2020-2021学年新疆维吾尔族自治区奎屯市高一（下）4月月考数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年新疆维吾尔族自治区奎屯市高一（下）4月月考数学试卷人教A版，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知a，b为非零实数，且a>b，则下列不等式成立的是( )
A.a2>b2 B.1a<1bC.|a|>|b|D.2a>2b

2. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=2， c=3 ，C=60∘ ，则角B=( )
A.45∘B.30∘C.45∘ 或135∘D.30∘ 或150∘

3. 公比不为1的等比数列an满足a5a6+a4a7=8，若a2⋅am=4，则m的值为( )
A.8B.9 C.10 D.11

4. 在△ABC中，若b2+c2=a2+bc，则A=( )
A.30∘B.45∘C.60∘D.120∘

5. 不等式5−x2>4x的解集为( )
A.−∞,−5∪1,+∞B.−∞,−1∪5,+∞
C. −1,5D.−5,1

6. 记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S4=0，a5=5，则( )
A.an=2n−5B.an=3n−10
C.Sn=2n2−8nD.Sn=12n2−2n

7. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn， a1+a3=52，且a2+a4=54，则S5a5=( )
A.256 B.255 C.31 D.16

8. 在△ABC中，已知2sinAcsB=sinC，那么△ABC一定是( )
A.直角三角形B.等腰三角形
C.等腰直角三角形D.等边三角形

9. 已知x>0，y>0，且2x+y=xy，则4x+2y的最小值为( )
A.8B.12C.16D.20

10. 数列1×21+121，2×22+122，3×23+123，⋯， n×2n+12n的前n项的和Sn等于( )
A.12n+n2+n2B.−12n+n2+n2+1
C.−12n+n2+n2D.−12n+1+n2−n2

11. 对于任意实数x，若不等式sin4x−asin2x+1≥0恒成立，则实数a的范围是( )
A.a≥2B.a>2C.a≤2D.a<2

12. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a=10，a2+b2−c2=absinC，acsB+bsinA=c，则下列结论不正确的是( )
A.tanC=2B.b=2
C.A=π4D.△ABC的面积为6
二、填空题

数列an 满足an+1=11−an， a1=12，则a15=________.

函数y=x+16x+2，x∈−2,+∞的最小值是________.

对任意实数x，不等式a−3x2−2a−3x−6<0恒成立，则实数a的取值范围是________．

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其外接圆的直径为d，且满足bcsA+acsB−4ccsC=0，则cd=________．
三、解答题

等差数列an中，已知a7=−8，a17=−28．
(1)求数列an 的通项公式；

(2)求Sn的最大值．

在△ABC中，已知BC=a，AC=b，且a，b是方程x2−23x+2=0的两根，2csA+B=1．
(1)求角C的度数及AB的长；

(2)求△ABC的面积．

已知二次函数f(x)=x2−ax+a(x∈R)同时满足：①不等式f(x)≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在0f(x2)成立．设数列{an}的前n项和Sn=f(n)．
(1)求f(x)的表达式；

(2)求数列{an}的通项公式．

已知an是递增的等差数列，a2，a3是方程x2−5x+6=0的根．
(1)求an的通项公式；

(2)求数列an2n的前n项和．

在△ABC中，内角A，B，C对应的边长分别为a，b，c，已知m→=c,a+b，n→=a−b,acsB−12b，m→//n→．
(1)求角A；

(2)若a=3，求b+c的取值范围．

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2−b−c2=2−3bc，sinAsinB=cs2C2．
(1)求角B的大小；

