2020-2021学年1. 圆的基本元素优秀一课一练

27.1.1圆的基本元素同步练习华师大版初中数学九年级下册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图所示，在中，线段AB是直径，点D是弧AB上一点．延长AB至点C，使得，连接AD，OD，若，则的余弦值是   

A.
B.
C.
D.

2. 如图，AB是的直径，点C在圆上，，那么的度数是   

A.
B.
C.
D.

3. 如图，的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若，，则是

A.  B.  C.  D.

4. 下列说法中，结论错误的是

A. 直径相等的两个圆是等圆
B. 长度相等的两条弧是等弧
C. 圆中最长的弦是直径
D. 一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧

5. 点A、C为半径是3的圆周上两点，点B为的中点，以线段BA、BC为邻边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为

A. 或 B. 或 C. 或 D. 或

6. 如图，在中，AB、DC是的直径，若，则

A.
B.
C.
D.

7. 抛物线，交x轴于A，B两点，点P是第一象限内抛物线上一动点．如图，当时，点P的坐标为      ．

A.  B.
C.  D.

8. 如图，AB是的弦，点C是优弧AB上的动点不与A、B重合，，垂足为H，点M是BC的中点．若的半径是3，则MH长的最大值是

A. 3
B. 4
C. 5
D. 6

9. 如图，以为直径分别向外作半圆，若，，则    

A. 2
B. 6
C.
D.

10. 如图，以为直径分别向外作半圆，若，，则

A. 2
B. 6
C.
D.

11. 如图，点C、D在圆O上，AB是直径，，，则

A.
B.
C.
D.

12. 如图，正方形ABCD的边长是2，点P从点D出发沿DB向点B运动，至点B停止运动，连接AP，过点B作BH垂直于直线AP于点H，在点P运动过程中，点H所走过的路径长是

A. 2
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13. 如图，半径为1的圆与数轴的一个公共点与原点重合，若圆在数轴上做无滑动的来回滚动，规定圆向右滚动的周数记为正数，向左滚动周数即为负数，依次滚动的情况如下单位：周：，，，，，则圆与数轴的公共点到原点的距离最远时，该点所表示的数是__________．
     
14. 如图，O的弦AB、半径OC延长交于点D，BDOA，若AOC，则D__度．
    
     

15. 如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于A、B两点，经过A，B两点，已知，则的值为______．
    
     

16. 如图所示，已知点，的半径为2，，，点M是上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小长度是          ．
    
    
     

17. 如图，C是以点O为圆心，AB为直径的半圆上一点，且，在OC两侧分别作矩形OGHI和正方形ODEF，且点I，F在OC上，点H，E在半圆上，求证：小云发现连结图中已知点得到两条线段，便可证明．
    请回答：小云所作的两条线段分别是          和          证明的依据是矩形的对角线相等，          和等量代换 

三、解答题（本大题共6小题，共48.0分）

18.  如图，已知在中，．
    
     

请用圆规和直尺作出，使圆心P在AC边上，且与AB，BC两边都相切保留作图痕迹，不写作法和证明

若，，求的面积．






 

19. 作半径为2cm的圆O，在圆中画一个圆心角为的扇形
    计算你画出的扇形的面积．
    
    
    
    
    
    
     
20. 将一个圆分割成3个扇形，它们的圆心角的度数比为，求这3个扇形的圆心角的度数．
    
    
    
    
    
    
     
21. 为庆祝广西壮族自治区成立60周年，我市某单位准备在花园内的一块长方形空地上建一个花坛，打算种上甲、乙两种不同的花卉阴影部分种植甲种花卉，空白部分种植乙种花卉现征集了如下两个不同的种植方案：

用代数式分别表示出两个方案中种植乙种花卉的面积；

若甲种花卉的种植成本为100元，乙种花卉的种植成本为120元则两种方案的种植成本相差多少元？其中取






 

22. 如图，A、B、C是上的三点，BO平分弦BA与弦BC相等吗为什么
    
    
    
     

23. 如图，AB、CD是的两条弦若，，求的度数．
    
    
    
