新高考数学一轮复习教师用书：第二章　1 第1讲　函数及其表示学案

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知识点
最新考纲
函数及其表示
了解函数、映射的概念．
了解函数的定义域、值域及三种表示法(解析法、图象法和列表法)．
了解简单的分段函数，会用分段函数解决简单的问题.
函数的基本性质
理解函数的单调性、奇偶性，会判断函数的单调性、奇偶性．
理解函数的最大(小)值的含义，会求简单函数的最大(小)值.
指数函数
了解指数幂的含义，掌握有理指数幂的运算．
理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象、性质及应用.
对数函数
理解对数的概念，掌握对数的运算，会用换底公式．
理解对数函数的概念，掌握对数函数的图象、性质及应用.
幂函数
了解幂函数的概念．
掌握幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象和性质.
函数与方程
了解函数零点的概念，掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法.
函数模型及其应用
了解指数函数、对数函数以及幂函数的变化特征．
能将一些简单的实际问题转化为相应的函数问题，并给予解决.
第1讲　函数及其表示


1．函数与映射的概念

函数
映射
两集合
A、B
设A，B是两个非空的数集
设A，B是两个非空的集合
对应关系
f：A→B
如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应
如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应
名称
称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射
记法
y＝f(x)(x∈A)
对应f：A→B是一个映射
2.函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
(4)函数的表示法
表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．
3．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．

[疑误辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝f(x)的图象与直线x＝a最多有2个交点．(　　)
(2)函数f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t是同一函数．(　　)
(3)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．(　　)
(4)若A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|，则对应关系f是从A到B的映射．(　　)
(5)分段函数是由两个或几个函数组成的．(　　)
(6)分段函数的定义域等于各段定义域的并集，值域等于各段值域的并集．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×　(6)√
[教材衍化]
1．(必修1P18例2改编)下列函数中，与函数y＝x＋1是相等函数的是(　　)
A．y＝()2　　　　 B．y＝＋1
C．y＝＋1 D．y＝＋1
解析：选B.对于A，函数y＝()2的定义域为{x|x≥－1}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B，定义域和对应关系都相同，是相等函数；对于C，函数y＝＋1的定义域为{x|x≠0}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于D，定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数，故选B.
2．(必修1P25B组T1改编)函数y＝f(x)的图象如图所示，那么f(x)的定义域是________；值域是________；其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是________．

答案：[－3，0]∪[2，3]　[1，5]　[1，2)∪(4，5]
3．(必修1P19T1(2)改编)函数y＝·的定义域是________．
解析：⇒x≥2.
答案：[2，＋∞)
[易错纠偏]
(1)对函数概念理解不透彻；
(2)换元法求解析式，反解忽视范围．
1．已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列从P到Q的各对应关系f中不是函数的是________．(填序号)
①f：x→y＝x；②f：x→y＝x；③f：x→y＝x；④f：x→y＝.
解析：对于③，因为当x＝4时，y＝×4＝∉Q，所以③不是函数．
答案：③
2．已知f()＝x－1，则f(x)＝________．
解析：令t＝，则t≥0，x＝t2，所以f(t)＝t2－1(t≥0)，即f(x)＝x2－1(x≥0)．
答案：x2－1(x≥0)


　　　　　　函数的定义域
　(1)(2020·杭州学军中学月考)函数f(x)＝的定义域为________．
(2)若函数y＝f(x)的定义域是[0，2]，则函数g(x)＝的定义域为________．
(3)若函数f(x)＝的定义域为R，则a的取值范围为________．
【解析】　(1)要使函数f(x)有意义，必须使
解得x