(2)若等差数列an的公差不为零，且a1cs2B=1，a2，a4，a8是等比数列，求数列4anan+1的前n项和Sn．并证明：12≤Sn<1．
参考答案与试题解析
2020-2021学年新疆维吾尔族自治区奎屯市高一（下）4月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
不等式的基本性质
指数函数单调性的应用
【解析】
利用特殊值判定ABC错误，利用指数函数的性质判定D正确.
【解答】
解：A，取a=1，b=−2，满足a>b，但是a2>b2不成立；
B，取a=1，b=−2，满足a>b，但是1a<1b不成立；
C，取a=1，b=−2，满足a>b，但是a>b不成立；
D，由指数函数性质可知，2a>2b成立.
故选D.
2.
【答案】
A
【考点】
正弦定理
【解析】
根据正弦定理可得sinB ，再根据B为锐角可得．
【解答】
解：由正弦定理得bsinB=csinC，
可得 2sinB=332，
∴ sinB=22.
∵ b∴ B∴ B=45∘.
故选A．
3.
【答案】
B
【考点】
等比数列的性质
【解析】
由等比数列通项公式得a5a6=a4a7=4，由此利用a2⋅am=4，得到2+m=5+6=11 ，从而能求出m的值．
【解答】
解：∵ 公比不为1的等比数列{an}满足a5a6+a4a7=8,
∴a5a6=a4a7=4，
∵ a2⋅am=4，
∴2+m=5+6=11，
解得m=9.
故选B．
4.
【答案】
C
【考点】
余弦定理
【解析】
根据余弦定理表示出csA，然后把已知的等式代入即可求出csA的值，由A的范围，根据特殊角的三角函数值即可得到A的度数．
【解答】
解：∵ b2+c2=a2+bc，
∴ bc=b2+c2−a2
由余弦定理的推论得：
csA=b2+c2−a22bc=bc2bc=12.
又∵ A为三角形内角，
∴ A=60∘.
故选C.
5.
【答案】
D
【考点】
一元二次不等式的解法
【解析】
不等式化为x2+4x−5<0，求出解集即可．
【解答】
解：不等式5−x2>4x可化为x2+4x−5<0，
即x+5x−1<0
解得−5所以不等式的解集为−5,1.
故选D．
6.
【答案】
A
【考点】
等差数列的前n项和
等差数列的通项公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意得：
4a1+6d=0，a1+4d=5，
解得a1=−3，d=2，
得an=2n−5，Sn=n2−4n.
故选A.
7.
【答案】
C
【考点】
等比数列的前n项和
等比数列的通项公式
【解析】
利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．
【解答】
解：设等比数列an的公比为q，
∵a1+a3=52且a2+a4=54，
∴ a1(1+q2)=52，a1q(1+q2)=54，
联立解得q=12，a1=2，
a5=2×124=18，S5=2×1−1251−12=318，
则S5a5=31.
故选C．
8.
【答案】
B
【考点】
两角和与差的正弦公式
解三角形
【解析】
由两角和差的正弦公式化简得A=B，得三角形的形状.
【解答】
解：∵2sinAcsB=sinC，
∴2sinAcsB=sinA+B=sinAcsB+csAsinB，
∴sinAcsB−csAsinB=0，
∴sinA−B=0，
∴A=B，
故三角形为等腰三角形.
故选B.
9.
【答案】
C
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
基本不等式
【解析】
由条件可得1x+2y=1，x+2y=(x+2y)(1x+2y)=5+2xy+2yx，运用基本不等式即可得到所求最小值．
【解答】
解：x>0，y>0，且2x+y=xy，可得：
1x+2y=1，
则4x+2y=(4x+2y)(1x+2y)=8+8xy+2yx
≥8+28xy⋅2yx=8+8=16．
当且仅当x=2，y=4时，取得最小值16．
故选C．
10.
【答案】
B
【考点】
数列的求和
等比数列的前n项和
等差数列的前n项和
【解析】
由an=n+12n，利用分组求和法能求出Sn
【解答】
解：∵数列1×21+121=1+121，
2×22+122=2+122，
