数学九年级上册第2章 对称图形——圆综合与测试习题

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2021-2022学年苏科版九年级数学上册《第2章对称图形—圆》单元能力达标测评（附答案）
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．如图，以c为直径的⊙O中，弦AB⊥CD于M．AB＝16，CM＝16．则MD的长为（　　）

A．4 B．6 C．8 D．10
2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，BC＝CD，连接AC．若∠DAB＝40°，则∠D的度数为（　　）

A．70° B．120° C．140° D．110°
3．如图，在⊙O中，Q是⊙O外一点，QA、QB与⊙O相切于A、B两点，C、D是⊙O上两点，若∠Q＝110°，则∠B+∠D＝（　　）

A．210° B．215° C．220° D．225°
4．下列语句中，正确的有（　　）
①相等的圆心角所对的弧相等；
②等弦对等弧；
③长度相等的两条弧是等弧；
④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，以点A为圆心，AD长为半径画弧交BC于点E，连接AE，则阴影部分的面积为（　　）

A．6﹣ B．4﹣ C．6﹣ D．6﹣
6．在Rt△ABO中，∠OAB＝90°，以O为圆心，OA为半径构造⊙O，OB的中点C恰好在⊙O上，点D是AB上一点，CD＝AD，若∠DCB的角平分线所在的直线与⊙O的另一交点为E，连接OE，则∠EOC＝（　　）

A．45° B．67.5° C．90° D．112.5°
7．如图，在⊙O中，弦AB∥CD，OP⊥CD，OM＝MN，AB＝18，CD＝12，则⊙O的半径为（　　）

A．4 B．4 C．4 D．4
8．如图，△ABC中，内切圆I和边BC、AC、AB分别相切于点D、E、F，若∠B＝65°，∠C＝75°，则∠EDF的度数是（　　）

A．65° B．140° C．55° D．70°
9．如图，两个半径长均为的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，扇形CFD的圆心C是的中点，且扇形CFD绕着点C旋转，半径AE、CF交于点G，半径BE、CD交于点H，则图中阴影面积等于（　　）

A． B． C．π﹣1 D．π﹣2
10．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，BD为⊙O的直径．若BD＝10，∠ABD＝2∠C，则AB的长度为（　　）

A．4 B．5 C．5.5 D．6
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．如图D是⊙O上一点，C是弧ACB的中点，若∠ACB＝116°，则∠BDC度数　 　°．

12．已知一个圆心角为120°的扇形，半径为9，则以它为侧面围成的圆锥底面圆的半径为 　 　．
13．一个已知点P到圆周上的最长距离是7，最短距离是3，则此圆的半径是 　 　．
14．如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E都在⊙O上，∠1＝54°，则∠2＝　 　°．

15．如图，⊙M的半径为4，圆心M的坐标为（5，12），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为 　 　．

16．如图，正方形ABCD的边长为1，以A为圆心，AB为半径画弧，连接AC，以A为圆心，AC为半径画弧交AD的延长线于点E，则图中阴影部分的面积是 　 　．

17．如图，BC是⊙O的弦，AD过圆心O，且AD⊥BC．若∠C＝50°，则∠A的度数为 　 　．

18．已知，如图，将半径为4的圆O沿AB折叠，与AB垂直的半径OC交于点D，且CD＝3OD，则AB＝　 　．

19．如图正五边形ABCDE，F是DE的中点，连接CE与BF交于点G，则∠CGF＝　 　°．

20．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，⊙D经过A，B，O，C四点，∠ACO＝120°，AB＝4，则圆心点D的坐标是 　 　．

三．解答题（共6小题，满分60分）
21．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，点D在AB的延长线上，∠BCD＝∠BAC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）∠D＝30°，BD＝4，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）

22．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D为BC边的中点，以AD为直径作⊙O，分别与AB，AC交于点E，F，过点E作EG⊥BC于点G．
（1）求证：EG是⊙O的切线；
（2）若AF＝6，⊙O的半径为5，求GE的长．


23．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，P为圆上一点，连接AP、DP分别交CD、AB于F、G两点，且PD∥AC．
（1）求证：PF＝DF；
（2）若∠C＝30°，求证：点P是的中点．

24．如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与边AC，BC分别交于点D，E，且AE平分∠CAB．
（1）求证：OE＝AC；
（2）设∠ABD＝α，∠C＝β，用含β的代数式表示α；
（3）若AB＝10，BC＝12，求弦BD的长．

25．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为直径，AC和BD交于点E，AB＝BC．
（1）求∠ADB的度数；
（2）过B作AD的平行线，交AC于F，试判断线段EA，CF，EF之间满足的等量关系，并说明理由．



