2021届新高考版高考数学一轮复习教师用书：第二章第六讲　函数的图象学案

这是一份2021届新高考版高考数学一轮复习教师用书：第二章第六讲　函数的图象学案，共11页。

第六讲　函数的图象


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.[改编题]下列说法正确的是(　　)
A.若函数y=f (x)满足f (1+x)=f (1 - x),则函数y=f (x)的图象关于直线x=1对称
B.若函数y=f (x)满足f (x+1)=f (x - 1),则函数y=f (x)的图象关于直线x=1对称
C.当x∈(0,+∞)时,函数y=f (|x|)的图象与y=|f (x)|的图象相同
D.函数y=f (1 - x)的图象可由y=f ( - x)的图象向左平移1个单位长度得到
2.[2019全国卷Ⅲ]函数y=2x32x+2-x在[ - 6,6]上的图象大致为 (　　)

3.[2020石家庄市高三测试]已知函数f (x)=1,x>0,0,x=0,-1,x<0,则函数g(x)=f (x)·(ex - 1)的大致图象是(　　)

　　 A　 　　　　　B　 　　　　　C　　　　　　 D
4.[2018全国卷Ⅲ]下列函数中,其图象与函数y=ln x的图象关于直线x=1对称的是(　　)
A.y=ln(1 - x) B.y=ln(2 - x)
C.y=ln(1+x) D.y=ln(2+x)
5.[2015新课标全国Ⅰ]设函数y=f (x)的图象与y=2x+a的图象关于直线y= - x对称,且f ( - 2)+f ( - 4)=1,则a=(　　)
A. - 1 B.1 C.2 D.4
6.[多选题]已知函数f(x)=|log2(-x)|,x<0,-log2|1-x|,x≥0,x≠1,设f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4),且x1 A.x1x2=1
B.x3+x4=1
C.0 D.x1+x2+x3+x4<0
7.设f (x)=|lg(x - 1)|,若1

考法1 函数图象的识别
命题角度1　函数图象的识别
1[2019全国卷Ⅰ]函数f (x)=sinx+xcosx+x2在[ - π,π]上的图象大致为

易知函数f (x)的定义域为R.
因为f ( - x)=sin(-x)-xcos(-x)+(-x)2= - sinx+xcosx+x2= - f (x),所以f (x)为奇函数,排除A;
因为f (π)=sin π+πcos π+π2=π-1+π2>0,所以排除C;因为f (1)=sin1+1cos1+1,且sin 1>cos 1,所以f (1)>1,所以排除B.选D.
D
排除法是解决判断函数图象问题的主要方法,即根据函数的单调性、函数图象与两坐标轴的交点位置、函数值的符号等排除干扰项,从而得出正确的结果.
命题角度2　已知函数图象求解相关问题
2 [2020江西五校联考]函数f (x)的大致图象如图2 - 6 - 1所示,则函数f (x)的解析式可以是
A.f (x)=x2·sin|x|
B.f (x)=(x - 1x)cos 2x
C.f (x)=(ex - e - x)cos(π2x)
D.f (x)=xln|x||x|
由题中图象可知,函数在原点处没有定义,故函数的定义域为{x|x≠0},故排除选项A,C;又函数图象与x轴只有两个交点,对于函数f (x)=(x - 1x)cos 2x,cos 2x=0有无数个根,故排除选项B.选D.
D
命题角度3　借助动点探究函数图象
3[2015新课标全国Ⅱ]如图2 - 6 - 2,长方形ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的中点.点P沿着边BC,CD与DA运动,记∠BOP=x.将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数f (x),则y=f (x)的图象大致为

　　　A　　　　　　B　　　 　　C　　　　　　D
根据动点在不同位置的图象的特征,排除不符合要求的选项,从而得出结果.
由题易知f (0)=2, f (π4)=1+5, f (π2)=22 (0≤x≤π4),不难发现f (x)的图象是非线性的,排除选项A,选B.
B
1.(1)[2018全国卷Ⅲ]函数y= - x4+x2+2的图象大致为 (　　)