3×23+123=3+123，
⋯
则an=n+12n，
Sn=(1+2+⋯+n)+121+122+⋯+12n
=n(1+n)2+12(1−12n)1−12
=−12n+n2+n2+1.
故选B．
11.
【答案】
C
【考点】
函数恒成立问题
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
sin4x−asin2x+1≥0，则a≤sin2x+1sin2x，利用基本不等式可得sin2x+1sin2x≥2，即可得出a范围．
【解答】
解：∵sin4x−asin2x+1≥0，
∴sin4x+1≥asin2x，
当sin2x=0时，1≥0成立，
当sin2x≠0时，
则a≤sin2x+1sin2x，
∵sin2x>0，
∴sin2x+1sin2x≥2sin2x⋅1sin2x=2，
当且仅当sin2x=1sin2x，即sinx=±1时取到等号，
则sin2x+1sin2x≥2，
要使a≤sin2π+1sin2x恒成立，
则a≤2．
故选C．
12.
【答案】
B
【考点】
余弦定理
正弦定理
两角和与差的正弦公式
【解析】
在A中，由余弦定理可得正确；在B中，由正弦定理可得结论，正确；在C中由余弦定理整理得2a2=2a2，可得正确；在D中，由余弦定理可得错误，即可得解．
【解答】
解：由余弦定理得：
a2+b2−c2=2abcsC=absinC，
∴tanC=2，∴A正确；
∵acsB+bsinA=c，
∴sinAcsB+sinBsinA=sinC=sin(A+B)，
∴sinBsinA=sinBcsA.
∵sinB≠0，
∴sinA=csA，
∴tanA=1.
∵A∈(0,π)，
∴A=π4，∴C正确；
∵tanC=2，
∴sinC=255，
由正弦定理：csinC=asinA=1022，
∴c=4.
∵a2=b2+c2−2bccsA，
∴b2−42b+6=0，
∴b=32或b=2.
又A=π4，∴ B+C=3π4.
又tanC=2>0，∴ 0∴ π4∴ B>A，
∴ b>a，
∴ b=32，B错误；
S△ABC=12×4×32×22=6，∴ D正确.
故选B.
二、填空题
【答案】
−1
【考点】
数列递推式
【解析】
求出数列的前几项，得到数列是周期数列，然后求解即可．
【解答】
解：a1=12，
a2=11−a1=11−12=2，
a3=11−a2=11−2=−1，
a4=11−a3=11−−1=12，
…
∴ 数列an的周期为3，
∴ a15=a3=−1.
故答案为：−1.
【答案】
6
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
由x∈−2,+∞可知x+2>0，利用基本不等式即可求出所求，注意等号成立的条件．
【解答】
解：∵ x∈−2,+∞，
x+2>0，
由基本不等式可得，
y=x+16x+2=x+2+16x+2−2
≥2x+2×16x+2−2=6，
当且仅当x+2=16x+2，即x+2=4时，x=2时等号成立，
∴ 函数y=x+16x+2，x∈−2,+∞的最小值为6.
故答案为：6.
【答案】
(−3,3]
【考点】
函数恒成立问题
【解析】
答案未提供解析．
【解答】
解：①当a−3=0，即a=3时，不等式为−6<0恒成立，则a=3满足题意，
②当 a−3≠0 ，即a≠3时，不等式恒成立，则需：
a−3<0,Δ=4a−32−4a−3×−6<0,
解得：a∈−3,3，
综上所述a∈(−3,3]．
故答案为：(−3,3].
【答案】
154
【考点】
余弦定理
正弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由bcsA+acsB−4ccsC=0及余弦定理，
得b⋅b2+c2−a22bc+a⋅a2+c2−b22ac−4ccsC=0，
得b2+c2−a22c+a2+c2−b22c−4ccsC=0，
得c−4ccsC=0，即c1−4csC=0，
所以csC=14，所以sinC=154．
由正弦定理，得csinC=d，
则cd=sinC=154．
故答案为：154．
三、解答题
【答案】
解：(1)设首项为a1，公差为d．
因为a7=−8，a17=−28，
所以a1+6d=−8,a1+16d=−28,
解得a1=4，d=−2，
所以an=a1+n−1d=−2n+6．
