2020-2021学年新疆维吾尔族自治区伊犁市高一（下）期中考试数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年新疆维吾尔族自治区伊犁市高一（下）期中考试数学试卷人教A版，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列四个命题：①若a>b，则1ac，则a>cb；③若a>b，c≠0，则ac2>bc2；④若a>b，c>d，则a−c>b−d．其中真命题的个数是（ ）
A.1个B.2个C.3个D.4个

2. 在空间中，下列结论正确的是( )
A.三角形确定一个平面
B.四边形确定一个平面
C.一个点和一条直线确定一个平面
D.两条直线确定一个平面

3. 已知数列{an}满足an+an+2=2an+1(n∈N∗)，且a3=2，a5=8，则a7=( )
A.12B.13C.14D.15

4. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思是有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )
A.96里B.48里C.192里D.24里

5. 在正项等比数列{an}中，a3a7=4，数列{lg2an}的前9项之和为( )
A.11B.9C.15D.13

6. 设点A(2, −3)，B(−3, −2)，直线l过点P(1, 1)且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是( )
A.k≥34或k≤−4B.−4≤k≤34C.−34≤k≤4D.以上都不对

7. 已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列结论一定正确的是( )
A.若m⊂α，m⊥n，则n⊥α
B.若α⊥β，m⊂α，则m⊥β
C.若m⊥α，n⊥β，α//β，则m⊥n
D.若m//α，n⊥β，α//β，则m⊥n

8. 若不等式x2+ax+1≥0对一切x∈(0, +∞)成立，则a的最小值为( )
A.0B.−2C.−3D.−52

9. 几何体的三视图（单位：m）如图所示，则此几何体的体积( )

A.20π3m3B.26π3m3C.6πm3D.12πm3

10. 如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，下面结论错误的是( )