(2)[2015安徽高考]函数f (x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图2 - 6 - 3所示,则下列结论成立的是(　　)
A.a>0,b<0,c>0,d>0
B.a>0,b<0,c<0,d>0
C.a<0,b<0,c>0,d>0
D.a>0,b>0,c>0,d<0
(3)[2019江西九江四校联考]如图2 - 6 - 4所示的图形是由一个半径为2的圆和两个半径为1的半圆组成的,它们的圆心分别是O,O1,O2,动点P从点A出发沿着圆弧按A→O→B→C→A→D→B的路线运动(其中A,O1,O,O2,B五点共线),记点P运动的路程为x,设y=|O1P|2,y与x的函数解析式为y=f (x),则y=f (x)的图象大致是(　　)
考法2 函数图象的应用
命题角度1　利用函数的图象研究函数性质
4已知函数f (x)=x|x| - 2x,则下列结论正确的是
A.f (x)是偶函数,递增区间是(0,+∞)
B.f (x)是偶函数,递减区间是( - ∞,1)
C.f (x)是奇函数,递减区间是( - 1,1)
D.f (x)是奇函数,递增区间是( - ∞,0)
由题意得f (x)=x2-2x,x≥0,-x2-2x,x<0,画出函数f (x)的图象,如图2 - 6 - 5,观察图象可知,函数f (x)的图象关于原点对称,故函数f (x)为奇函数,且在( - 1,1)上单调递减.

C
命题角度2　利用函数的图象研究不等式
5函数f (x)是定义在[ - 4,4]上的偶函数,其在[0,4]上的图象如图2 - 6 - 6所示,那么不等式f(x)cosx<0的解集为　　　　. 

当x∈(0,π2)时,y=cos x>0;
当x∈(π2,4)时,y=cos x<0.
结合y=f (x)在[0,4]上的图象知,
当1 所以在[ - 4,0]上,f(x)cosx<0的解集为( - π2, - 1),
所以f(x)cosx<0的解集为( - π2, - 1)∪(1,π2).
命题角度3　利用函数图象的对称性求值
6函数y=ln|x - 1|的图象与函数y= - 2cos πx( - 2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于
A.3 B.6 C.4 D.2
先分析两函数图象的对称性,然后根据对称性确定交点的横坐标之和.
由图象变换的法则可知,将y=ln x的图象作关于y轴的对称变换,得到的图象和原来的图象一起构成y=ln|x|的图象,将函数y=ln|x|的图象向右平移1个单位长度,得到y=ln|x - 1|的图象,函数y=- 2cos πx的最小正周期T=2,在同一平面直角坐标系中画出函数y=ln|x - 1|与函数y= - 2cos πx( - 2≤x≤4)的图象如图2 - 6 - 7所示,

两函数的图象都关于直线x=1对称,且有3对交点,每对交点关于直线x=1对称,故所有交点的横坐标之和为2×3=6.
B
命题角度4　利用函数图象解决函数零点问题
7 [2020江西省南康中学、于都中学联考]已知定义在R上的函数y=f (x)对任意的x都满足f (x+1)= - f (x),当 - 1≤x<1时,
f (x)=x3,若函数g(x)=f (x) - loga|x|至少有6个零点,则a的取值范围是
A.(0,15]∪(5,+∞) B.(0,15)∪[5,+∞) C.(17,15]∪(5,7) D.(17,15)∪[5,7)
由f (x+1)= - f (x)得f (x)=f (x+2),即函数f (x)是周期为2的周期函数.
函数g(x)=f (x) - loga|x|至少有6个零点等价于函数y=f (x)与h(x)=loga|x|的图象至少有6个交点.
当a>1时,在同一平面直角坐标系中画出函数y=f (x)与h(x)=loga|　x|　的图象如图2 - 6 - 8所示,根据图象可得loga5<1,即a>5.

