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21图像及复合场重力电场力 高考物理一轮复习经典题汇编含解析
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这是一份21图像及复合场重力电场力 高考物理一轮复习经典题汇编含解析，共32页。
图像及复合场（重力+电场力）
一．选择题（共5小题）
1．一正电荷仅在电场力的作用下，其速率﹣时间图象如图所示，其中ta和tb是电荷在电场中a、b两点运动的时刻，则下列说法正确的是（ ）
A．a、b两点电场强度关系为Ea=Eb
B．a、b两点电场强度关系为Ea＞Eb
C．带电粒子从a点运动到b点时，电场力做正功、电势能减少
D．a、b两点电势关系为φa＜φb
2．半径为R，均匀带正电荷的绝缘体在空间产生对称的电场，电场强度大小沿半径分布如图所示，图中E0已知。过球心同一直线上A、B两点，离球心的距离分别为2R、3R．下列说法中正确的是（ ）
A．A、B点的电场强度大小之比为3：2
B．把一正检验电荷从A点移到B点电势能增加
C．从球面到A点的电势差小于A、B两点间的电势差
D．从圆心到球面电势升高
3．真空中有一半径为r0的带电金属球，通过其球心的一直线上各点的电势φ分布如图所示。图中x1、x2、x3分别表示该直线上A、B、C三点到球心的距离。根据φ﹣x图象，下列说法正确的是（ ）
A．该金属球可能带负电
B．B点的电场强度大于C点的电场强度
C．A点的电场强度方向由A指向B
D．电荷量为q的正电荷从B移到C的过程中，电场力做功W=q（φ3﹣φ2）
4．如图所示，质量为m、带电荷量为q的粒子，以初速度v0从A点竖直向上射入真空中的沿水平方向的匀强电场中，粒子通过电场中B点时，速率vB=v0，方向与电场的方向一致，则A、B两点的电势差为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，竖直光滑的圆轨道上放一个质量为m的小球，带电量为+q（可看作质点），圆的半径为R．周围空间充满着水平方向的匀强电场，电场强度E=．现在在最低点给小球一个初动能，为了小球能作一个完整的圆周运动，那么在圆轨道最低点给小球的初动能（ ）
A．Ek大于mgR B．Ek等于mgR
C．Ek小于mgR D．Ek的大小不能确定
二．多选题（共7小题）
6．如图所示，以等量同种点电荷的连线中点为原点，两点电荷连线的中垂线为x轴，E表示电场强度，φ表示电势，根据你已经学过的知识判断，在下列E﹣x图象和φ﹣x图象中，可能正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．静电场在x轴上的场强E随x的变化关系如图所示，x轴正向为场强正方向，带正电的点电荷沿x轴运动，则点电荷（ ）
A．在x2和x4处电势能相等
B．由x1运动到x3的过程中电势能增大
C．由x1运动到x4的过程中电场力先增大后减小
D．由x1运动到x4的过程中电场力先减小后增大
8．空间有一沿x轴对称分布的电场，其电场强度E随x变化的图象如图所示，x轴正方向为场强的正方向．下列说法中正确的是（ ）
A．该电场可能是由一对分别位于x2和﹣x2两点的等量异种电荷形成的电场
B．x2和﹣x2两点的电势相等
C．正电荷从x1运动到x3的过程中电势能先增大后减小
D．原点O与x2两点之间的电势差大于﹣x2与x1两点之间的电势差
9．两个点电荷Q1、Q2固定于x轴上，Q2位于坐标原点O，将一带正点的试探电荷从足够远处沿x轴负方向移近Q2，在移动过程中，试探电荷的电势能随位置的变化关系如图所示，曲线与x轴的交点为M，曲线的最低点为N，则下列判断正确的是（ ）
A．M点场强为零，N点电势最低
B．M点电势为零，N点场强为零
C．Q1带负电，Q2带正电，且Q2电荷量较小
D．Q1带正电，Q2带负电，且Q2电荷量较大
