初中数学华师大版八年级上册13.3 等腰三角形综合与测试综合训练题

13.3等腰三角形同步练习华师大版初中数学八年级上册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，已知中，厘米，厘米，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以3厘米秒的速度由B向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为v厘米秒，则当与全等时，v的值为

A. 2厘米秒
B. 3厘米秒
C. 3厘米秒或4厘米秒
D. 2厘米秒或3厘米秒
 

2. 如图，，，，则的度数是

A.
B.
C.
D.

3. 小方画了一个有两边长为3和5的等腰三角形，则这个等腰三角形的周长为

A. 11 B. 13 C. 8 D. 11或13

4. 如图，将绕点C按逆时针方向旋转得，且点在AB上，交CB于点D，若，则的度数为

A.
B.
C.
D.

5. 如图，是等腰三角形，点O是底边BC上任意一点，OE、OF分别与两边垂直，等腰三角形的腰长为6，面积为15，则的值为

A. 5
B.
C. 9
D. 10

6. 如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转得到若点恰好落在BC边上，且，则的度数为

A.  B.  C.  D.

7. 三角形内角和为，等腰三角形满足两条边相等两个底角相等，等边三角形满足三条边相等且三个内角均为如图，，点，，，在射线ON上，点，，，在射线OM上，，，均为等边三角形．若，则的边长为

A. 2019 B.  C.  D.

8. 已知等腰三角形的两边长分别是5和11，则这个等腰三角形的周长为

A. 21 B. 16 C. 27 D. 21或27

9. 已知：在中，

求证：

证明：如图，作________

在和中，

≌

其中，横线应补充的条件是

A. BC边上高AD B. BC边上中线AD
C. 的平分线AD D. BC边的垂直平分线

10. 如图，中，交BC于D，AE平分交BC于E，F为BC的延长线上一点，交AD的延长线于G，AC的延长线交FG于H，连接BG，下列结论：；；：：AC；，其中正确的结论有个．

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

11. 如图，中，，把沿AC翻折，使点B落在的位置，则关于线段AC的性质中，准确的说法是

A. 是边上的中线
B. 是边上的高
C. 是的角平分线
D. 以上三种性质都有
 

12. 如图，等边的边长为5，点P在AB边上，点Q为BC延长线一点，连结PQ交AC于D，点A关于直线PQ的对称点A恰好落在AB边上，当时，的长为

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13. 一个正方形、一个等边三角形和一个正五边形如图摆放，若，则的大小是______度．
    
    
    
     

14. 如图所示，AOB是一钢架，设，为了使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF，FG，，添加的钢管长度都与OE相等，若最多能添加这样的钢管4根，则的取值范围是______．

15. 如图，，如果，，那么______．
    
     

16. 如图，D是等边三角形ABC外一点．若，，连接AD，则AD的最大值与最小值的差为______．
    
    
    
     

17. 在等腰三角形ABC中，它的两边长分别为7cm和3cm，则它的周长为______cm．
18. 如图，≌，点E在边AB上，，则的度数是___________．

三、解答题（本大题共5小题，共40.0分）

19. 如图，是等边三角形，点D在AC边上，将绕点C旋转得到．
    求证：．
    若，，求的周长．
     

20. 已知：如图，在中，，，点D是BC边上一点，且，过点C作于点E，与AB交于点F．
    若，求：
    的大小；
    的大小；用含的式子表示
    求证：．

21. 如图，点E、F在BC上，，，，AF与DE交于点G，求证：．
    
     

22. 如图，中，、的平分线相交于点P，过点P且平行于BC的直线分别交AB、AC于点D、点E．
    求证：；
    若，，求CE的长．
     

23. 如图，中，，．
    求证：BD平分；
    若，，求的度数．
    
    
     

