图如下：

则，
解得c＞0．
故答案为：c＞0．
【点评】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是理解并掌握不动点的概念，并据此得出关于c的不等式．
三、解答题
19．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示．
（1）求b、c的值；
（2）求y的最大值；
（3）写出当y＜0时，x的取值范围．

【分析】（1）由函数的图象可知c＝3，把（1，0）代入抛物线的解析式即可求出b的值；
（2）由（1）中的抛物线解析式即可求出抛物线的对称轴和y的最大值；
（3）根据抛物线与x轴的交点坐标及对称轴求出它与x轴的另一交点坐标，求当y＜0，x的取值范围就是求函数图象位于x轴的下方的图象相对应的自变量x的取值范围．
【解答】解：（1）由函数的图象可知c＝3，把（1，0）代入y＝﹣x2+bx﹣c得，b＝﹣2，
所以b＝﹣2，c＝﹣3；
（2）由（1）可知y＝﹣x2﹣2x+3，
∴y＝﹣（x+1）2+4，
∴直线x＝﹣1，y＝4；
（3）由图象知，抛物线与x轴交于（1，0），对称轴为x＝﹣1，
∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（﹣3，0），
∵y＜0时，函数的图象位于x轴的下方，
∴x＞1或x＜﹣3．
【点评】本题考查了抛物线和x轴的交点，其中Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
20．如图，若二次函数y＝x2﹣x﹣2的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）若P为二次函数图象上一点，且S△ABP＝6，求点P的坐标．

【分析】（1）令y＝0，解方程x2﹣x﹣2＝0可得出答案；
（2）求出AB＝3，由三角形ABP的面积可得出点P的纵坐标，解方程可求出x＝3或x＝﹣2，则可求出答案．
【解答】解：（1）令y＝0，则0＝x2﹣x﹣2，
解得x1＝﹣1，x2＝2，
∴A（﹣1，0），B（2，0）；
（2）∵A（﹣1，0），B（2，0），
∴AB＝3，
设点P的坐标为（x，y），
由题意S△ABP＝6，
∴AB×|y|＝6，
∴|y|＝4，
则y＝±4，
当4＝x2﹣x﹣2时，
解得：x＝3或x＝﹣2，
当﹣4＝x2﹣x﹣2时，方程没有实数根．
故所求点P的坐标为（3，4）或（﹣2，﹣4）．
【点评】此题考查了二次函数的图象与x轴的交点，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．
21．把二次函数y＝x2+kx+c的图象经过（1，0）与（2，5）两点．
（1）求这个函数的解析式；
（2）求抛物线与坐标轴的交点坐标；
（3）求抛物线的顶点坐标和对称轴．
【分析】（1）把（1，0）与（2，5）两点的坐标分别代入函数解析式，列出关于k、c的方程组，通过解方程组来求它们的值；
（2）抛物线与x轴的交点的纵坐标等于零，与y轴交点的横坐标等于零；
（3）通过配方法把二次函数解析式化为顶点式，然后根据解析式直接写出答案．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2+kx+c的图象经过（1，0）与（2，5）两点，
∴，
解得，，
∴该函数的解析式是：y＝x2+2x﹣3；

（2）∵由（1）知，该函数的解析式是y＝x2+2x﹣3，则y＝（x+3）（x﹣1）．
∴当x＝0时，y＝﹣3，即该函数图象与y轴交于点（0，﹣3）．
又∵y＝x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1），
∴该函数图象与x轴交于点（﹣3，0）和（1，0）；

（3）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）24，即抛物线的解析式是y＝（x+1）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标是（﹣1，﹣4），对称轴是直线x＝﹣1．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析，抛物线与x轴的交点．解题时，需要熟悉二次函数的三种解析式．
22．把抛物线C1：y＝x2+2x+3先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线C2．
（1）直接写出抛物线C2的函数关系式；
（2）动点P（a，﹣6）能否在抛物线C2上？请说明理由；
（3）若点A（m，y1），B（n，y2）都在抛物线C2上，且m＜n＜0，比较y1，y2的大小，并说明理由．
【分析】（1）根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解；
（2）根据二次函数的最小值即可判断；
（3）根据二次函数的性质可以求得y1与y2的大小．
【解答】解：（1）∵y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2，
∴把抛物线C1：y＝x2+2x+3先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线C2：y＝（x+1﹣4）2+2﹣5，即y＝（x﹣3）2﹣3，
∴抛物线C2的函数关系式为：y＝（x﹣3）2﹣3．
（2）动点P（a，﹣6）不在抛物线C2上，理由如下：
∵抛物线C2的函数关系式为：y＝（x﹣3）2﹣3，
∴函数的最小值为﹣3，
∵﹣6＜﹣3，
∴动点P（a，﹣6）不在抛物线C2上；
（3）∵抛物线C2的函数关系式为：y＝（x﹣3）2﹣3，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝3，
∴当x＜3时，y随x的增大而减小，
∵点A（m，y1），B（n，y2）都在抛物线C2上，且m＜n＜0＜3，
∴y1＞y2．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答；也考查函数图象的平移的规律．
23．如图，已知直线y＝x+1与抛物线y＝ax2+2x+c相交于点A（﹣1，0）和点B（2，m）两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点P是位于直线AB上方抛物线上的一动点，当△PAB的面积S最大时，求此时△PAB的面积S及点P的坐标．