10．如图所示，长为L、倾角为θ的光滑绝缘斜面处于电场中，一带电量为+q、质量为m的小球以初速度v0从斜面底端A点开始沿斜面上滑，当到达斜面顶端B点时，速度仍为
v0，正确的是（ ）
A．小球在A点的电势能一定大于在B点的电势能
B．A、B两点间的电势差一定等于
C．若电场是匀强电场，则该电场的电场强度最大值一定为
D．若该电场是由放置在C点的点电荷Q产生，则θ为45°
11．如图所示，半径为R的环形塑料管竖直放置，管的内壁光滑，AB为该环的水平直径，且管的内径远小于环的半径，环的AB及其以下部分处于水平向左的匀强电场中．现将一直径略小于塑料管内径，质量为m，带电量为+q的小球从管中A点由静止释放，已知qE=mg，以下说法正确的是（ ）
A．小球释放后，到达B点时速度为零，并在BDA间往复运动
B．小球释放后，第一次达到B点时对管壁的压力为4mg
C．小球释放后，第一次经过最低点D和最高点C时对管壁的压力之比为5：1
D．小球释放后，前后两次经过最高点C时对管壁的压力之差为4mg
12．在如图所示的竖直向下的匀强电场中，用绝缘的细线拴住的带电小球在竖直平面内绕悬点O做圆周运动，下列说法正确的是（ ）
A．带电小球有可能做匀速率圆周运动
B．带电小球有可能做变速率圆周运动
C．带电小球通过最高点时，细线拉力一定最小
D．带电小球通过最低点时，细线拉力有可能最小
三．计算题（共4小题）
13．如图所示，在竖直向下的匀强电场中有一带电量为q=﹣2×10﹣5C的小球，自倾角为θ=37°的绝缘斜面顶端A点由静止开始滑下，接着通过半径为R=2m的绝缘半圆轨道最高点C（C点的切线水平），已知小球质量为m=0.5kg，匀强电场的场强E=2×105N/C，小球运动过程中摩擦阻力及空气阻力不计（g=10m/s2、sinθ=0.6、cosθ=0.8），求：
（1）小球沿斜面向下运动过程中加速度大小
（2）H至少应为多少？（提示小球在最高点C时速度不能为零．c点速度最小时H最小）
（3）通过调整释放高度使小球到达C点的速度为4m/s，则小球落回到斜面时的动能是多少？
14．如图，两水平面（虚线）之间的距离为H，其间的区域存在方向水平向右的匀强电场。自该区域上方的A点将质量为m、电荷量分别为q和﹣q（q＞0）的带电小球M、N先后以相同的初速度沿平行于电场的方向射出。小球在重力作用下进入电场区域，并从该区域的下边界离开。已知N离开电场时的速度方向竖直向下；M在电场中做直线运动，刚离开电场时的动能为N刚离开电场时的动能的1.5倍。不计空气阻力，重力加速度大小为g。求
（1）M与N在电场中沿水平方向的位移之比；
（2）A点距电场上边界的高度；
（3）该电场的电场强度大小。
15．真空中存在电场强度大小为E1的匀强电场，一带电油滴在该电场中竖直向上做匀速直线运动，速度大小为v0，在油滴处于位置A时，将电场强度的大小突然增大到某值，但保持其方向不变。持续一段时间t1后，又突然将电场反向，但保持其大小不变；再持续同样一段时间后，油滴运动到B点。重力加速度大小为g。
（1）油滴运动到B点时的速度；
（2）求增大后的电场强度的大小；为保证后来的电场强度比原来的大，试给出相应的t1和v0应满足的条件。已知不存在电场时，油滴以初速度v0做竖直上抛运动的最大高度恰好等于B、A两点间距离的两倍。
16．从地面斜向上抛出一个质量为m的小球，当小球到达最高点时，小球具有的动能与势能之比是9：16，选地面为重力势能参考面，不计空气阻力，现在此空间加上一个平行于小球运动平面的水平电场，以相同的初速度抛出带上正电荷量为q的原小球，小球到达最高点时的动能与抛出时动能相等．已知重力加速度大小为g．试求：
（1）无电场时，小球升到最高点的时间；
（2）后来所加电场的场强大小．
四．解答题（共7小题）
17．如图所示，方向为水平向右的匀强电场中，有一质量为m=0.1kg的带电小球，所带的电荷量是q=0.01C，现用长为L=0.25m的细线悬于O点，当小球平衡时，细线和竖直方向的夹角为θ=60°，求