26．如图，等边△ABC内接于⊙O，P是上任一点（点P与点A、B重合），连接AP、BP，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M．
（1）求∠APC和∠BPC的度数；
（2）求证：△ACM≌△BCP；
（3）若PA＝1，PB＝2，求四边形PBCM的面积；
（4）在（3）的条件下，求的长度．


参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．解：连接OA，如图，设⊙O的半径为r，则OA＝r，OM＝16﹣r，
∵AB⊥CD，
∴AM＝BM＝AB＝8，
在Rt△AOM中，82+（16﹣r）2＝r2，解得r＝10，
∴MD＝CD﹣CM＝20﹣16＝4．
故选：A．

2．解：∵BC＝CD，
∴＝，
∵∠DAB＝40°，
∴∠BAC＝∠DAB＝20°，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠BAC＝70°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠D＝180°﹣∠B＝110°，
故选：D．
3．解：连接AB，

∵QA、QB与⊙O相切于A、B两点，
∴QA＝QB，
∵∠Q＝110，
∴∠ABQ＝∠QAB＝35°，
∵C、D是⊙O上两点，
∴∠ABC+∠D＝180°，
∴∠QBC+∠D＝180°+35°＝215°．
故选：B．
4．解：①相等的圆心角所对的弧相等，错误，条件是同圆或等圆中．
②等弦对等弧，错误，弦所对的弧有两条，不一定相等．
③长度相等的两条弧是等弧，错误，等弧是完全重合的两条弧．
④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．正确．
故选：A．
5．解：∵四边形ABCD是矩形，AD＝BC＝4，
∴∠B＝∠DAB＝90°，AD＝AE＝4，
∵AB＝2，
∴cos∠BAE＝＝，
∴∠BAE＝30°，∠EAD＝60°，
∴BE＝AE＝2，
∴阴影部分的面积S＝S矩形ABCD﹣S△ABE﹣S扇形EAD
＝2×4﹣××2﹣
＝6﹣．
故选：A．
6．解：如图，设∠DCB的角平分线交BD于F，连接AC，

∵∠OAB＝90°，C是OB的中点，
∴AC＝OB＝OC，
∵OA＝OC，
∴OA＝OC＝AC，
∴△OAC是等边三角形，
∴∠OAC＝∠OCA＝60°，
∴∠DAC＝30°，
∵AD＝CD，
∴∠ACD＝∠DAC，
∴∠OCD＝60°+30°＝90°＝∠DCB，
∵CF平分∠DCB，
∴∠DCF＝∠BCF＝∠OCE＝45°，
∵OC＝OE，
∴∠E＝∠OCE＝45°，
∴∠COE＝90°．
故选：C．
7．解：如图，连接OA，OC．

∵OP⊥CD，CD∥AB，
∴OP⊥AB，
∴CN＝DN＝6，AM＝MB＝9，
设OA＝OC＝r，OM＝MN＝a，
则有，
解得，r＝4，
故选：C．
8．解：连接IE、IF，如图，
∵内切圆I和边AC、AB分别相切于点E、F，
∴OE⊥AC，OF⊥AB，
∴∠AEI＝∠AFI＝90°，
∴∠A＝180°﹣∠EIF，
∵∠EDF＝∠EIF，
∴∠EDF＝90°﹣∠A，
∵∠B＝65°，∠C＝75°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣65°﹣75°＝40°，
∴∠EDF＝90°﹣×40°＝70°．
故选：D．

9．解：两扇形的面积和为：＝π，
过点C作CM⊥AE，作CN⊥BE，垂足分别为M、N，
则四边形EMCN是矩形，
∵点C是的中点，
∴EC平分∠AEB，
∴CM＝CN，
∴矩形EMCN是正方形，
∵∠MCG+∠FCN＝90°，∠NCH+∠FCN＝90°，
∴∠MCG＝∠NCH，
在△CMG与△CNH中，
，
∴△CMG≌△CNH（ASA），
∴中间空白区域面积相当于对角线是的正方形面积，
∴空白区域的面积为：××＝1，
∴图中阴影部分的面积＝两个扇形面积和﹣2个空白区域面积的和＝π﹣2．
故选：D．