图2 - 6 - 8 图2 - 6 - 9
当0 综上所述,a的取值范围是(0,15]∪(5,+∞).
A
2.(1)[2016全国卷Ⅱ]已知函数f (x)(x∈R)满足f ( - x)=2 - f (x),若函数y=x+1x与y=f (x)图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则∑i=1m(xi+yi)=(　　)
A.0 B.m C.2m D.4m
(2)函数f (x)=lg x - sin x在(0,+∞)上的零点个数是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
(3)已知函数f (x)=-x2+2x,x≤0,ln(x+1),x>0.若|f (x)|≥ax恒成立,则a的取值范围是(　　)
A.( - ∞,0] B.( - ∞,1] C.[ - 2,1] D.[ - 2,0]
(4)[多选题]设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R恒有f(x+1)=f(x-1),已知当x∈[0,1]时,f(x)=(12)1-x,则下列结论正确的是(　　)
A.2是函数f(x)的周期
B.函数f(x)在(1,2)上单调递减,在(2,3)上单调递增
C.函数f(x)的最大值是1,最小值是0
D.当x∈(3,4)时,f(x)=(12)x-3




思想方法　数形结合思想在函数问题中的应用
8 [2019江苏高考]设f (x),g(x)是定义在R上的两个周期函数,f (x)的周期为4,g(x)的周期为2,且f (x)是奇函数.当x∈(0,2]时,f (x)=1-(x-1)2,g(x)=k(x+2),00.若在区间(0,9]上,关于x的方程f (x)=g(x)有8个不同的实数根,则k的取值范围是　　　　. 
当x∈(0,2]时,令y=1-(x-1)2,则(x - 1)2+y2=1,y≥0,则可得f (x)的图象是以(1,0)为圆心、1为半径的半圆,利用f (x)是奇函数,且周期为4,画出函数f (x)在(0,9]上的图象,再在同一坐标系中作出函数g(x)在(0,9]上的图象,如图2 - 6 - 10,

关于x的方程f (x)=g(x)在(0,9]上有8个不同的实数根,即两个函数的图象有8个不同的交点,数形结合知g(x)(x∈(0,1])与
f (x)(x∈(0,1])的图象有2个不同的交点时满足题意,当直线y=k(x+2)经过点(1,1)时,k=13,当直线y=k(x+2)与半圆(x - 1)2+y2=1(y≥0)相切时, |3k|k2+1=1,解得k=24或k= - 24(舍去),所以k的取值范围是[13,24).













1.A　由函数的性质知A正确,B错误;令f (x)= - x,则当x∈(0,+∞)时,f (|x|)=f (x)= - x,|f (x)|=x,f (|x|)≠|f (x)|,故C错误;y=f ( - x)的图象向左平移1个单位长度得到y=f ( - x - 1)的图象,故D错误.
2.B　令f (x)=y=2x32x+2-x,则f ( - x)=-2x32-x+2x= - f (x),且x∈[ - 6,6],所以函数y=2x32x+2-x为奇函数,排除C;当x>0时,f (x)=2x32x+2-x>0恒成立,排除D;
因为f (4)=2×6424+2-4=12816+116=128×16257≈7.97,排除A.故选B.
3.D　解法一　g(x)=f (x)(ex - 1)=ex-1,x>0,0,x=0,1-ex,x<0,当x>0时,将函数y=ex的图象向下平移一个单位长度得到函数y=ex - 1的图象,当x<0时,作函数y=ex - 1的图象关于x轴对称的图象,得到函数y=1 - ex的图象,故选D.
解法二　g(x)=f (x)(ex - 1)=ex-1,x>0,0,x=0,1-ex,x<0,当x=1时,g(x)>0,排除A,当x= - 1时,g(x)>0,排除B,当x→ - ∞时,g(x)→1,排除C,选D.
4.B　解法一　设所求函数图象上任意一点的坐标为(x,y),则其关于直线x=1对称的点的坐标为(2 - x,y),由对称性知点(2 - x,y)在函数y=ln x的图象上,所以y=ln(2 - x).故选B.
解法二　由题意知,对称轴上的点(1,0)既在函数y=ln x的图象上,也在所求函数的图象上,代入选项中的函数表达式逐一检验,排除选项A,C,D,选B.
5.C　设(x,y)是函数y=f (x)图象上任意一点,它关于直线y= - x对称的点为( - y, - x),由函数y=f (x)的图象与y=2x+a的图象关于直线y= - x对称,可知点( - y, - x)在y=2x+a的图象上,即 - x=2 - y+a,解得y= - log2( - x)+a,所以f ( - 2)+ f ( - 4)= - log22+a - log24+a=1,解得a=2,故选C.
6.ACD　作出函数f (x)的大致图象如图D 2 - 6 - 1所示,由图可知x3+x4=2,x1x2=1,所以A正确,B不正确;结合二次函数的性质知x1x2x3x4=x3x4=x3(2 - x3)∈(0,1),所以C正确;易知x1+x2+x3+x4=x1+x2+2< - 2+2=0,D正确.故选ACD.