（1）电场强度E是多少？
（2）现给小球一个初速度，速度方向和细线垂直，使小球恰能在竖直平面内做逆时针方向的圆周运动，则圆周运动过程中速度的最小值为多少？
（3）在（2）问条件下，若当小球运动到最高点时，细线突然断了，小球将做类似斜上抛的运动，则小球以后运动过程中的最小速度是多少？（提示：用等效复合场）
18．如图所示，在竖直边界线 O1O2左侧空间存在一竖直向下的匀强电场．电场强度E=100N/C，电场区域内有一固定的粗糙绝缘斜面AB，其倾角为30°，A点距水平地面的高度为h=4m．BC段为一粗糙绝缘平面，其长度为L=m．斜面AB与水平面BC由一段极端的光滑小圆弧连接（图中未标出），竖直边界线O1O2右侧区域固定一半径为R=0.5m的半圆形光滑绝缘轨道，CD为半圆形光滑绝缘轨道的直径，C、D两点紧贴竖直边界线O1O2，位于电场区域的外部（忽略电场对O1O2右侧空间的影响）．现将一个质量为m=1kg，带电荷量为q=0.1C的带正电的小球（可视为质点）在A点由静止释放，且该小球与斜面AB和水平BC间的动摩擦因数均为μ=（g取10m/s2）．求：
（1）小球到达C点时的速度大小；
（2）小球到达D点时所受轨道的压力大小；
（3）小球落地点距离C点的水平距离．
19．半径为R=0.8m的光滑绝缘导轨固定于竖直平面内，加上某一方向的匀强电场时，带电小球沿轨道内侧做完整的圆周运动．小球运动到A处时动能最大，A点与圆心O的连线与竖直向下方向夹一锐角，如图所示．已知小球运动到A处时对轨道的压力FN=120N，且小球运动过程中最大动能比最小动能多32J．不计空气阻力．试求：
（1）小球最小动能多大？
（2）若小球在动能最小位置时突然撤去轨道，并保持其它物理量都不变，则小球经0.04s后，其动能与原来小球运动到A处时动能相同，那么小球的质量多大？
20．如图，O、A、B为同一竖直平面内的三个点，OB沿竖直方向，∠BOA=60°，OB=OA，将一质量为m的小球以一定的初动能自O点水平向右抛出，小球在运动过程中恰好通过A点，使此小球带电，电荷量为q（q＞0），同时加一匀强电场，场强方向与△OAB所在平面平行．现从O点以同样的初动能沿某一方向抛出此带电小球，该小球通过了A点，到达A点时的动能是初动能的3倍，若该小球从O点以同样的初动能沿另一方向抛出，恰好通过B点，且到达B点时的动能为初动能的6倍，重力加速度大小为g，求：
（1）无电场时，小球到达A点时的动能与初动能的比值；
（2）电场强度的大小和方向．
21．如图所示，板长为L的平行板电容器倾斜固定放置，极板与水平线夹角θ=30°，某时刻一质量为m，带电量为q的小球由正中央A点静止释放，小球离开电场时速度是水平的，（提示：离开的位置不一定是极板边缘）落到距离A点高度为h的水平面处的B点，B点放置一绝缘弹性平板M，当平板与水平夹角a=45°时，小球恰好沿原路返回A点．求：
（1）电容器极板间的电场强度E；
（2）平行板电容器的板长L；
（3）小球在AB间运动的周期T．
22．如图所示，一半径为R的竖直光滑圆轨道与水平轨道平滑连接，水平轨道上有一轻质弹簧，其左端固定在墙壁上，右端与质量为m、电荷量为+q的小物块（视为质点）接触但不相连，水平轨道AB段光滑，BC段粗糙且其长度L=3R，倾斜轨道CD段粗糙且与BC段平滑连接，倾斜轨道所在区域有水平向右的匀强电场，场强大小E=等手今向左推小物块压缩弹簧至某一位置后静止释放小物块，小物块由AB段进入圆轨道，通过圆轨道后在BC段和CD段上滑动，若小物块与BC段和CD段的动摩擦因数相同，倾斜轨道与水平面间的夹角θ=37°．重力加速度为g，取SIN37°=0.6，COS37°=0.8
（1）若小物块恰能通过圆轨道的最高点，求弹簧的弹性势能Ep；
（2）若小物块将弹簧压缩到弹性势能E=mgR，释放后小物块在倾斜轨道能到达的最高点为P，在此过程中，小物块的电势能减少了△Ep=mgR，求小物块在BC段克服摩擦力所做的功W．
