2022高考数学人教版（浙江专用）一轮总复习演练：第二章 第9讲　函数模型及其应用

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[A级 基础练]
1．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是( )
A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100
C．y＝50×2x D．y＝100lg2x＋100
解析：选C．根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型，代入数据验证即可得．故选C．
2．已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是( )
解析：选D．依题意知当0≤x≤4时，f(x)＝2x；当43．“酒驾猛于虎”，所以交通法规规定：驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2 mg/mL.假设某人喝了少量酒，血液中酒精含量迅速上升到0.8 mg/mL，在停止喝酒后，血液中酒精含量以每小时50%的速度减少，则他至少要经过________小时后才可以驾驶机动车．( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B．设n个小时后才可以驾驶机动车，则0.8×(1－50%)n＝0.2.解得n＝＝2.
即至少要经过2个小时后才可以驾驶机动车．故选B．
4．2020年3月，国内新冠肺炎疫情得到有效控制，人们开始走出家门享受春光．某旅游景点为吸引游客，推出团体购票优惠方案如表：
两个旅游团队计划游览该景点，若分别购票，则共需支付门票费1 290元；若合并成一个团队购票，则需支付门票费990元，那么这两个旅游团队的人数之差为( )
A．20 B．30
C．35 D．40
解析：选B．设两个旅游团队的人数分别为a，b，且a，b∈N*，
不妨令a≥b.因为1 290不能被13整除，所以a＋b≥51.
若51≤a＋b≤100，则11(a＋b)＝990，得a＋b＝90，①
由共需支付门票费为1 290元可知，11a＋13b＝1 290，②
联立①②解得b＝150，a＝－60，不符合题意；
若a＋b>100，则9(a＋b)＝990，得a＋b＝110，③
由共需支付门票费为1 290元可知，1≤b≤50，51≤a≤100，
得11a＋13b＝1 290，④联立③④解得a＝70，b＝40.
所以这两个旅游团队的人数之差为70－40＝30.故选B．
5．射线测厚技术原理公式为I＝I0e－ρμt，其中I0，I分别为射线穿过被测物前后的强度，e是自然对数的底数，t为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数．工业上通常用镅241(241Am)低能γ射线测量钢板的厚度．若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为(注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln 2≈0.693 1，结果精确到0.001)( )
A．0.110 B．0.112
C．0.114 D．0.116
解析：选C．由射线测厚技术原理公式得eq \f(I0,2)＝I0e－7.6×0.8μ，所以eq \f(1,2)＝e－6.08μ，－ln 2＝－6.08μ，μ≈0.114，故选C．
6．某购物网站在2020年11月开展“全部6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”．某人在11日当天欲购入原价48元(单价)的商品共42件，为使花钱总数最少，他最少需要下的订单张数为________．
解析：为使花钱总数最少，需使每张订单满足“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”，即每张订单打折前原金额不少于500元．由于每件原价48元，因此每张订单至少11件，又42＝11×3＋9，所以最少需要下的订单张数为3.
答案：3
7．某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资，假设以v km/h 的速度直达灾区，已知某市到灾区公路线长400 km，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(v,20)))eq \s\up12(2) km，那么这批物资全部到达灾区的最少时间是________h．(车身长度不计)
解析：设全部物资到达灾区所需时间为t h，由题意可知，t相当于最后一辆车行驶了eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(36×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(v,20)))\s\up12(2)＋400)) km所用的时间，
因此，t＝eq \f(36×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(v,20)))\s\up12(2)＋400,v)＝eq \f(36v,400)＋eq \f(400,v)≥2eq \r(\f(36v,400)×\f(400,v))＝12，
当且仅当eq \f(36v,400)＝eq \f(400,v)，即v＝eq \f(200,3)时取等号．
故这些汽车以eq \f(200,3) km/h的速度匀速行驶时，所需时间最少，最少时间为12 h.
答案：12
8．为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂，据实验表明，该药物释放量y(mg/m3)与时间t(h)的函数关系为y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(kt，0(1)k＝________；
(2)为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经过________分钟人方可进入房间．
解析：(1)由题图可知，当t＝eq \f(1,2)时，y＝1，
所以eq \f(2,k)＝1，所以k＝2.