A.BD // 平面CB1D1
B.AC1⊥平面CB1D1
C.异面直线CB1与BD所成角为60∘
D.三棱锥D−CB1D1体积为23

11. 正三棱柱ABC−A1B1C1中AB=AA1=6，则其外接球的体积为( )
A.28πB.14213πC.28213πD.2821π

12. 已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，已知∠C=45∘，c=2，a=x，若满足条件的三角形有两个，则x的取值范围是( )
A.2cb不成立，故②是假命题；
③若a>b，c≠0，由1c2>0，知ac2>bc2，故③是真命题；
④若a>b，c>d，取a=2，b=1，c=−1，d=−2，则a−c>b−d不成立，故④是假命题．
故真命题的个数是1．
故选A.
2.
【答案】
A
【考点】
平面的基本性质及推论
【解析】
直接利用平面的性质的应用求出结果．
【解答】
解：A，三角形的三个顶点不共线，所以不共线的三点确定的平面有且只有一个，故正确；
B，空间四边形不能确定一个平面，故错误；
C，只有当点不在直线上时，才能确定一个平面，故错误；
D，两条异面直线不能确定一个平面，故错误．
故选A．
3.
【答案】
C
【考点】
等差数列的性质
【解析】
判断数列是等差数列，利用数列的性质求解即可．
【解答】
解：数列{an}满足an+an+2=2an+1(n∈N∗)，
所以数列{an}是等差数列，
所以a3+a7=2a5，
解得a7=14．
故选C.
4.
【答案】
A
【考点】
等比数列的前n项和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意得，每天行走的路程成等比数列{an}且公比为12，
依题意有a11−1261−12=378，
解得a1=192，
则a2=192×12=96，即第二天走了96里.
故选A．
5.
【答案】
B
【考点】
数列的求和
等比数列的性质
对数的运算性质
【解析】
先根据等比数列的性质得到a3a7=a1a9＝a2a8＝a4a6＝a52＝4，可求出a5的值，然后根据对数的运算性质可知lg2a1+lg2a2+lg2a3+lg2a4+lg2a5+lg2a6+lg2a7+lg2a8+lg2a9=lg2()，然后将数值代入即可得到答案．
【解答】
解：∵ {an}是正项等比数列，
∴ a3a7=a1a9=a2a8=a4a6=a52=4，
∴ a5=2，
S9=lg2a1+lg2a2+lg2a3+lg2a4+lg2a5+lg2a6+lg2a7+lg2a8+lg2a9
=lg2()，
=lg2[(a3a7)(a1a9)(a2a8)(a4a6)(a5)]
=lg2(44×2)
=lg229
=9.
故选B.
6.
【答案】
A
【考点】
直线的斜率
【解析】
画出图形，由题意得所求直线l的斜率k满足 k≥kPB 或 k≤kPA，用直线的斜率公式求出kPB 和kPA 的值，求出直线l的斜率k的取值范围．
【解答】
解：如图所示：
由题意得，所求直线l的斜率k满足 k≥kPB 或 k≤kPA，
即 k≥1+21+3=34或 k≤1+31−2=−4，
∴ k≥34或k≤−4，
即直线的斜率的取值范围是k≥34或k≤−4．
故选A．
7.
【答案】
D
【考点】
空间中直线与直线之间的位置关系
空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】
利用线面关系，逐个判断即可.
【解答】
解：A，若m⊂α，m⊥n，则n与α相交或n⊂α，故A错误；
B，若α⊥β，m⊂α，则m与β平行或相交或m⊂β，故B错误；
C，若m⊥α，n⊥β，α//β，则m//n，故C错误；
D，若m//α，n⊥β，α//β，则m⊥n，故D正确.
故选D．
8.
【答案】
B
【考点】
函数恒成立问题
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
不等式x2+ax+1≥0对一切x∈(0, +∞)成立⇔a≥(−x−1x)max，x∈(0, +∞)，令f(x)＝−x−1x，x∈(0, +∞)利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．
【解答】
解：不等式x2+ax+1≥0对一切x∈(0, +∞)成立⇔a≥(−x−1x)max，x∈(0, +∞)，
令f(x)=−x−1x，x∈(0, +∞)，
则f(x)=−(x+1x)≤−2x⋅1x=−2，
当且仅当x=1时，等号成立，
∴ a的最小值为−2．
故选B．
9.
【答案】
A
【考点】
由三视图求体积
【解析】
首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的体积．
【解答】
解：根据几何体的三视图转换为直观图为：
该几何体由一个底面半径为2，高为2的圆锥和一个底面半径为1，高为4的圆柱组成．
故V=π×12×4+13π×22×2=203πm3．
故选A.
10.
【答案】
D
【考点】
命题的真假判断与应用
直线与平面平行的判定
直线与平面垂直的判定
异面直线及其所成的角
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
A用直线与平面平行判定定理判断，B用垂直基本定理判断，C平移直线求异面直线成角，D用等体积法判断．
【解答】
解：连接C1D，A1C1，如图，
对于A，BD // B1D1，B1D1⊂平面CB1D1⇒BD // 平面CB1D1，所以A正确；
对于B，B1D1⊥A1C1，B1D1⊥AA1⇒B1D1⊥平面AA1C1⇒B1D1⊥AC1，
同理B1C⊥AC1⇒AC1⊥平面CB1D1，所以B正确；
对于C，BD // B1D1，△CB1D1为等边三角形，∠CB1D1=60∘，
所以CB1与BD所成角为60∘，所以C正确；
对于D，三棱锥D−CB1D1体积与三棱锥B1−CDD1体积相等，
V=13.S△CDD1⋅ℎ=13×12×2×2×2=43≠23，所以D错误．
故选D.
11.
【答案】
D
【考点】
球的表面积和体积
【解析】
根据正三棱柱的底面边长及高，先得出棱柱底面外接圆的半径及球心距，进而求出三棱柱外接球的球半径，代入球的体积公式，即可得到棱柱的外接球的体积．
【解答】
解：由正三棱柱的底面边长AB=6，设底面外接圆的半径为r，
所以2r=6sin60∘，
解得r=23．
又正三棱柱的高AA1=6，
则球心到底面距离为d=3，
根据球心距，底面外接圆半径与球半径的关系得，
R2=r2+d2=12+9=21，
即R=21，
所以外接球的体积为V=43πR3=2821π.
故选D．
12.
【答案】
B
【考点】
正弦定理的应用
【解析】
由已知根据正弦定理用x表示出sinA，由C的度数及正弦函数的图象可知满足题意△ABC的A的范围，然后根据A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出sinA的范围，进而求出x的取值范围．
【解答】
解：在△ABC中，由正弦定理得：asinA=csinC，即xsinA=2sin45∘，
可得：sinA=12x.
由题意得：当A∈(45∘, 135∘)且A≠90∘时，满足条件的△ABC有两个，
所以222．
∴ x+y=8xx−2+x
=8(x−2)+16x−2+x
=x−2+16x−2+8+2
≥2(x−2)⋅16x−2+8+2=18，
当且仅当x=6时取等号，此时x+y的最小值为18．
故答案为：18.
【答案】
①②③⑤
【考点】
平面与平面平行的判定
直线与平面平行的判定
两条直线垂直的判定
异面直线及其所成的角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：取PC的中点E，连接AC，BD，DE，BE，如图所示，
易得PC//OM，
因为OM⊂平面OMN，PC⊄平面OMN，
所以PC//平面OMN，
结论①正确.
同理PD//OMN，所以平面PCD//平面OMN，
结论②正确.
由于四棱锥的棱长均相等，
所以AB2+BC2=PA2+PC2=AC2，
所以PC⊥PA，又PC//OM，
所以OM⊥PA，结论③正确.
由于M，N分别为侧棱PA，PB的中点，
所以MN//AB.
又四边形ABCD为正方形，所以AB//CD，
所以直线PD与直线MN所成的角即为直线PD与直线CD所成的角，
即为∠PDC.
又三角形PDC为等边三角形，
所以∠PDC=60∘，结论④错误.
易知∠BED是二面角D−PC−B的平面角，
不妨设正四棱锥P−ABCD的棱长为2，
则DE=BE=3，BD=22，
在△BED中，cs∠BED=BE2+DE2−BD22DE⋅BE=−13．结论⑤正确.
故答案为：①②③⑤.
三、解答题
【答案】
解：(1)在△ABC中，由正弦定理得：3sinAcsC−sinCsinA=0．
因为00，b>0，
∴ 1a+4b=(1a+4b)(a+b)
=ba+4ab+5≥2ba⋅4ab+5=9，
当且仅当b=2a，即a=13,b=23时取等号，
∴ 1a+4b的最小值是9．
②不等式f(x)>1在R上恒成立，则ax2+(b−2)x+3>1在R上恒成立，
即ax2−(a+1)x+2>0恒成立，
∴ a>0,(a+1)2−8a0，b>0，
∴ 1a+4b=(1a+4b)(a+b)
=ba+4ab+5≥2ba⋅4ab+5=9，
当且仅当b=2a，即a=13,b=23时取等号，
∴ 1a+4b的最小值是9．
②不等式f(x)>1在R上恒成立，则ax2+(b−2)x+3>1在R上恒成立，
即ax2−(a+1)x+2>0恒成立，
∴ a>0,(a+1)2−8a