23．如图所示，在两条平行的虚线内存在着宽度为L、场强为E的匀强电场，在与右侧虚线相距也为L处有一与电场平行的屏．现有一电荷量为+q、质量为m的带电粒子（重力不计），以垂直于电场线方向的初速度v0射入电场中，v0方向的延长线与屏的交点为O．试求：
（1）粒子从射入到打到屏上所用的时间；
（2）粒子刚射出电场时的速度方向与初速度方向间夹角的正切值；
（3）粒子打到屏上的点P到O点的距离．
图像及复合场（重力+电场力）
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．一正电荷仅在电场力的作用下，其速率﹣时间图象如图所示，其中ta和tb是电荷在电场中a、b两点运动的时刻，则下列说法正确的是（ ）
A．a、b两点电场强度关系为Ea=Eb
B．a、b两点电场强度关系为Ea＞Eb
C．带电粒子从a点运动到b点时，电场力做正功、电势能减少
D．a、b两点电势关系为φa＜φb
【解答】解：
AB、v﹣t图象的斜率等于加速度，由v﹣t图象看出，点电荷做加速度增大的加速运动，而点电荷在电场中仅受电场力作用，则知电场力增大，说明电场强度增大，即有Ea＜Eb．故A、B错误。
C、点电荷的动能增大，由能量守恒定律得知，其电势能一定减小，电场力做正功，故C正确。
D、由于点电荷带正电，从a点运动到b点时，电势能减少，所以由Ep=qφ知，φa＞φb．故D错误。
故选：C。
2．半径为R，均匀带正电荷的绝缘体在空间产生对称的电场，电场强度大小沿半径分布如图所示，图中E0已知。过球心同一直线上A、B两点，离球心的距离分别为2R、3R．下列说法中正确的是（ ）
A．A、B点的电场强度大小之比为3：2
B．把一正检验电荷从A点移到B点电势能增加
C．从球面到A点的电势差小于A、B两点间的电势差
D．从圆心到球面电势升高
【解答】解：A、球外某点的场强与该点到球心的距离平方成反比，则知A、B点的电场强度大小之比为9：4，故A错误。
B、正检验电荷受到排斥力，当正检验电荷从A点移到B点时，电场力做正功，电势能减小，故B错误。
C、E﹣r曲线下图线的面积表示电势差，所以从球面到A点的电势差大于AB两点间的电势差，故C错误。
D、从圆心到球面电势升高，为 U=E0R，故D正确。
故选：D。
3．真空中有一半径为r0的带电金属球，通过其球心的一直线上各点的电势φ分布如图所示。图中x1、x2、x3分别表示该直线上A、B、C三点到球心的距离。根据φ﹣x图象，下列说法正确的是（ ）
A．该金属球可能带负电
B．B点的电场强度大于C点的电场强度
C．A点的电场强度方向由A指向B
D．电荷量为q的正电荷从B移到C的过程中，电场力做功W=q（φ3﹣φ2）
【解答】解：A、由图可知0到r0电势不变，之后电势变小，带电金属球为一等势体，再依据沿着电场线方向，电势降低，则金属球带正电，故A错误；
B、图象的斜率表示电场强度的大小，则可知B点的电场强度大于C点的电场强度，故B正确；
C、由图可知，A点处的电势图象的斜率为零，故说明A点处的场强为零，故C错误；
D、正电荷沿直线从A移到B的过程中，电场力做功W=qUAB=q（φ2﹣φ3），故D错误。
故选：B。
4．如图所示，质量为m、带电荷量为q的粒子，以初速度v0从A点竖直向上射入真空中的沿水平方向的匀强电场中，粒子通过电场中B点时，速率vB=v0，方向与电场的方向一致，则A、B两点的电势差为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：粒子在竖直方向做匀减速直线运动，则有：2gh=。
电场力做正功，重力做负功，根据动能定理，有：qU﹣mgh=
联立解得：U=．故D正确，A、B、C错误。
故选：D。
5．如图，竖直光滑的圆轨道上放一个质量为m的小球，带电量为+q（可看作质点），圆的半径为R．周围空间充满着水平方向的匀强电场，电场强度E=．现在在最低点给小球一个初动能，为了小球能作一个完整的圆周运动，那么在圆轨道最低点给小球的初动能（ ）