     

答案和解析

1.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题主要考查含角的直角三角形的性质，勾股定理和解直角三角形，过点D作，设出，，表示出OH的长度，在中利用勾股定理求出x与r的关系是解题的关键．
过点D作，设，，进而得出OH，在中，利用勾股定理，求出x与r的关系，进而求出的值，得出的度数，进而最终得出的度数，继而可求其余弦值．
【解答】
解：过点D作，如图所示：

，
设，，
在中，，
，，
，
在中，，即，
化简得：，
，解得：，
在中，，
，
，
，
，
，
，
故选C．  

2.【答案】A
 

【解析】 ，，

，．

，．
故选A．

3.【答案】D
 

【解析】

【分析】

连接OD，如图，利用ODDE得到DOEE，则根据三角形外角性质得到ODC，再利用OCOD得到CODC，然后根据三角形外角性质得到AOC的度数．

【详解】

解：连接OD，如图，

，ODOB，

ODOBDE，

DOEE，

ODCDOEE，

OCOD，

CODC，

AOCCE．

故选：D．

【点睛】

本题考查了圆的知识，等腰三角形的性质，以及三角形外角的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．

4.【答案】B
 

【解析】

【分析】
利用圆的有关定义进行判断后利用排除法即可得到正确的答案；
本题考查了圆的认识，了解圆中有关的定义及性质是解答本题的关键．
【解答】
解：A、直径相等的两个圆是等圆，正确，不符合题意；
B、长度相等的两条弧圆周角不一定相等，它们不一定是等弧，原题的说法是错误的，符合题意；
C、圆中最长的弦是直径，正确，不符合题意；
D、一条直径把圆分成两条弧，这两条弧是等弧，正确，不符合题意，
故选：B．  

5.【答案】D
 

【解析】

【分析】本题考查了勾股定理，菱形的性质，正确的作出图形是解题的关键．过点B作直径，连接AC交BO于E，如图，根据D在直径的三等分点上，得到，根据菱形的性质，从而得到，连续利用两次勾股定理即可得到；如图，，求得，根据菱形的性质得到，求得，连续利用两次勾股定理即可得到．
【解答】

解：本题分两种情况讨论：如图1所示，，连结OA，AC，设AC交BD于点E，

图1

则，，，

在中，，

在中，，

，即此时菱形的边长为

如图2所示，，同理，有，

图2

在中，，

在中，，

，即此时菱形的边长为．

综上可知，该菱形的边长为或．

6.【答案】B
 

【解析】解：，
，
，
，
故选：B．
利用等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质即可解决问题．
本题考查等腰三角形的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

7.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题考查的是勾股定理，二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形有关知识，由题意得：，，在y轴上取点，则为等腰直角三角形，再结合勾股定理进行解答即可．
【解答】
解：如图，由题意得：，，在y轴上取点，则为等腰直角三角形，

，，

，

以点D为圆心，AD的长为半径画圆，则点P在优弧AB上时总有，

又点P在抛物线上，设P点坐标为，连接PD，

，

解得：，舍去，舍去，舍去，

．

故选A

8.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题考查了圆的相关概念，直角三角形斜边中线的性质，明确BC的最大值为的直径的长是解题的关键．
根据直角三角形斜边中线的性质以及直径是圆中最大的弦，即可求得MH的最大值是3．
【解答】
解：，垂足为H，
，
点M是BC的中点．
，
的最大值是直径的长，的半径是3，
的最大值为3，
故选A．  

9.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题考查了圆的面积及勾股定理，注意根据圆面积公式结合勾股定理证明：，即直角三角形中，以直角边为直径的两个半圆面积的和等于以斜边为直径的半圆面积．根据勾股定理，得：，再根据圆面积公式，可以证明：即 

【解答】

解：，；
；

；
，
故．
故选A．

10.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题考查了圆的面积及勾股定理，注意根据圆面积公式结合勾股定理证明：，即直角三角形中，以直角边为直径的两个半圆面积的和等于以斜边为直径的半圆面积．根据勾股定理，得：，再根据圆面积公式，可以证明：即 

