高中北师大版3模拟方法 概率的应用教案

模拟方法—概率的应用

1.教学目标

（1）知识与技能：了解模拟方法估计概率的过程，初步体会几何概型的意义；能够运用模拟方法估计随机事件的概率.了解模拟方法的基本思想，会利用这种思想解决某些具体问题，如求某些不规则图形的近似面积等.

（2）过程与方法：通过虚拟模拟实验的过程，让学生掌握模拟实验的方法，并能利用这种方法估计概率. 结合实例，体会概率思想在实际中的应用．

（3）情感、态度、价值观：通过本节学习，进一步引发学生学习的兴趣，认识模拟方法在解决概率问题中的应用.

学情分析

几何概型与古典概型的区别在于试验的结果是无限个，它的特点是在一个区域内均匀分布，所以随机事件的概率大小与随机事件所在的区域的形状、位置无关，只与该区域的几何度量（线段长、面积、体积）有关.对于学生来说，古典概型易于理解，古典概型的概率用公式也易于求解，但对于几何概型，特别是随机事件所在的区域的形状不规则时，学生理解相对难一些。模拟方法中，让学生体验非常重要.课本中，无论是“撒芝麻”模拟、计算机模拟、“两个转盘”模拟等，都是用“有限”来估计“无限”时的情形，这刚好是促使学生更好理解概率的契机。

学生学习概率的热情很高.课堂上老师做好示范，解决一些几何概型的问题，课后组织学生的动手试验也很重要，通过大量试验估计概率，通过公式计算概率，通过比较，使学生更好的理解概率。

重点难点

重点:几何概型;用随机模拟的方法估计概率.难点：几何概型问题概率的求法.

教学过程

第一学时

教学活动

【导入】探要点  究所然

在现实生活中，常常会遇到试验的所有可能结果是无穷多的情况，例如：一个正方形方格内有一内切圆，往这个方格中投一个石子，求石子落在圆内的概率，由于石子可能落在方格中的任何一点，这个实验不能用古典概型来计算事件发生的概率．对此，我们必须学习新的方法来解决这类问题．

【活动】模拟方法的基本思想

探究　模拟方法的基本思想

学  ]

问题　如图所示，向正方形中随机地撒一把芝麻，假设每一粒芝麻落在正方形内的每一个位置的可能性都是相同的．

思考1　你估计大约有多少芝麻会落在区域A中？为什么？

答　约有的芝麻落在区域A中，因区域A的面积是整个正方形面积的，所以约有的芝麻落在区域A中．

思考2　若向正方形中随机地撒100粒芝麻，则大约有多少粒芝麻落在区域A内？

答　大约有25粒落在区域A内．

思考3　根据思考1和思考2中的答案，你能得出怎样的结论？

答　近似的有＝.

思考4　如图，曲线y＝－x2＋1与x轴，y轴围成区域A，直线x＝1，直线y＝1，x轴，y轴围成一个正方形，如何求阴影部分面积？

答　向正方形中随机地撒一把芝麻，数出落在区域A内的芝麻数与落在正方形内的芝麻数，由＝，就可求出区域A的近似面积．

【讲授】几何概型

探究　几何概型

问题1　如图，射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环，从外向内为黑色、白色、蓝色、红色，靶心为黄色，靶面直径为122 cm，靶心直径为12.2 cm，运动员在70 m外射．假设射箭都能中靶，且射中靶面内任意一点都是等可能的，那么射中黄心的概率有多大？

思考1　试验中的基本事件是什么？每个基本事件的发生是等可能的吗？

答　射中靶面上每一点都是一个基本事件，这一点可以是靶面直径为122 cm的大圆内的任意一点．是等可能性的．

思考2　所求事件的概率是古典概型吗？为什么？

答　不符合古典概型的特点，因为基本事件有无数多个．

思考3　问题1中的概率属于几何概型，你能说出几何概型有什么特点吗？

答　几何概型的特点：(1)试验结果有无限多个；(2)每个试验结果的发生是等可能的．

【讲授】抽象概括

1．几何概型的概念

向平面上有限区域(集合)G内随机地投掷点M，若点M落在子区域G1G的概率与G1的面积成正比，而与G的形状、位置无关．即

P(点M落在G1)＝，则称这种模型为几何概型．

2．几何概型中的G的类型

几何概型中的G也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比．

3．模拟方法的用途

模拟方法可以来估计某些随机事件发生的概率．   ]

【活动】例题讲解

问题2　小明家的晚报在下午5：30 6：30之间的任何一个时间随机地被送到，小明一家人在下午6：00 7：00之间的任何一个时间随机地开始晚餐．

思考1　你认为晚报在晚餐开始之前被送到和在晚餐开始之后被送到哪一种可能性更大？

答　晚报在5：30 6：00之间送到，或晚餐在6：30 7：00之间开始，这两种情况都使得晚报的送达在晚餐开始之前，同时，在6：00 6：30之间，晚报被送达和晚餐开始的可能性相同．因此，晚报在晚餐开始之前被送到的可能性更大．

思考2　如果小明家的晚报在下午5：50 6：50之间的任何一个时间随机地被送到，小明一家人在下午6：00 7：00之间的任何一个时间随机地开始晚餐．你认为晚报在晚餐开始之前被送到可能性是变大了还是变小了呢？并说明其原因．

答　变小．晚报在5：50 6：00之间送到，或晚餐在6：50 7：00之间开始，这两种情况都使得晚报的送达在晚餐开始之前，这与问题2中的已知的数据相比，晚报送达在晚餐开始之前的时间缩小了，所以对应的概率变小．

思考3　利用几何概型，求晚报在晚餐开始之前被送到的概率.