A．Ek大于mgR B．Ek等于mgR
C．Ek小于mgR D．Ek的大小不能确定
【解答】解：根据几何关系知，等效最高点在A点，A与圆心的连线与水平方向成45°，
在A点，根据得，A点的最小速度，
根据动能定理得，﹣Ek，
解得＞，故A正确，B、C、D错误。
故选：A。
二．多选题（共7小题）
6．如图所示，以等量同种点电荷的连线中点为原点，两点电荷连线的中垂线为x轴，E表示电场强度，φ表示电势，根据你已经学过的知识判断，在下列E﹣x图象和φ﹣x图象中，可能正确的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：AB、在两电荷连线的中点，由于两个电荷在此处产生的场强大小相等、方向相反，所以该处场强为零。在无穷远处场强也为零，所以两点电荷连线的中点到无穷远场强是先增大后减小，且场强关于电荷连线对称，故A正确，B错误。
CD、两点电荷连线的中垂线上场强方向从中点指向无穷远，且电势逐渐降低。因为O处的场强为零，则O处φ﹣x的斜率为0，故C错误，D正确。
故选：AD。
7．静电场在x轴上的场强E随x的变化关系如图所示，x轴正向为场强正方向，带正电的点电荷沿x轴运动，则点电荷（ ）
A．在x2和x4处电势能相等
B．由x1运动到x3的过程中电势能增大
C．由x1运动到x4的过程中电场力先增大后减小
D．由x1运动到x4的过程中电场力先减小后增大
【解答】解：A、x2﹣x4处场强为x轴负方向，则从x2到x4处逆着电场线方向移动，电势升高，正电荷在x4处电势能较大，故A错误；
B、x1﹣x3处场强为x轴负方向，则从x1到x3处逆着电场线方向移动，电势升高，正电荷在x3处电势能较大，B正确；
C、由x1运动到x4的过程中，由图可以看出电场强度的绝对值先增大后减小，故电场力先增大后减小，故C正确，D错误；
故选：BC。
8．空间有一沿x轴对称分布的电场，其电场强度E随x变化的图象如图所示，x轴正方向为场强的正方向．下列说法中正确的是（ ）
A．该电场可能是由一对分别位于x2和﹣x2两点的等量异种电荷形成的电场
B．x2和﹣x2两点的电势相等
C．正电荷从x1运动到x3的过程中电势能先增大后减小
D．原点O与x2两点之间的电势差大于﹣x2与x1两点之间的电势差
【解答】解：A、根据等量异种电荷形成的电场的特点可知，在等量异种电荷的连线上，各点的电场强度的方向是相同的，而该图中电场强度的大小和方向都沿x轴对称分布，所以该电场一定不是由一对分别位于x2和﹣x2两点的等量异种电荷形成的电场。故A错误；
B、由于x2和﹣x2两点关于y轴对称，且电场强度的大小也相等，故从O点到x2和从O点到﹣x2电势降落相等，故x2和﹣x2两点的电势相等，故B正确；
C、由图可知，从x1到x3电场强度始终为正，则正电荷运动的方向始终与电场的方向相同，所以电场力做正功，电势能逐渐减小，故C错误；
D、x2和﹣x2两点的电势相等，原点O与x2两点之间的电势差等于原点O与﹣x2两点之间的电势差，﹣x2与x1两点之间的电势差等于x2与x1两点之间的电势差，所以原点O与x2两点之间的电势差大于﹣x2与x1两点之间的电势差。故D正确；
故选：BD。
9．两个点电荷Q1、Q2固定于x轴上，Q2位于坐标原点O，将一带正点的试探电荷从足够远处沿x轴负方向移近Q2，在移动过程中，试探电荷的电势能随位置的变化关系如图所示，曲线与x轴的交点为M，曲线的最低点为N，则下列判断正确的是（ ）
A．M点场强为零，N点电势最低
B．M点电势为零，N点场强为零
C．Q1带负电，Q2带正电，且Q2电荷量较小
D．Q1带正电，Q2带负电，且Q2电荷量较大
【解答】解：A、B由图知，M点电势能EP=0，由φ=分析得知，M点电势φ=0．EP﹣x图象的斜率=F=qE，则知N点场强为零。故A错误，B正确。