答案和解析

1.【答案】C
 

【解析】分析
已知厘米，则，根据全等三角形的性质得出，或，进而算出时间t，再算出v即可．
本题考查了等腰三角形的性质和全等三角形的性质，注意：全等三角形的对应边相等．
详解
解：设经过t秒后，与全等，
厘米，点D为AB的中点，
厘米，，
要使和全等，
当，厘米时，
则，
解得：，
厘米秒，
当，时，
，
，
，
，
厘米秒．
故选C．
 

2.【答案】C
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及平行线的性质，正确得出是解题关键．
直接利用等腰三角形的性质、三角形内角和定理结合平行线的性质得出答案．
【解答】
解：，，
，
，
．
故选：C．  

3.【答案】D
 

【解析】解：由题意知，应分两种情况：
当腰长为3时，能构成三角形，周长；
当腰长为5时，能构成三角形，周长．
故选：D．
题目给出等腰三角形有两条边长为3和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
 

4.【答案】B
 

【解析】解：将绕点C按逆时针方向旋转得，
，，，

故选：B．
由旋转的性质可得，，，由等腰三角形的性质可求解．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键．
 

5.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的面积，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．连接AO，根据三角形的面积公式即可得到，根据等腰三角形的性质即可求得的值．
【解答】
解：连接AO，如图，
，
，
，
，
．
故选A．  

6.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，灵活运用这些的性质解决问题是本题的关键．
由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可得，，由三角形的外角性质和三角形内角和定理可求解．
【解答】
解：，
，
，
将绕点A按逆时针方向旋转得到，
，，
，
，
，
，
，
故选C．

7.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查的是等边三角形的性质，等腰三角形的性质，图形的规律，含直角三角形有关知识，根据等腰三角形的性质及含直角三角形得出，得出，，进而得出答案．
【解答】
解：是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
、是等边三角形，
，
，
，
，，
，
，
，
则的边长为．
故选C．  

8.【答案】C
 

【解析】解：当等腰三角形的腰为5时，三边为5，5，11，，三边关系不成立，
当等腰三角形的腰为11时，三边为5，11，11，三边关系成立，周长为．
故选：C．
根据腰为5或11，分类求解，注意根据三角形的三边关系进行判断．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理．关键是根据已知边那个为腰，分类讨论．
 

9.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质等边对等角，熟练掌握全等三角形的判定是关键由全等条件可得作的是的平分线AD，从而得到答案．
【解答】
解：如图，作的平分线AD，
则，
在和中，

≌，
．
故选C．  

10.【答案】D
 

【解析】解：如图，AE交GF于M，

，，
，
，
；故正确；

平分交BC于E，
，
，
，
，
，
，
故正确；

平分交BC于E，
点E到AB和AC的距离相等，
：：CA；故正确，

，，
，
，
，
；故正确；
故选：D．
如图，根据三角形的内角和即可得到；根据角平分线的定义得，由三角形的内角和定理得，变形可得结论；根据三角形的面积公式即可得到：：CA；根据三角形的内角和和外角的性质即刻得到．
本题考查了角平分线的定义和性质，直角三角形的性质，三角形的面积公式，三角形外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．
 

11.【答案】D
 

【解析】解：是沿直线AC翻折而成，
≌，
，，
是等腰三角形，AD是边的中线，
是边上的中线、边上的高、的角平分线．
故选：D．
根据图形翻折不变性的性质可知≌，是等腰三角形，故BC，再由等腰三角形三线合一的性质即可求解．
本题考查的是图形的翻折变换及等腰三角形的性质，熟知图形翻折变换的性质是解答此题的关键．
 

12.【答案】C
 

【解析】解：过P作交AC于M，如图所示：
四边形ABC是等边三角形，
，
，
，，，
为等边三角形，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
点A关于直线PQ的对称点A恰好落在AB边上，
，，
，
，
，
，，
；D是等边三角形，
，
，
，
，
；
故选：C．
过P作交AC于M，证出为等边三角形，得出，证明≌，得出，证明；D是等边三角形，得出，证出，得出，即可得出答案．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、轴对称的性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质和等边三角形的判定与性质是解题的关键．
 