图D 2 - 6 - 1
【解后反思】　求解函数问题时一定要注意利用数形结合思想,如本题作出函数f (x)的大致图象,并利用数形结合思想分析,可得x1,x2,x3,x4的大致位置及它们之间的关系,从而可顺利解题.
7.(4,+∞)　画出函数f (x)=|lg(x - 1)|的图象,如图D 2 - 6 - 2所示.

图D 2 - 6 - 2
由12ab(由于a4.

1.(1)D　当x=0时,y=2,排除选项A,B.y' = - 4x3+2x,令y' =0,得x=0或x=±22,结合三次函数的图象特征,知原函数在( - 1,1)上有三个极值点,∴排除选项C,选D.
(2)A　∵函数f (x)的图象在y轴上的截距为正值,∴d>0.
∵f ' (x)=3ax2+2bx+c,且函数f (x)=ax3+bx2+cx+d在( - ∞,x1)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减,在(x2,+∞)上单调递增,∴f ' (x)<0的解集为(x1,x2),∴a>0,又x1,x2均为正数,∴c3a>0, - 2b3a>0,可得c>0,b<0.故选A.
(3)A　当x∈[0,π]时,y=1.当x∈(π,2π)时,∵O1P=O2P - O2O1,
设O2P与O2O1的夹角为θ,易知|O2P|=1,|O2O1|=2,∴θ=x - π,
∴y=|O1P|2=(O2P - O2O1)2=5 - 4cos θ=5+4cos x,x∈(π,2π),
∴当x∈(π,2π)时,函数y=f (x)的图象是曲线,且单调递增,排除C,D.
当x∈[2π,4π]时,∵O1P=OP - OO1,设OP与OO1的夹角为α,易知|OP|=2,|OO1|=1,
∴α=2π - 12x,∴y=|O1P|2=(OP - OO1)2=5 - 4cos α=5 - 4cos12x,x∈[2π,4π],
∴当x∈[2π,4π]时,函数y=f (x)的图象是曲线,且单调递减,排除B,选A.
2.(1)B　因为f (x)+f ( - x)=2,y=x+1x=1+1x,所以函数y=f (x)与y=x+1x的图象都关于点(0,1)对称,所以∑i=1mxi=0,∑i=1myi=m2×2=m,所以∑i=1m(xi+yi)=m,故选B.
(2)C　函数f (x)=lg x - sin x的零点个数即函数y=lg x的图象和函数y=sin x的图象的交点个数,在同一平面直角坐标系中画出函数y=lg x和y=sin x的图象如图D 2 - 6 - 3所示.显然,函数y=lg x的图象和函数y=sin x的图象的交点个数为3,故选C.

图D 2 - 6 - 3
(3)D　由y=|f (x)|的图象(如图D 2 - 6 - 4所示)知,①当x>0时,只有a≤0时才能满足|f (x)|≥ax.②当x≤0时,y=|f (x)|=| - x2+2x|=x2 - 2x.
故由|f (x)|≥ax得x2 - 2x≥ax.当x=0时,不等式为0≥0,成立;当x<0时,不等式等价为x - 2≤a.
因为x - 2< - 2,所以a≥ - 2.综上可知,a∈[ - 2,0].


图D 2 - 6 - 4
(4)ABD　由已知条件得f (x+2)=f (x),则y=f (x)是以2为周期的周期函数,A正确;
当 - 1≤x≤0时,0≤ - x≤1,f (x)=f ( - x)=(12)1+x,画出函数y=f (x)的部分图象如图D 2 - 6 - 5所示.

图D 2 - 6 - 5
由图象知B正确,C不正确;
当3