CD、根据正电荷在电势高处电势能大，可知，带正电的试探电荷从远处移近Q2的过程中，电势能先减小后增大，电势先降低后升高，说明Q1带负电，Q2带正电，N点场强为零，由E=k知，Q2电荷量较小。故C正确，D错误。
故选：BC。
10．如图所示，长为L、倾角为θ的光滑绝缘斜面处于电场中，一带电量为+q、质量为m的小球以初速度v0从斜面底端A点开始沿斜面上滑，当到达斜面顶端B点时，速度仍为
v0，正确的是（ ）
A．小球在A点的电势能一定大于在B点的电势能
B．A、B两点间的电势差一定等于
C．若电场是匀强电场，则该电场的电场强度最大值一定为
D．若该电场是由放置在C点的点电荷Q产生，则θ为45°
【解答】解：A、小球从A运动到B的过程中，重力势能增加，电势能减小，则小球在A点的电势能一定大于小球在B点的电势能。故A正确；
B、根据动能定理得：﹣mgLsinθ+qUAB=m﹣m=0，得到：UAB=，故B正确；
C、若电场是匀强电场，电场力恒定，到达B点时小球速度仍为v0，故小球做匀速直线运动，电场力与重力、支持力的合力为零。小球的重力沿斜面向下的分力为mgsinθ一定，则当电场力沿斜面向上，大小为F=mgsinθ时，电场力最小，场强最小，又电场力F=Eq，则该电场的场强的最小值一定是．故C错误；
D、若该电场是由放置在C点的点电荷Q产生，A、B两点的电势相等，小球从A运动到B电势能不变，与上分析矛盾，故D错误；
故选：AB。
11．如图所示，半径为R的环形塑料管竖直放置，管的内壁光滑，AB为该环的水平直径，且管的内径远小于环的半径，环的AB及其以下部分处于水平向左的匀强电场中．现将一直径略小于塑料管内径，质量为m，带电量为+q的小球从管中A点由静止释放，已知qE=mg，以下说法正确的是（ ）
A．小球释放后，到达B点时速度为零，并在BDA间往复运动
B．小球释放后，第一次达到B点时对管壁的压力为4mg
C．小球释放后，第一次经过最低点D和最高点C时对管壁的压力之比为5：1
D．小球释放后，前后两次经过最高点C时对管壁的压力之差为4mg
【解答】解：A、只有重力和电场力做功，带电小球到达B点，重力势能不变，电势能减小，故有动能，其动能大小等于电场力做的功，为qE•2R=2mgR故A错误；
B、D、从A点释放到B点过程，根据动能定理，有
qE•2R=③
据向心力公式，有N2B﹣qE=m④
解得
N2C=5mg
故B错误；
C、第一次过D点时，根据动能定理，有mgR+qER=①
根据向心力公式，有N1D﹣mg=m②
解得
N1D=5mg
第一次过C点，根据向心力公式，有
N1C+mg=m
根据动能定理可知：第一次经过C点的动能为：2EqR﹣mgR=mgR，故N1C=mg
可知故CD正确；
故选：CD。
12．在如图所示的竖直向下的匀强电场中，用绝缘的细线拴住的带电小球在竖直平面内绕悬点O做圆周运动，下列说法正确的是（ ）
A．带电小球有可能做匀速率圆周运动
B．带电小球有可能做变速率圆周运动
C．带电小球通过最高点时，细线拉力一定最小
D．带电小球通过最低点时，细线拉力有可能最小
【解答】解：A、当小球所受重力与电场力合力为零时，绳子的拉力提供向心力，合外力做功为零，小球做匀速圆周运动，故A正确；
B、当小球所受重力与电场力合力不为零时，合外力对小球所做的功不为零，小球速度大小发生变化，小球做变速圆周运动，故B正确；
C、当小球做匀速圆周运动时，细线的拉力提供向心力，在圆周上任何一点细线的拉力都相等，如果小球做非匀变速运动，小球带正电时，在最高点细线拉力最小，如果小球带负电，在最高点，小球的拉力最大，故C错误；
D、小球所受重力与电场力不相等，做变速圆周运动，且小球带负电时，若电场力大于重力时，在最低点细线拉力最小，故D正确；
故选：ABD。
三．计算题（共4小题）