    解：建立如图所示的平面直角坐标系，直线x=5.5,x=6.5,y=6,y=7围成一个正方形区域设为G。送报人在x(5.5≤x ≤ 6.5)时刻将晚报送到，小明一家人在y(6 ≤ y ≤ 7)时刻开始晚餐，这个结果与平面上的点（x，y）对应。于是试验的所有可能结果就与G中的所有点一一对应.

由题意知，每一个试验结果出现的可能性是相同的，因此，试验属于几何概型.晚报在晚餐开始前被送到，当且仅当x<y，所以图中的阴影区域g就表示“晚报在晚餐前被送到”.容易求得g的面积为,G的面积为1.由几何概型的概率公式，“晚报在晚餐前被送到”的概率为.

【例题讲解】几何概型的应用

探究　几何概型的应用

例　在墙上挂着一块边长为16 cm的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2 cm，4 cm，6 cm，某人站在3 m之外向此板投镖．设投镖击中线上或没有投中木板都不算，可重投，问：

(1)投中大圆内的概率是多少？

(2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？      . ]

(3)投中大圆之外的概率是多少？

分析　飞镖落点区域是边长为16 cm的正方形，而需击中区域为三个不同的圆面，故该题型为与面积有关的几何概型问题．解答本题只需分别计算各区域的面积，以公式求解即可．

解　S正方形＝16×16＝256(cm2)，

S小圆＝π×22＝4π(cm2)，    . ]

S圆环＝π×42－π×22＝12π(cm2)，

S大圆＝π×62＝36π(cm2)，

S大圆外＝16×16－36π＝(256－36π)(cm2)，则

(1)投中大圆的概率P(A1)＝≈0.442.

(2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率为    . ]

P(A2)＝≈0.147.

(3)投中大圆之外的概率为

P(A3)＝＝1－＝1－P(A1)≈0.558.

反思与感悟　在研究射击、射箭、投中、射门等实际问题时，常借助区域的面积来计算概率的值．此时，只需分清各自区域特征，然后利用面积比得到所求概率．

【活动】学生练习

跟踪训练　在1升高产小麦种子中混入了1粒带麦锈病的种子，从中随机取出10毫升，则“取出的种子中含有麦锈病的种子”的概率是多少？

解　取出10毫升种子，其中“含有麦锈病种子”记为事件A，则P(A)＝＝＝0.01.∴“含有麦锈病种子”的概率为0.01.

预备练习题（有时间则课堂练习，无时间则课外练习）

1．面积为S的△ABC，D是BC的中点，向△ABC内部投一点，那么点落在△ABD内的概率为(　　)

A.        B.            C.             D.

解析　向△ABC内部投一点的结果有无限个，属于几何概型．设点落在△ABD内为事件M，则P(M)＝＝.    答案　B

2.如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积约为(　　)

A.   B.   C.   D．无法计算

解析　∵≈，∴S阴影≈S正方形＝.  答案　B

3．当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，那么你看到黄灯的概率是(　　)

A.            B.            C.             D.

解析　由题意可知在80秒内路口的红、黄、绿灯是随机出现的，可以认为是无限次等可能出现的，符合几何概型的条件．事件“看到黄灯”的时间长度为5秒，而整个灯的变换时间长度为80秒，据几何概型概率计算公式，得看到黄灯的概率为P＝＝.  答案　C

4．在区间[－1,1]上随机取一个数x，则sin 的值介于－与之间的概率为________．

解析　∵－1≤x≤1，∴－≤≤.

由－≤sin ≤，得－≤≤，

即－≤x≤1.

故所求事件的概率为＝.    答案　

5．在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM小于AC的概率．

解　在AB上截取AC′＝AC，故AM<AC的概率等于AM<AC′的概率．

记事件A为“AM小于AC”，

P(A)＝＝＝＝.

所以AM<AC的概率等于.

【活动】小结（我的收获）

1.模拟方法的基本思想．2.用模拟方法计算不规则图形的面积．

3.用模拟方法估计随机事件的概率．

4.几何概型的特征：几何概型中所有可能出现的基本事件有有限个；每个基本事件出现的可能性相等.

5.几何概型的定义： 如果某个事件发生的概率只与构成该事件区域的几何度量(长度、面积或 体积)成正比例,则称这样的概率模型为几何概率模型.

6.几何概型的概率计算公式

7 .解决几何概型的关键是构造随机事件对应的几何图形.

【活动】布置作业

1．计算课本152页“思考交流”（1）中概率.

2．课本153页习题3-3．A组，第1、2题.

3．步步高40分钟课时作业：134页，第1---7题.

4.自己做“本章小结”，与课本154-156页的“本章小结”对比，提高自己的总结能力．