(2)由(1)可得Sn=−n2+5n=−n−522+254，
所以当n=2或3时， Sn取得最大值．
Snmax=−22+2×5=−32+3×5=6．
【考点】
等差数列的通项公式
等差数列的前n项和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)设首项为a1，公差为d．
因为a7=−8，a17=−28，
所以a1+6d=−8,a1+16d=−28,
解得a1=4，d=−2，
所以an=a1+n−1d=−2n+6．
(2)由(1)可得Sn=−n2+5n=−n−522+254，
所以当n=2或3时， Sn取得最大值．
Snmax=−22+2×5=−32+3×5=6．
【答案】
解：(1)因为2csA+B=1，
所以A+B=60∘，
故C=120∘，
由a，b是方程x2−23x+2=0的两根，
得a+b=23，ab=2，
又AB2=c2=a2+b2−2abcsC
=a+b2−2ab−2abcsC
=12−4−4×−12=10．
所以AB=10．
(2)S△ABC=12absinC=12⋅2⋅32=32．
【考点】
余弦定理
一元二次方程的根的分布与系数的关系
正弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)因为2csA+B=1，
所以A+B=60∘，
故C=120∘，
由a，b是方程x2−23x+2=0的两根，
得a+b=23，ab=2，
又AB2=c2=a2+b2−2abcsC
=a+b2−2ab−2abcsC
=12−4−4×−12=10．
所以AB=10．
(2)S△ABC=12absinC=12⋅2⋅32=32．
【答案】
解：(1)∵ 不等式f(x)≤0的解集有且只有一个元素，
∴ Δ=a2−4a=0，解得a=0或a=4．
当a=0时，函数f(x)=x2在(0, +∞)上单调递增，不满足条件②；
当a=4时，函数f(x)=x2−4x+4在(0, 2)上单调递减，满足条件②．
综上得a=4，即f(x)=x2−4x+4．
(2)由(1)知Sn=n2−4n+4=(n−2)2，
当n=1时，a1=S1=1；
当n≥2时，
an=Sn−Sn−1=(n−2)2−(n−3)2=2n−5，
∴ an=1,n=1,2n−5,n≥2.
【考点】
函数解析式的求解及常用方法
函数单调性的性质
数列与函数的综合
数列递推式
【解析】
（1）由不等式f(x)≤0的解集有且只有一个元素，知△=a2−4a=0，解得a=0或a=4．由此能求出f(x)的表达式．
（2）由（1）知Sn=n2−4n+4=(n−2)2，由此能求出数列{an}的通项公式．
【解答】
解：(1)∵ 不等式f(x)≤0的解集有且只有一个元素，
∴ Δ=a2−4a=0，解得a=0或a=4．
当a=0时，函数f(x)=x2在(0, +∞)上单调递增，不满足条件②；
当a=4时，函数f(x)=x2−4x+4在(0, 2)上单调递减，满足条件②．
综上得a=4，即f(x)=x2−4x+4．
(2)由(1)知Sn=n2−4n+4=(n−2)2，
当n=1时，a1=S1=1；
当n≥2时，
an=Sn−Sn−1=(n−2)2−(n−3)2=2n−5，
∴ an=1,n=1,2n−5,n≥2.
【答案】
解：1解方程x2−5x+6=0得两根分别为2，3，
又数列为递增数列，则a2=2，a3=3，
设公差为d，则d=1，
所以： an=a2+n−2d=2+n−2×1=n.
2设数列an2n的前n项和为Sn，
则Sn=12+222+323+⋯+n2n，①
∴ 12Sn=122+223+324+⋯+n−12n+n2n+1，②
①−②得：
12Sn=12+122+123+⋯+12n−n2n+1=1−12n−n2n−1，
∴ Sn=2−12n−1−n2n=2−2+n2n.
【考点】
等差数列的通项公式
数列的求和
【解析】
1解出方程的根，根据数列是递增的求出a2，a3的值，从而解出通项；
2将第一问中求得的通项代入，用错位相减法求和．
【解答】
解：1解方程x2−5x+6=0得两根分别为2，3，
又数列为递增数列，则a2=2，a3=3，
设公差为d，则d=1，
所以： an=a2+n−2d=2+n−2×1=n.
2设数列an2n的前n项和为Sn，