13．如图所示，在竖直向下的匀强电场中有一带电量为q=﹣2×10﹣5C的小球，自倾角为θ=37°的绝缘斜面顶端A点由静止开始滑下，接着通过半径为R=2m的绝缘半圆轨道最高点C（C点的切线水平），已知小球质量为m=0.5kg，匀强电场的场强E=2×105N/C，小球运动过程中摩擦阻力及空气阻力不计（g=10m/s2、sinθ=0.6、cosθ=0.8），求：
（1）小球沿斜面向下运动过程中加速度大小
（2）H至少应为多少？（提示小球在最高点C时速度不能为零．c点速度最小时H最小）
（3）通过调整释放高度使小球到达C点的速度为4m/s，则小球落回到斜面时的动能是多少？
【解答】解：（1）在斜面上下滑时，据牛顿第二定律：（mg﹣Eq）sinθ=ma
代入得加速度为：a=1.2m/s2
（2）恰好过最高点C时，重力与电场力的合力提供向心力：
…①
vc=2.0m/s
从A到C，根据动能定理：
…②
联立解得：H=5m
（3）从C点飞出后做类平抛运动，向下的加速度：
mg﹣qE=ma…③
解得：a=2m/s2
竖直方向：…④
水平方向：x=vct…⑤
根据几何关系工：…⑥
解得：t=1s y=1m
从C到落回斜面有：…⑦
联立③～⑦解得：Ek=5J
答：（1）小球沿斜面向下运动过程中加速度大小为1.2m/s2．
（2）H至少应为5．
（3）通过调整释放高度使小球到达C点的速度为4m/s，则小球落回到斜面时的动能是5J．
14．如图，两水平面（虚线）之间的距离为H，其间的区域存在方向水平向右的匀强电场。自该区域上方的A点将质量为m、电荷量分别为q和﹣q（q＞0）的带电小球M、N先后以相同的初速度沿平行于电场的方向射出。小球在重力作用下进入电场区域，并从该区域的下边界离开。已知N离开电场时的速度方向竖直向下；M在电场中做直线运动，刚离开电场时的动能为N刚离开电场时的动能的1.5倍。不计空气阻力，重力加速度大小为g。求
（1）M与N在电场中沿水平方向的位移之比；
（2）A点距电场上边界的高度；
（3）该电场的电场强度大小。
【解答】解：（1）两带电小球的电量相同，可知M球在电场中水平方向上做匀加速直线运动，N球在水平方向上做匀减速直线运动，水平方向上的加速度大小相等，
两球在竖直方向均受重力，竖直方向上做加速度为g的匀加速直线运动，由于竖直方向上的位移相等，则运动的时间相等，
设水平方向的加速度大小为a，
对M，有：，
对N：v0=at，，
可得，
解得xM：xN=3：1。
（2、3）设正电小球离开电场时的竖直分速度为vy，水平分速度为v1，两球离开电场时竖直分速度相等，
因为M在电场中做直线运动，刚离开电场时的动能为N刚离开电场时的动能的1.5倍，则有：，
解得，
因为v1=v0+at=2v0，则=2v0，
因为M做直线运动，设小球进电场时在竖直方向上的分速度为vy1，则有：，解得vy1=，
在竖直方向上有：，，
解得A点距电场上边界的高度h=。
因为M做直线运动，合力方向与速度方向在同一条直线上，
有：=，
则电场的电场强度E==。
答：（1）M与N在电场中沿水平方向的位移之比为3：1
（2）A点距电场上边界的高度为；
（3）该电场的电场强度大小为。
15．真空中存在电场强度大小为E1的匀强电场，一带电油滴在该电场中竖直向上做匀速直线运动，速度大小为v0，在油滴处于位置A时，将电场强度的大小突然增大到某值，但保持其方向不变。持续一段时间t1后，又突然将电场反向，但保持其大小不变；再持续同样一段时间后，油滴运动到B点。重力加速度大小为g。
（1）油滴运动到B点时的速度；
（2）求增大后的电场强度的大小；为保证后来的电场强度比原来的大，试给出相应的t1和v0应满足的条件。已知不存在电场时，油滴以初速度v0做竖直上抛运动的最大高度恰好等于B、A两点间距离的两倍。
【解答】解：（1）方法一：
设油滴质量为m，带电荷量为q，增大后的电场强度为E2，根据题中条件可以判断电场力与重力方向相反；
对于匀速运动阶段，有qE1=mg…①
对于场强突然增大后的第一段t1时间，由牛顿第二定律得：qE2﹣mg=ma1…②
对于场强第二段t1时间，由牛顿第二定律得：qE2+mg=ma2 …③