【解答】

解：，；
；

；
，
故．
故选A．

11.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查平行线性质、圆的认识、三角形内角和定理的应用及平角的知识的运用．根据平角的定义可求得的度数，再根据平行线的性质及三角形内角和定理即可求得的度数．
【解答】
解：，，
，
，，
，
．
故选D．
   

12.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查轨迹、正方形的性质，圆的周长公式等知识，解题的关键是学会确定点H的运动轨迹，属于中考常考题型．由题意点H在以AB为直径的半圆上运动，根据圆的周长公式即可解决问题．
【解答】
解：如图，

，
，
点H在以AB为直径的半圆上运动，由题意
，
点H所走过的路径长，
故选：C．  

13.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了数轴的知识，关键在于了解数轴上的距离可以用绝对值来表示来判断距离远近，分别计算每次向左向右滚动的周数和判断大小，再乘以圆的周长即可得到答案．
【解答】
解：第一次：，
第二次：，
第三次：，
第四次：，
第五次：，
第六次：，
圆的周长为，所以最远点表示数为，
因为此时是向左滚动，即为负数，所以答案为．  

14.【答案】25
 

【解析】解：连接OB，
，
所以和为等腰三角形，
设度，则，
因为，
所以，
在中，，
解得，
即．
解答此题要作辅助线OB，根据半径，构造出两个等腰三角形，结合三角形外角和内角的关系解决．
此题主要考查了等腰三角形的基本性质，以及三角形内角和定理，难易程度适中．
 

15.【答案】
 

【解析】解：由图形可知：是等腰直角三角形，，
，，
，
点坐标是，B点坐标是
一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于A、B两点，
将A，B两点坐标代入，得，，
．
故答案为：．
由图形可知：是等腰直角三角形，，可得A，B两点坐标，利用待定系数法可求k和b的值，进而得到答案．
本题主要考查图形的分析运用和待定系数法求解析，找出A，B两点的坐标对解题是关键之举．
 

16.【答案】
 

【解析】解：如图，连结OP交于，连结OM．

由已知得，，，，，

是的中位线，，

当OM的长度最小时，AC的长度最小，

当M运动到时，OM的长度最小，

此时AC的长度最小，为．

17.【答案】OH

OE

同圆的半径相等

【解析】解：连结OH、OE，如图所示，

在矩形OGHI和正方形ODEF中，，，，由上述可知，证明的依据是矩形对角线相等，同圆的半径相等和等量代换．
 

18.【答案】解：如图所示，则为所求作的圆．


，BP平分，
，
，
，
在中，
，
，
，
的面积为．
 

【解析】本题考查的是基本作图，角平分线，勾股定理，含直角三角形有关知识．
作的平分线交AC于P，再以P为圆心，PA为半径即可作出；
根据角平分线的定义得到，得出，然后再利用勾股定理求出AP，最后求出的面积即可．
 

19.【答案】解：如图所示．

，

答：扇形的面积是．

【解析】见答案．
 

20.【答案】解：因为一个周角为，
所以分成的3个扇形的圆心角的度数分别是
， ，．
 

【解析】见答案．
 

21.【答案】解：方案一：，
方案二：；
方案一：甲种花卉的种植面积为，
乙种花卉的种植面积为，
所以种植总成本为元，
方案二：甲种花卉的种植面积为，
乙种花卉的种植面积为，
所以种植总成本为元，
所以两种方案的种植成本相差元．
 

【解析】此题主要考查有理数混合运算的应用，列代数式．此题比较简单．
根据长方形的面积减去一个圆的面积即可解答；
首先计算出每一种方案所需要的费用，然后计算出两种方案的种植成本相差的钱数即可．
 

22.【答案】解：弦BA与弦BC相等 
如图，连接OA、OC．

，，
，．
平分，
．
．
又，
．
，即弦BA与弦BC相等．
 

【解析】见答案．
 

23.【答案】解：设．
，
．
在中，．
又，
D.
在中，．
，
，
解得，
．
 

【解析】见答案．