(2)由(1)可知：y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2t，0当t≥eq \f(1,2)时，y＝eq \f(1,2t)，令y<0.75，得t>eq \f(2,3)，
所以在消毒后至少经过eq \f(2,3)小时，即40分钟人方可进入房间．
答案：(1)2 (2)40
9．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数．当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4(1)当0(2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值．
解：(1)由题意得当0显然v＝ax＋b在(4，20]内是减函数，
由已知得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(20a＋b＝0，,4a＋b＝2，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－\f(1,8)，,b＝\f(5,2)，))所以v＝－eq \f(1,8)x＋eq \f(5,2)，
故函数v＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2，0(2)设年生长量为f(x)千克/立方米，依题意并由(1)可得
f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x，0当0当4所以当0即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米．
[B级 综合练]
10．(2020·高考全国卷Ⅲ)Lgistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Lgistic模型：I(t)＝eq \f(K,1＋e－0.23(t－53))，其中K为最大确诊病例数．当I(t*)＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为(ln 19≈3)( )
A．60 B．63
C．66 D．69
解析：选C．由题意可知，当I(t*)＝0.95K时，eq \f(K,1＋e eq \s\up6(－0.23(t*－53)))＝0.95K，即eq \f(1,0.95)＝1＋e eq \s\up6(－0.23(t*－53))，e eq \s\up6(－0.23(t*－53))＝eq \f(1,19)，e eq \s\up6(0.23(t*－53))＝19，所以0.23(t*－53)＝ln 19≈3，所以t*≈66.故选C．
11．5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C＝Wlg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(S,N))).它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中eq \f(S,N)叫做信噪比．按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比eq \f(S,N)从1 000提升至2 000，则C大约增加了( )
A．10% B．30%
C．50% D．100%
解析：选A．将信噪比eq \f(S,N)从1 000提升至2 000，C大约增加了
eq \f(Wlg2(1＋2 000)－Wlg2(1＋1 000),Wlg2(1＋1 000))＝eq \f(lg22 001－lg21 001,lg21 001)≈eq \f(10.967－9.967,9.967)≈10%，故选A．
12．某公司计划投资开发一种新能源产品，预计能获得10万元～1 000万元的收益．现准备制定一个对开发科研小组的奖励方案：资金y(单位：万元)随收益x(单位：万元)的增加而增加，且奖金总数不超过9万元，同时奖金总数不超过收益的20%.
(1)若建立奖励方案函数模型y＝f(x)，试确定这个函数的定义域、值域和eq \f(y,x)的范围；
(2)现有两个奖励函数模型：①y＝eq \f(x,150)＋2；②y＝4lg x－3.试分析这两个函数模型是否符合公司的要求？请说明理由．
解：(1)y＝f(x)的定义域是[10，1 000]，值域是(0，9]，eq \f(y,x)∈(0，0.2]．
(2)当y＝eq \f(x,150)＋2时，eq \f(y,x)＝eq \f(1,150)＋eq \f(2,x)的最大值是eq \f(31,150)>0.2，不符合公司的要求．
当y＝4lg x－3时，函数在定义域上为增函数，最大值为9.
由eq \f(y,x)≤0.2可知y－0.2x≤0.
令g(x)＝4lg x－3－0.2x，x∈[10，1 000]，则g′(x)＝eq \f(20－xln 10,5xln 10)<0，所以g(x)在[10，1 000]上单调递减，所以g(x)≤g(10)＝－1<0，即eq \f(y,x)≤0.2.故函数y＝4lg x－3符合公司的要求．
[C级 提升练]
13．某旅游景点预计2021年1月份起前x个月的旅游人数的和p(x)(单位：万人)与x的关系近似为p(x)＝eq \f(1,2)x·(x＋1)·(39－2x)(x∈N*，且x≤12)．已知第x个月的人均消费额q(x)(单位：元)与x的近似关系是q(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(35－2x，x∈N*，且1≤x≤6，,\f(160,x)，x∈N* 且7≤x≤12.))
(1)写出2021年第x个月的旅游人数f(x)(单位：万人)与x的函数关系式；
(2)试问2021年第几个月的旅游消费总额最大？最大月旅游消费总额为多少元？
解：(1)当x＝1时，f(1)＝p(1)＝37，当2≤x≤12，且x∈N*时，f(x)＝p(x)－p(x－1)＝eq \f(1,2)x(x＋1)(39－2x)－eq \f(1,2)x(x－1)(41－2x)＝－3x2＋40x，经验证x＝1时也满足此式．
所以f(x)＝－3x2＋40x(x∈N*，且1≤x≤12)．
(2)第x(x∈N*)个月的旅游消费总额为g(x)＝
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1((－3x2＋40x)(35－2x)，x∈N*，且1≤x≤6，,－480x＋6 400，x∈N*，且7≤x≤12.))
①当1≤x≤6，且x∈N*时，g′(x)＝18x2－370x＋1 400，
令g′(x)＝0，解得x＝5或x＝eq \f(140,9)(舍去)．
当1≤x≤5时，g′(x)≥0，当5②当7≤x≤12，且x∈N*时，g(x)＝－480x＋6 400是减函数，所以g(x)max＝g(7)＝3 040.综上，2021年5月份的旅游消费总额最大，最大月旅游消费总额为3 125万元．
购票人数
1～50
51～100
100以上
门票价格
13元/人
11元/人
9元/人