13.【答案】66
 

【解析】解：正五边形的每个内角的度数是，
等边三角形的每个内角的度数是，
正方形的每个内角的度数是，
三角形的外角和等于，
，
，
，
，
故答案为：66．
先分别求出正五边形的每个内角的度数、等边三角形的每个内角的度数，正方形的每个内角的度数，再根据多边形的外角和等于和已知求出即可．
本题考查了多边形的内角与外角、正多边形等知识点，能根据题意得出是解此题的关键，注意：边数为的多边形的内角和，多边形的外角和．
 

14.【答案】
 

【解析】解：，
，
，
同理可得，，
最多能添加这样的钢管4根，
，，
，
故答案为．
由等腰三角形的性质和外角性质可得，，，，由题意可列不等式组，即可求解．
此题考查了等腰三角形的判定和性质及三角形外角的性质；发现并利用规律是正确解答本题的关键．
 

15.【答案】
 

【解析】解：，，
，
，
，
，
，
，
故答案为．
根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，再根据平行线的性质求出，进而求出，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可解决问题．
本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

16.【答案】12
 

【解析】解：如图，以CD为边向外作等边，连接BE，

和是等边三角形，
，，，
，
在和中，，
≌，
，
，，
在中，，
即，
，
．
则AD的最大值与最小值的差为．
故答案为：12．
以CD为边向外作等边，连接BE，可证得≌从而得到，再根据三角形的三边关系即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质以及三角形的三边关系，解题关键在于添加辅助线构建全等三角形把AD转化为BE从而求解，是一道较好的中考题．
 

17.【答案】17
 

【解析】解：当7cm为腰，3cm为底，此时周长；
当7cm为底，3cm为腰，则无法构成三角形，故舍去．
故其周长是17cm．
故答案为：17．
题目给出等腰三角形有两条边长为3cm和7cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
本题考查的是等腰三角形的性质，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．
 

18.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质 
利用全等三角形对应角相等、等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理求解，是解决问题是本题的关键．
由全等可得，，根据的内角和即可求的度数．
【解答】
解≌，
，，
，
，
故的度数是．
故答案为：28．  

19.【答案】证明：是等边三角形，
，，
将绕点C旋转得到．
，，
是等边三角形，
，
；
将绕点C旋转得到．
，
的周长，
的周长．
 

【解析】由旋转的性质可得，，可得，可证；
由旋转的性质可得，即可求的周长．
本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，灵活运用旋转的性质是本题的关键．
 

20.【答案】解：，，
，
过点A作于点G，如图所示：
，
，
于点E，
，
，
即；
证明：，，
，
，，，，
，
．
 

【解析】关键等腰三角形的性质即可得到结论；
过点A作于点G，由等腰三角形的性质得出，求出，即可得出结论；
由直角三角形的性质得出，证出，即可得出结论
本题考查了等腰三角形的性质与判定、等腰直角三角形的判定与性质、熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
 

21.【答案】证明：，
，
，
在和中，

≌，
，
．
 

【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
求出，根据SAS推出≌，得出，由等腰三角形的性质可得结论．
 

22.【答案】证明：，
，
平分，
，
，
．

解：由同理可得，
，
，，
．
 

【解析】根据等角对等边证明即可；
首先证明，利用结论即可解决问题；
本题考查等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

23.【答案】证明：，，，
，
，
，
，
平分；
设，则，
，，BD平分，
，，
，
，
，
，
，
，
解得，，
，
即的度数是．
 

【解析】要证明BD平分，只要证明即可，根据题目中的条件和三角形外角和内角的关系，可以证明，从而可以证明结论成立；
根据中的结论和题意，利用三角形内角和可以求得的度数．
本题考查等腰三角形的性质、三角形的外角和内角的关系、三角形的内角和，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．