华师大版八年级上册1 两数和乘以这两数的差优秀当堂检测题

12.3.1两数和乘以这两数的差同步练习华师大版初中数学八年级上册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如果用平方差公式计算，则可将原式变形为

A.  B.
C.  D.

2. 下列各式中不能用平方差公式计算的是

A.  B.
C.  D.

3. 下列算式能用平方差公式计算的是

A.  B.
C.  D.

4. 下列计算正确的是

A.  B.
C.  D.

5. 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如，即8，16均为“和谐数”，在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为．

A. 255054 B. 255064 C. 250554 D. 255024

6. 在下列多项式的乘法中可以用平方差公式计算的是

A. a b a b B. a b a b
C. m n m n D. m n m n

7. 下列运算正确的是

A.  B.
C.  D.

8. 已知，且，，则的值为     

A. 1 B.  C. 5 D.

9. 可以用平方差公式进行计算的是．

A.  B.
C.  D.

A.  B.  C.  D.

11. 已知，则的值为           

A. 0 B. 1 C. 3 D. 4

12. 如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的矩形根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是    

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13. 已知且，则          ．
14. 若，，则______．
15. 如果，那么的值为          ．
16. 若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，则这个正整数称为“智慧数”例如：，16就是一个智慧数，在正整数中，从1开始，第20个智慧数是______．
17. 若，则A的末位数字是          ．

三、解答题（本大题共6小题，共48.0分）

18. 从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形如图，然后将剩余部分拼成一个长方形如图

探究：上述操作能验证的等式是          

A.

B.

C.

应用：利用你从选出的等式，完成下列各题：

已知，，求的值

计算：






 

19. 设，，，容易知道，，，如果一个数能表示为8的倍数，我们就说它能被8整数，所以，，都能被8整除．
    试探究是否能被8整除，并用文字语言表达出你的结论．
    若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”，试找出，，这一系列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并说出当n满足什么条件时，为完全平方数．
    
    
    
    
    
    
     
20. 从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形如图，然后将剩余部分拼成一个长方形如图．
    上述操作能验证的等式是______请选择正确的一个
    A.
    B.
    C.
    若，，求的值；
    计算：

21. 用简便方法计算：
    ；
    ．
    
    
    
    
    
    
     
22. 在数学中，有时会出现大数值的运算．在学习了整式的乘法以后，通过用字母代替数转化成整式乘法来解决，能达到化繁为简的效果，请先阅读下面的解题过程：
    例：若，，试比较x、y的大小．
    解：设，则，．
    ，．
    参考上述解题过程，解答下列问题：
    计算：．
    若，，试比较x、y的大小．
    计算：．
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图1，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形如图2所示
     

如图1，可以求出阴影部分的面积是______写成平方差的形式．

如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是_______，长是_______，面积是_______写成多项式乘法形式

比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到公式__________．

请应用这个公式完成下列各题：

已知，，则_________．

计算：．

计算： ．

答案和解析

1.【答案】C
 

【解析】解：，
故选：C．
能用平方差公式计算式子的特点是：两个二项式相乘，有一项相同，另一项互为相反数．把看作公式中的a，y看作公式中的b，应用公式求解即可．
本题主要考查了平方差公式的应用．注意公式中的a与b的确定是解题的关键．
 

2.【答案】A
 

【解析】解：A、结果是，不能用平方差公式进行计算，故本选项符合题意；
B、能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；
C、能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；
D、能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；
故选：A．
根据平方差公式逐个判断即可．
本题考查了平方差公式，能熟记平方差公式是解此题的关键，注意：．
 

3.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查平方差公式和完全平方公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式．
根据平方差公式和完全平方公式即可求出答案．
【解答】
解：A．，不符合平方差的特点，不能用平方差公式，故此选项不符合题意；
B.，不符合平方差的特点，不能用平方差公式，故此选项不符合题意；       
C.，能用平方差公式，故此选项符合题意
D. ，不符合平方差的特点，不能用平方差公式，故此选项不符合题意，
故选C．  

4.【答案】B
 

【解析】解：A、原式，不符合题意；
B、原式，符合题意；
C、原式，不符合题意；
D、原式，不符合题意，
故选：B．
各项计算得到结果，即可作出判断．
此题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

5.【答案】D
 

【解析】解：由，解得，
则在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为．
故选：D．
由，解得，可得在不超过2017的正整数中，“和谐数”共有252个，依此列式计算即可求解．
此题考查了平方差公式，弄清题中“和谐数”的定义是解本题的关键．
 

6.【答案】D
 

【解析】

【分析】
此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．利用平方差公式的结构特征判断即可得到结果．
【解答】
解：A、不符合平方差公式结构特征，故此选项错误．
B、不符合平方差公式结构特征，故此选项错误；
C、不符合平方差公式结构特征，故此选项错误；
D、符合平方差公式结构特征，故此选项正确．
故选D．  

7.【答案】D
 

【解析】解：A、与不是同类项，不能合并，故本选项计算错误；
B、原式，故本选项计算错误；
C、原式，故本选项计算错误；
D、原式，故本选项计算正确．
故选：D．
根据合并同类项，平方差公式，幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的除法计算法则解答．
本题综合考查了合并同类项，平方差公式，幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的除法，属于基础计算题．
 