【分析】（1）先把B（2，m）代入y＝x+1中求出m得到B（2，3），然后把A点和B点坐标代入y＝ax2+2x+c中得a、c的方程组，再解方程组即可；
（2）过P点作PC∥y轴交AB于C，如图，设P（t，﹣t2+2t+3）（﹣1＜t＜3），则C（t，t+1），所以PC＝﹣t2+t+2，利用三角形面积公式得到S△PAB＝PC＝（﹣t2+t+2），然后根据二次函数的性质解决问题．
【解答】解：（1）把B（2，m）代入y＝x+1得m＝3，则B（2，3），
把A（﹣1，0）、B（2，3）代入y＝ax2+2x+c得，解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）过P点作PC∥y轴交AB于C，如图，
设P（t，﹣t2+2t+3）（﹣1＜t＜3），则C（t，t+1），
∴PC＝﹣t2+2t+3﹣（t+1）＝﹣t2+t+2，
∵S△PAB＝S△PAC+S△PBC＝•PC×|2﹣（﹣1）|＝PC，
∴S△PAB＝（﹣t2+t+2）
＝﹣（t2﹣t+﹣﹣2）
＝﹣（t﹣）2+，
∵a＝﹣1＜0，
∴当t＝时，S△PAB有最大值，此时P点坐标为（，）．

【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
24．某超市购进一批牛肉销售，经过还价，实际价格每千克比原来少2元，发现原来买这批牛肉32千克的钱，现在可买33千克．
（1）现在实际购进这批牛肉每千克多少元？
（2）若这批牛肉的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足如图所示的一次函数关系．求y与x之间的函数关系式；
（3）这批牛肉的销售单价定为多少时，能获得最大利润？最大利润是多少？（利润＝销售收入﹣进货金额）

【分析】（1）设现在实际购进这种牛肉每千克x元，根据原来买这种牛肉32千克的钱，现在可买33千克列出关于x的一元一次方程，解方程即可；
（2）①设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，将（70，140），（80，40）代入，运用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式；
②设这种牛肉的销售单价为x元时，所获利润为w元，根据利润＝销售收入﹣进货金额得到w关于x的函数关系式为w＝﹣10（x﹣74）2+1000，再根据二次函数的性质即可求解．
【解答】解：（1）设现在实际购进这种牛肉每千克a元，则原来购进这种牛肉每千克（a+2）元，由题意，得
32（a+2）＝33a，
解得a＝64．
答：现在实际购进这种牛肉每千克64元；

（2）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
将（70，140），（80，40）代入，
得，解得，
故y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x+840；

（3）设这种牛肉的销售单价为x元时，所获利润为w元，
则w＝（x﹣64）y＝（x﹣64）（﹣10x+840）＝﹣10x2+1480x﹣53760＝﹣10（x﹣74）2+1000，
所以当x＝74时，w有最大值1000．
答：将这种牛肉的销售单价定为74元时，能获得最大利润，最大利润是1000元．
【点评】本题考查了一元一次方程、一次函数、二次函数在实际生活中的应用，其中涉及到找等量关系列方程，运用待定系数法求一次函数的解析式，二次函数的性质等知识，本题难度适中．
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3经过B（﹣1，0）、C（3，0）两点．
（1）求抛物线的解析式及顶点A的坐标；
（2）在二次函数的图象位于x轴上方的部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过点M、N作x轴的垂线，分别交x轴于点H、G．
①当四边形MNGH为正方形时，求MN的长；
②当四边形MNGH为矩形时，求矩形MNGH周长的最大值．

【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）①若四边形MNGH为正方形，则MN＝MH，且MN∥MH，即点M、N的纵坐标相等，进而求解；
②当四边形MNGH为矩形时，由①MH＝﹣m2+2m+3，MN＝2m﹣2，则矩形MNGH周长＝2[（﹣m2+2m+3）+（2m﹣2）]＝﹣2（m﹣2）2+10，即可求解．
【解答】解：（1）由题意抛物线y＝ax2+bx+3经过B（﹣1，0）、C（3，0）两点，
则，解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点A（1，4）；