10．解：如图，连接AD，

∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°，
∵∠ACB＝∠D，
∴∠ABD＝2∠C＝2∠D，
∵∠D+∠ABD＝90°，
∴∠D＝30°．
∴∠ABD＝60°，
∴AB＝OB＝0.5BD＝5．
故选：B．
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．解：∵A、C、B、D四点共圆，
∴∠ADB+∠ACB＝180°，
∵∠ACB＝116°，
∴∠ADB＝180°﹣116°＝64°，
∵C是弧ACB的中点，
∴＝，
∴∠BDC＝∠ADC＝ADB＝32°，
故答案为：32．
12．解：圆锥的底面周长是：＝6π．
设圆锥底面圆的半径是r，则2πr＝6π．
解得：r＝3．
故答案是：3．
13．解：①当点在圆外时，
∵圆外一点和圆周的最短距离为3，最长距离为7，
∴圆的直径为7﹣3＝4，
∴该圆的半径是2；
②当点在圆内时，
∵点到圆周的最短距离为3，最长距离为7，
∴圆的直径＝7+3＝10，
∴圆的半径为5，
故答案为2或5．
14．解：连接OE，如图，
∵∠AOE＝2∠1＝2×54°＝108°，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝180°﹣108°＝72°，
∵∠BOE＝2∠2，
∴∠2＝×72°＝36°．
故答案为：36．

15．解：连接OP，
∵PA⊥PB，
∴∠APB＝90°，
∵AO＝BO，
∴AB＝2PO，
若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，
连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，
过点M作MQ⊥x轴于点Q，

则OQ＝5，MQ＝12，
∴OM＝13，
又∵MP′＝4，
∴OP′＝9，
∴AB＝2OP′＝18，
故答案是：18．
16．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝1，∠B＝90°，∠DAC＝45°，
∴AC＝AB＝，
∴图中阴影部分的面积＝[﹣]+（1×1﹣）＝，
故答案为．
17．解：连接OB，

∵OB＝OC，∠C＝50°，
∴∠OBC＝∠C＝50°，
∵AD⊥BC．
∴∠ADB＝90°，
∴∠BOD＝40°，
∴∠A＝∠BOD＝20°，
故答案为：20°．
18．解：延长CO交AB于E点，连接OB，
∵CE⊥AB，
∴E为AB的中点，
∵OC＝4，CD＝3OD，
∴CD＝3，OD＝1，OB＝4，
∴DE＝（2OC﹣CD）＝（4×2﹣3）＝，
∴OE＝DE﹣OD＝﹣1＝，
在Rt△OEB中，
∵OE2+BE2＝OB2，
∴BE＝＝＝，
∴AB＝2BE＝．
故答案为：．

19．解：连接BE，BD，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴BE＝BD，DE＝DC，∠CDE＝108°，
∴∠DCE＝∠DEC＝36°，
∵BE＝BD，DF＝EF，
∴BF⊥DE，
∴∠BFE＝90°，
∴∠BFG＝∠GFE+∠GEF＝90°+36°＝126°，
故答案为：126．

20．解：∵四边形ABOC为圆的内接四边形，
∴∠ABO+∠ACO＝180°，
∴∠ABO＝180°﹣120°＝60°，
∵∠AOB＝90°，
∴AB为⊙D的直径，
∴D点为AB的中点，
在Rt△ABO中，∵∠ABO＝60°，
∴OB＝AB＝2，
∴OA＝OB＝2，
∴A（﹣2，0），B（0，2），
∴D点坐标为（﹣，1）．
故答案为（﹣，1）．
三．解答题（共6小题，满分60分）
21．（1）证明：连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠BAC＝∠OCA，
∵∠BCD＝∠BAC，
∴∠BCD＝∠OCA，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠OCA+∠OCB＝∠BCD+∠OCB＝90°，
∴∠OCD＝90°，
∵OC是半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径为r，
∴AB＝2r，
∵∠D＝30°，∠OCD＝90°，
∴OD＝2r，∠COB＝60°，
∴r+4＝2r，△COB是等边三角形，
∴BC＝OB＝r＝4，∠AOC＝120°，
由勾股定理可知：AC＝4，
∴S△AOC＝S△ABC＝＝4，
S扇形OAC＝＝，
∴阴影部分面积为﹣4．