则Sn=12+222+323+⋯+n2n，①
∴ 12Sn=122+223+324+⋯+n−12n+n2n+1，②
①−②得：
12Sn=12+122+123+⋯+12n−n2n+1=1−12n−n2n−1，
∴ Sn=2−12n−1−n2n=2−2+n2n.
【答案】
解：(1)∵m→//n→ ，
∴cacsB−12b=a2−b2，
由余弦定理
得a2+c2−b2−bc=2a2−2b2，
即a2=b2+c2−bc.
∵ a2=b2+c2−2bccsA，
∴ csA=12.
∵ A∈0,π，
∴ A=π3．
(2)由正弦定理得asinA=bsinB=csinC=2，
∴ b=2sinB，c=2sinC，
∴ b+c=2sinB+2sinC=2sinB+2sinA+B
=2sinB+2sinAcsB+2csAsinB
=2sinB+2×32csB+2×12sinB
=3sinB+3csB=23sinB+π6.
∵ B∈0,2π3，
∴ B+π6∈π6,5π6，
∴sin(B+π6)∈(12,1]．
∴b+c∈(3,23]．
【考点】
余弦定理
平面向量共线（平行）的坐标表示
正弦定理
两角和与差的正弦公式
正弦函数的定义域和值域
【解析】
(1)答案未提供解析．
(2)答案未提供解析．
【解答】
解：(1)∵m→//n→ ，
∴cacsB−12b=a2−b2，
由余弦定理
得a2+c2−b2−bc=2a2−2b2，
即a2=b2+c2−bc.
∵ a2=b2+c2−2bccsA，
∴ csA=12.
∵ A∈0,π，
∴ A=π3．
(2)由正弦定理得asinA=bsinB=csinC=2，
∴ b=2sinB，c=2sinC，
∴ b+c=2sinB+2sinC=2sinB+2sinA+B
=2sinB+2sinAcsB+2csAsinB
=2sinB+2×32csB+2×12sinB
=3sinB+3csB=23sinB+π6.
∵ B∈0,2π3，
∴ B+π6∈π6,5π6，
∴sin(B+π6)∈(12,1]．
∴b+c∈(3,23]．
【答案】
解：(1)由a2−b−c2=2−3bc，
可得：a2−b2−c2=−3bc，
∴ csA=b2+c2−a22bc=32.
又0∴A=π6，
由sinAsinB=cs2C2，
可得12sinB=1+csC2，sinB=1+csC，
∴ csC<0，则C为钝角.
∵ B+C=5π6，
∴ sinB=sin5π6−C=1+csC，
∴ csC+π3=−1，
解得C=2π3，
∴ B=π6．
(2)设an的公差为d，由已知得
a1=1cs2B=2，且a42=a2a8，
∴ a1+3d2=a1+da1+7d．
又d≠0，
∴ d=2，
∴ an=2n，
∴ 4anan+1=1nn+1=1n−1n+1，
∴ Sn=1−12+12−13+⋯
+1n−1n+1=1−1n+1=nn+1=11+1n．
当n=1时，Sn最小为12，
又Sn=1−1n+1<1，
∴ Sn<1，
∴ 12≤Sn<1．
【考点】
余弦定理
两角和与差的正弦公式
二倍角的余弦公式
数列的求和
等差数列的通项公式
【解析】
(1)由a2−b−c2=2−3bc，化简后利用余弦定理可求csA，又0(2)设{an}的公差为d，由已知得a1=2，且a1+3d2=a1+da1+7d．解得d=2，an=2n．由4anan+1=1nn+1=1n−1n+1．即可用裂项法求和．
【解答】
解：(1)由a2−b−c2=2−3bc，
可得：a2−b2−c2=−3bc，
∴ csA=b2+c2−a22bc=32.
又0∴A=π6，
由sinAsinB=cs2C2，
可得12sinB=1+csC2，sinB=1+csC，
∴ csC<0，则C为钝角.
∵ B+C=5π6，
∴ sinB=sin5π6−C=1+csC，
∴ csC+π3=−1，
解得C=2π3，
∴ B=π6．
(2)设an的公差为d，由已知得
a1=1cs2B=2，且a42=a2a8，
∴ a1+3d2=a1+da1+7d．
又d≠0，
∴ d=2，
∴ an=2n，
∴ 4anan+1=1nn+1=1n−1n+1，
∴ Sn=1−12+12−13+⋯
+1n−1n+1=1−1n+1=nn+1=11+1n．
当n=1时，Sn最小为12，
又Sn=1−1n+1<1，
∴ Sn<1，
∴ 12≤Sn<1．