（2）设点M坐标为M（m，﹣m2+2m+3）（m＞0），
①若四边形MNGH为正方形，则MN＝MH，且MN∥MH，即点M、N的纵坐标相等．
由（1）得抛物线的对称轴为直线x＝1，则点N的横坐标为2﹣m，
∴点N坐标为（2﹣m，﹣m2+2m+3），
∴MN＝m﹣（2﹣m）＝2m﹣2，
∵MN＝MH，
∴2m﹣2＝﹣m2+2m+3，
解得：或（舍去），
∴；

②当四边形MNGH为矩形时，
由①MH＝﹣m2+2m+3，MN＝2m﹣2，
则矩形MNGH周长＝2[（﹣m2+2m+3）+（2m﹣2）]＝﹣2（m﹣2）2+10，
∴当m＝2时，矩形MNGH周长的最大值为10．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、矩形的性质等，有一定的综合性，难度不大．
26．若一次函数y＝kx+m的图象经过二次函数y＝ax2+bx+c的顶点，我们则称这两个函数为“丘比特函数组”
（1）请判断一次函数y＝﹣3x+5和二次函数y＝x2﹣4x+5是否为“丘比特函数组”，并说明理由．
（2）若一次函数y＝x+2和二次函数y＝ax2+bx+c为“丘比特函数组”，已知二次函数y＝ax2+bx+c顶点在二次函数y＝2x2﹣3x﹣4图象上并且二次函数y＝ax2+bx+c经过一次函数y＝x+2与y轴的交点，求二次函数y＝ax2+bx+c的解析式；
（3）当﹣3≤x≤﹣1时，二次函数y＝x2﹣2x﹣4的最小值为a，若“丘比特函数组”中的一次函数y＝2x+3和二次函数y＝ax2+bx+c（b、c为参数）相交于PQ两点请问PQ的长度为定值吗？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【分析】（1）y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，即顶点坐标为（2，1），当x＝2时，y＝﹣3x+5＝﹣1≠1，即可求解；
（2）将顶点坐标代入二次函数y＝2x2﹣3x﹣4得：m+2＝2m2﹣3m﹣4，解得：m＝3或﹣1，即可求解；
（3）故当﹣3≤x≤﹣1时，x＝﹣1时函数取得最小值，即a＝1+2﹣4＝﹣1，设抛物线的顶点为P（m，2m+3），则“丘比特函数组”另外一个交点为Q（x，y），则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣m）2+（2m+3）＝﹣（x﹣m）2+（2m+3），由题意得：﹣（x﹣m）2+（2m+3）＝2x+3，由韦达定理得：x+m＝2m﹣2，解得：x＝m﹣2，故点Q（m﹣2，2m﹣1），即可求解．
【解答】解：（1）y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，即顶点坐标为（2，1），
当x＝2时，y＝﹣3x+5＝﹣1≠1，
故一次函数y＝﹣3x+5和二次函数y＝x2﹣4x+5不是“丘比特函数组”；

（2）设：二次函数的顶点为：（m，m+2），
将顶点坐标代入二次函数y＝2x2﹣3x﹣4得：m+2＝2m2﹣3m﹣4，
解得：m＝3或﹣1，
当m＝3时，函数顶点为（3，5），一次函数y＝x+2与y轴的交点为：（0，2），
则二次函数表达式为：y＝a（x﹣3）2+5＝a（x2﹣6x+9）+5，
即：9a+5＝2，解得：a＝﹣，
故：抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+2；
同理当m＝﹣1时，抛物线的表达式为：y＝x2+2x+2，
综上，抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+2或y＝x2+2x+2；

（3）是定值，理由：
令y＝x2﹣2x﹣4＝0，
则x＝1±，
故当﹣3≤x≤﹣1时，x＝﹣1时函数取得最小值，
即a＝1+2﹣4＝﹣1，
设抛物线的顶点为P（m，2m+3），则“丘比特函数组”另外一个交点为Q（x，y），
则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣m）2+（2m+3）＝﹣（x﹣m）2+（2m+3），
由题意得：﹣（x﹣m）2+（2m+3）＝2x+3，
整理得：x2+（2﹣2m）x+（m2﹣2m）＝0，
由韦达定理得：x+m＝2m﹣2，解得：x＝m﹣2，故点Q（m﹣2，2m﹣1），
则PQ＝＝2，为定值．