8.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题考查了平方差公式，得到是解题的关键．
由x，y满足的条件及，可得出，利用平方差公式即可得解．
【解答】
解：，且，，
，
，
．
故选A．  

9.【答案】C
 

【解析】解：．
故选：C．
根据两数之和与两数之差的乘积，等于两数的平方差，判断即可得到正确的选项．
此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特点是解本题的关键．
 

10.【答案】C
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了平方差公式，正确运用公式是解题关键．
直接利用平方差公式计算得出答案．
【解答】
解：．
故选C．  

11.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查的是代数式求值，平方差公式有关知识，首先对该式进行变形，然后再代入计算即可．
【解答】
解：，
原式


．
故选B．  

12.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查了平方差公式的几何背景，正确用两种方法表示阴影部分的面积是关键．
利用正方形的面积公式和长方形的面积公式分别表示出阴影部分的面积，然后根据面积相等列出等式即可．
【解答】
解：第一个图形阴影部分的面积是，
第二个图形的面积是．
则．
故选：D．  

13.【答案】12
 

【解析】解：由可得，
，
，
．
 

14.【答案】3
 

【解析】解：，
，
．
故答案为：3．
先利用平方差公式，再整体代入求值．
本题考查了平方差公式及整体代入的方法．掌握平方差公式是解决本题的关键．
 

15.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了代数式求值、开平方的应用等知识点，首先原式等式的左边变形为，然后得，最后开方即可解答．
【解答】
解：，

，
．
故答案为．  

16.【答案】29
 

【解析】解：第1个智慧数，
第2个智慧数，
第3个智慧数，
第4个智慧数，
第5个智慧数，
第6个智慧数，
第7个智慧数，
第8个智慧数，
第9个智慧数，
第10个智慧数，
第11个智慧数，
第12个智慧数，

可知全部智慧数从小到大可按每三个数分一组，从第2组开始每组的第一个数都是4的倍数．
即第n组的第一个数为，
，
第20个智慧数位于第7组第2个数，
第7组的第1个智慧数为，
第7组第2个数为29，即第20个智慧数为29，
故答案为：29．
根据规律可知全部智慧数从小到大可按每三个数分一组，从第2组开始每组的第一个数都是4的倍数．归纳可得第n组的第一个数为，又因为，所以第20个智慧数是第7组中的第2个数，从而得到．
本题主要考查数字的变化规律，将全部智慧数从小到大可按每三个数分一组，从第2组开始每组的第一个数都是4的倍数是解题的关键．
 

17.【答案】6
 

【解析】

【分析】
本题考查的是尾数特征，平方差公式有关知识，在原式前面加，利用两数的和与这两数的差的积，等于这两个数的平方差，把原式变成可以运用平方差公式的式子，再利用平方差公式计算即可．
【解答】
解：





，
因为的末位数字是6，所以原式末位数字是6，
故答案为6．  

18.【答案】解：第一个图形中阴影部分的面积是，第二个图形的面积是，则．
故选B．

，
，
得．

原式

．

【解析】见答案
 

19.【答案】解：由题意得：

能被8整除．
由知，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，．
这一系列数中从小到大排列的前4个完全平方数依次为：16、64、144、256．
由、、、四个完全平方数可知，
所以n为一个完全平方数两倍时，是完全平方数．
 

【解析】由题意，是相邻俩奇数、的平方差，化简结果是8的倍数，可整除；
由找到前四个完全平方数，从下标2、8、18、32可知它们是一个完全平方数的2倍．
本题主要考查了数字的变化规律，利用代数式来表示一般规律，利用已总结的规律进一步探索、发现、归纳得出下一步结论是本题难点．
 

20.【答案】解：
，且






 

【解析】

【分析】
本题主要考查平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
结合图1和图2阴影部分面积相等建立等式即可．
利用平方差公式计算即可．
利用平方差公式展开计算化简，最后求值．
【解答】
解：边长为a的正方形面积是，边长为b的正方形面积是，剩余部分面积为；图长方形面积为；
验证的等式是
故答案为：B．
见答案；
见答案．  

21.【答案】解：原式

．
原式


．
 

【解析】根据实数运算法则进行运算即可；
利用平方差公式根据实数运算法则求解即可．
此题是考查平方差公式，要仔细观察算式的特点，灵活运公式进行简便计算．
 

22.【答案】解：


；



，



，
；
设，
原式，
，
，
．
 

【解析】根据平方差公式计算即可；
根据平方差公式分别计算出x、y的值，比较即可；
设，则原式，计算即可．
本题考查了单项式乘多项式，完全平方公式，读懂题目信息，找出其运算方法是解题的关键．
 

23.【答案】解：；
；；；
或；
；




；




．
 

【解析】解：大正方形面积，小正方形面积，
阴影部分面积大正方形面积小正方形面积，
故答案为：；
由图可知，长方形的宽，长方形的长，
长方形的面积，
故答案为，；；；
或；
，，
，
故答案为：3；
见答案；
见答案．
由面积公式可得到答案；
根据图形可知长方形的长是，宽是，由长方形面积公式可得到答案；
根据图1和图2阴影部分面积相等可得到答案；
根据平方差公式，，已知代入即可求出答案；
可先把化为，再利用平方差公式计算即可得出答案；
先利用平方差公式变形，再约分即可得到答案．
本题主要考查了平方差公式的几何背景及其应用与拓展，计算具有一定的难度，属于中档题．