2021届新高考版高考数学一轮复习教师用书：第三章第一讲　导数的概念及运算学案

第三章　一元函数导数及其应用

第一讲　导数的概念及运算

1.[多选题]下列说法正确的是 (　　)

A.f ' (x)与f ' (x0)(x0为常数)表示的意义相同

B.曲线y=f(x)在某点处的切线与曲线y=f(x)过某点的切线意义不同

C.(sin )'=cos

D.(log2x)'=

2.某质点的位移s(单位:m)关于时间t(单位:s)的函数是s=2t 3 - gt 2(g=10 m/s2),则当t=2 s时,它的加速度是              (　　)

A.14 m/s2 B.4 m/s2     C.10 m/s2 D. - 4 m/s2

3.设正弦函数y=sin x在x=0和x=附近的平均变化率分别为k1,k2,则k1,k2的大小关系为 (　　)

A.k1>k2        B.k1<k2     C.k1=k2       D.不确定

4.[2019全国卷Ⅰ]曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为　　　　. 

5.[2018全国卷Ⅲ]曲线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为 - 2,则a=　　　　. 

6.[2018天津高考]已知函数f (x)=exln x,f  ' (x)为f (x)的导函数,则f  ' (1)的值为　　　　. 

7.[2015陕西高考]设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y=(x>0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为　　　　. 

考法1 导数的运算

1求下列函数的导数:

(1)y=(x+1)(x+2)(x+3);

(2)y=sin(1 - 2cos2).

把已知函数式进行化简→利用导数公式进行求导

(1)因为y=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6,

所以y' =3x2+12x+11.

(2)因为y=sin( -  cos)=   -  sin x,

所以y' =(  -  sin x)'  =  -  (sin x)'  =  -  cos x.

2若函数f (x)=ln x - f  ' (1)x2+3x - 4,则f  ' (3)=　　　. 

先求出f  ' (1),得出导函数的解析式,再把x=3代入导函数的解析式得f  ' (3).

对f (x)求导,得f  ' (x)= -  2f  ' (1)x+3,所以f  ' (1)=1 - 2f  ' (1)+3,解得f  ' (1)=,所以f  ' (x)=x+3,将x=3代入f  ' (x),可得

f  ' (3)=  - .

1.等比数列{an}中,a1=2,a8=4,函数f (x)=x(x - a1)(x - a2)…(x - a8),则f  ' (0)= (　　)　　　　　　　　　　　　　　

A.26 B.29 C.212 D.215

考法2 导数的几何意义的应用

3(1)[2019全国卷Ⅱ]曲线y=2sin x+cos x在点(π, - 1)处的切线方程为　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.x - y - π - 1=0 B.2x - y - 2π - 1=0

C.2x+y - 2π+1=0 D.x+y - π+1=0

(2)[2019全国卷Ⅲ]已知曲线y=aex+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则

A.a=e,b= - 1 B.a=e,b=1

C.a=e - 1,b=1 D.a=e - 1,b= - 1

(3)[2019江苏高考]在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=ln x上,且该曲线在点A处的切线经过点( - e, - 1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是　　　　. 

(1)先求得相应函数的导数,再依据导数的几何意义得出所求切线的斜率,最后由直线的点斜式方程求解.(2)先求出切线方程,然后与已知的切线方程对比得出关于参数的方程组,解之即可.(3)设出点A的坐标,先求出切线方程,然后将( - e, - 1)代入求解即可.

(1)依题意得y' =2cos x - sin x,y'  =(2cos x - sin x)=2cos π - sin π= - 2,

因此所求的切线方程为y+1= - 2(x - π),

即2x+y - 2π+1=0.故选C.

(2)因为y'  =aex+ln x+1,

所以y'  =ae+1,

所以曲线在点(1,ae)处的切线方程为y - ae=(ae+1)(x - 1),即y=(ae+1)x - 1,

所以解得故选D.

(3)设A(x0,ln x0),又y'  =,

则曲线y=ln x在点A处的切线方程为y - ln x0=(x - x0),

将( - e, - 1)代入得, - 1 - ln x0=( - e - x0),化简得ln x0=,解得x0=e,则点A的坐标是(e,1).

2.(1)[2019石家庄市质检]将函数y=ex(e为自然对数的底数)的图象绕坐标原点O顺时针旋转角θ后第一次与x轴相切,则角θ满足的条件是(　　)

A.esin θ=cos θ B.sin θ=ecos θ

C.esin θ=1 D.ecos θ=1

(2)[2016全国卷Ⅱ]若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b=　　　　. 

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1.BD　由导数的概念、几何意义及导数公式可得BD正确.

2.A　由质点在时刻t的速度v(t)=s' (t)=6t2 - gt,加速度a(t)=v' (t)=12t - g,得当t=2 s时,a(2)=v' (2)=12×2 - 10=14(m/s2).

3.A　∵y=sin x,∴y' =(sin x)' =cos x.k1=cos 0=1,k2=cos=0,∴k1>k2.

4.y=3x　因为y ' =3(2x+1)ex+3(x2+x)ex=3(x2+3x+1)ex,所以曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线的斜率k=,所以所求的切线方程为y=3x.

5. - 3　y' =(ax+1+a)ex,由曲线在点(0,1)处的切线的斜率为 - 2,得y' |x=0=(ax+1+a)ex|x=0=1+a= - 2,所以a= - 3.

6.e　由题意得f  ' (x)=exln x+ex·,则f  ' (1)=e.

7.(1,1)　y' =ex,则曲线y=ex在点(0,1)处的切线的斜率k切=1,又曲线y=(x>0)上点P处的切线与曲线y=ex在点(0,1)处的切线垂直,所以曲线y=(x>0)在点P处的切线的斜率为 - 1,设P(a,b)(a,b>0),则曲线y=(x>0)上点P处的切线的斜率为= - a - 2= - 1,可得a=1,又P(a,b)在曲线y=上,所以b=1,故P(1,1).

1.C　因为f  ' (x)=x' [(x - a1)(x - a2)…(x - a8)]+[(x - a1)·(x - a2)…(x - a8)]' x=(x - a1)(x - a2)…(x - a8)+[(x - a1)(x - a2)…(x - a8)]' x,所以f  ' (0)=(0 - a1)(0 - a2)…(0 - a8)+0=a1a2…a8.因为数列{an}为等比数列,所以a2a7=a3a6=a4a5=a1a8=8,所以f  ' (0)=84=212.故选C.

2.(1)B　由题意得x轴绕坐标原点O逆时针旋转角θ后第一次与y=ex的图象相切,设切点为(x0,),∵y' =ex,∴,∴x0=1,∴tan θ=e,

∴sin θ=ecos θ,故选B.

(2)1 - ln 2 　设直线y=kx+b与曲线y=ln x+2的切点为(x1,ln x1+2),与曲线y=ln(x+1)的切点为(x2,ln(x2+1)).

则切线方程分别为y - ln x1 - 2=(x - x1),y - ln(x2+1)=(x - x2),化简得y=x+ln x1+1,y=x - +ln(x2+1),

依题意,得解得x1=,

从而b=ln x1+1=1 - ln 2.