22．（1）证明：如图1，连接EF，

∵∠BAC＝90°，
∴EF是⊙O的直径，
∴OA＝OE，
∴∠BAD＝∠AEO，
∵点D是Rt△ABC的斜边BC的中点，
∴AD＝BD，
∴∠B＝∠BAD，
∴∠AEO＝∠B，
∴OE∥BC，
∵EG⊥BC，
∴OE⊥EG，
∵点E在⊙O上，
∴EG是⊙O的切线；
（2）∵⊙O的半径为5，
∴EF＝2OE＝10，
在Rt△AEF中，AF＝6，
根据勾股定理得，AE＝＝8，
由（1）知OE∥BC，
∵OA＝OD，∠AEF＝∠ABC，
∴BE＝AE＝8，
∵EG⊥OE，
∴EG⊥BC，
∴∠EAF＝∠BGE＝90°，
∴△EAF≌△BGE，
∴，
∴GE＝＝＝．
23．证明：（1）∵AC∥PD，
∴∠ACD＝∠CDP，
∵∠ACD＝∠APD，
∴∠CDP＝∠APD，
∴PF＝DF．
（2）连接BC，BD．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ACD＝30°，
∴∠BCD＝60°，∠APD＝∠CDP＝30°，
∵CD⊥AB，
∴＝，
∴BC＝BD，
∴∠CDB＝∠BCD＝60°，
∴∠CDP＝∠PDB＝30°，
∴＝，即点P是的中点．

24．（1）证明：∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE＝∠BAE，
∵∠C+∠CAE＝90°，∠ABE+∠BAE＝90°，
∴∠C＝∠ABC，
∴AC＝AB，
∵AE⊥BC，
∴EC＝EB，
∴OA＝OB，
∴OE＝AC．
（2）解：∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠CAB＝90°﹣∠ABD＝90°﹣α，
∵∠C+∠ABC+∠CAB＝180°，
∴2β+90°﹣α＝180°，
∴2β﹣α＝90°，
即α＝2β﹣90°．
（3）解：∵EC＝EB＝BC＝6，AB＝10，∠AEB＝90°，
∴AE＝＝＝8，
∵BD⊥AC，AE⊥BC，
∴S△ABC＝•AC•BD＝•BC•AE，
∴BD＝＝．

25．解：（1）如图1，

∵AC为直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ACB+∠BAC＝90°，
∵AB＝BC，
∴∠ACB＝∠BAC＝45°，
∴∠ADB＝∠ACB＝45°；
（2）线段EA，CF，EF之间满足的等量关系为：EA2+CF2＝EF2．理由如下：
如图2，设∠ABE＝α，∠CBF＝β，

∵AD∥BF，
∴∠EBF＝∠ADB＝45°，
又∠ABC＝90°，
∴α+β＝45°，
过B作BN⊥BE，使BN＝BE，连接NC，
∵AB＝CB，∠ABE＝∠CBN，BE＝BN，
∴△AEB≌△CNB（SAS），
∴AE＝CN，∠BCN＝∠BAE＝45°，
∴∠FCN＝90°．
∵∠FBN＝α+β＝∠FBE，BE＝BN，BF＝BF，
∴△BFE≌△BFN（SAS），
∴EF＝FN，
在Rt△NFC中，CF2+CN2＝NF2，
∴EA2+CF2＝EF2；
26．解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，
∵，，
∴∠APC＝∠ABC＝60°，∠BPC＝∠BAC＝60°；
（2）证明：∵CM∥BP，
∴∠BPM+∠M＝180°，
∠PCM＝∠BPC，
∵∠BPC＝∠BAC＝60°，
∴∠PCM＝∠BPC＝60°，
∴∠M＝180°﹣∠BPM＝180°﹣（∠APC+∠BPC）＝180°﹣120°＝60°，
∴∠M＝∠BPC＝60°，
又∵A、P、B、C四点共圆，
∴∠PAC+∠PCB＝180°，
∵∠MAC+∠PAC＝180°
∴∠MAC＝∠PBC
∵AC＝BC，
在△ACM和△BCP中，
，
∴△ACM≌△BCP（AAS）；
（3）∵CM∥BP，
∴四边形PBCM为梯形，
作PH⊥CM于H，
∵△ACM≌△BCP，
∴CM＝CP，AM＝BP，
又∠M＝60°，
∴△PCM为等边三角形，
∴CM＝CP＝PM＝PA+AM＝PA+AMB＝1+2＝3，
在Rt△PMH中，∠MPH＝30°，
∴PH＝，
∴S四边形PBCM＝（PB+CM）×PH＝（2+3）×＝；

（4）过点B作BQ⊥AP，交AP的延长线于点Q，过点A作AN⊥BC于点N，连接OB，
∵∠APC＝∠BPC＝60°，
∴∠BPQ＝60°，
∴∠PBQ＝30°，
∴PQ＝PB＝1，
在Rt△BPQ中，BQ＝，
在Rt△AQB中，AB＝，
∵△ABC为等边三角形，
∴AN经过圆心O，
∴BN＝AB＝，
∴AN＝，
在Rt△BON中，设BO＝x，则ON＝，
∴，
解得：x＝，
∵∠BOA＝∠BCA＝120°，
∴的长度为．