由运动学公式，可得油滴在电场反向时的速度为：v1=v0+a1t1④
油滴在B的速度为：vB=v1﹣a2t1⑤
联立①至⑤式，可得：vB=v0﹣2gt1；方向向上；
方法二：
选向上的方向正，由动量定理有：﹣mg×2t+qE1t﹣qE1t=mv﹣mv0
解得：vB=v0﹣2gt1；方向向上；
（2）设无电场时竖直上抛的最大高度为h，由运动学公式，有：v02=2gh…⑥
根据位移时间关系可得：v0t1+…⑦
v1t1﹣…⑧
油滴运动有两种情况：
情况一：
位移之和x1+x2=⑨
联立①、②、③、⑥、⑦、⑧、⑨可得：
E2=E1+
由题意得E2＞E1，即满足条件，即当或才是可能的；
情况二：
位移之和x1+x2=﹣ ⑩
联立①、②、③、⑥、⑦、⑧、⑩可得：
E2=E1+
由题意得E2＞E1，即满足条件，即，另一解为负，不合题意，舍去。
答：
（1）油滴运动到B点时的速度为v0﹣2gt1；
（2）增大后的电场强度的大小为E1+，t1和v0应满足的条件为或；
或E1+；相应的t1和v0应满足的条件为。
16．从地面斜向上抛出一个质量为m的小球，当小球到达最高点时，小球具有的动能与势能之比是9：16，选地面为重力势能参考面，不计空气阻力，现在此空间加上一个平行于小球运动平面的水平电场，以相同的初速度抛出带上正电荷量为q的原小球，小球到达最高点时的动能与抛出时动能相等．已知重力加速度大小为g．试求：
（1）无电场时，小球升到最高点的时间；
（2）后来所加电场的场强大小．
【解答】解：（1）无电场时，当小球升到最高点时，小球具有的动能与势能之比是9：16
将小球的运动分解为水平方向和竖直方向，则竖直方向有
vy2=2gh
得 =mgh
则 ：=9：16
解得初始时 vx：vy=3：4
所以竖直方向的初速度为 vy=
竖直方向小球做匀减速运动，有 vy=gt
解得 t=
（2）设后来所加的电场场强大小为E，小球到达最高点时的动能与抛出时动能相等．
若电场力的方向与初速度的水平分量方向相同，则有
v0=+t
解得 E=
若电场力的方向与初速度的水平分量方向相反，则有
v0=t﹣
解得 E=
答：
（1）无电场时，小球升到最高点的时间是；
（2）后来所加电场的场强大小是或．
四．解答题（共7小题）
17．如图所示，方向为水平向右的匀强电场中，有一质量为m=0.1kg的带电小球，所带的电荷量是q=0.01C，现用长为L=0.25m的细线悬于O点，当小球平衡时，细线和竖直方向的夹角为θ=60°，求
（1）电场强度E是多少？
（2）现给小球一个初速度，速度方向和细线垂直，使小球恰能在竖直平面内做逆时针方向的圆周运动，则圆周运动过程中速度的最小值为多少？
（3）在（2）问条件下，若当小球运动到最高点时，细线突然断了，小球将做类似斜上抛的运动，则小球以后运动过程中的最小速度是多少？（提示：用等效复合场）
【解答】解：（1）当小球平衡时，以小球为研究对象，根据平衡条件得：
qE=mgtanθ
可得：E===×102N/C
（2）可与重力场类比，等效重力为：mg′===2mg
当小球恰好通过等效最高点做圆周运动时，做圆周运动的速度最小，此时由等效重力提供向心力．
由牛顿第二定律得：mg′=m
小球的最小速度为：vmin===m/s；
（3）设小球通过最高点的速度为v．
由几何关系知，等效最高点与小球的平衡位置关于O点对称，从等效最高点到最高点的过程中，根据动能定理得：mg′L（1﹣cos60°）=﹣
解得：v=2
当小球运动到最高点时，细线突然断后，小球开始做类似斜上抛的运动，到达等效最高点时速度，最小速度为：
vmin′=vmincos60°==m/s
答：（1）电场强度E是×102N/C．
（2）圆周运动过程中速度的最小值为m/s．
（3）小球以后运动过程中的最小速度是m/s．
18．如图所示，在竖直边界线 O1O2左侧空间存在一竖直向下的匀强电场．电场强度E=100N/C，电场区域内有一固定的粗糙绝缘斜面AB，其倾角为30°，A点距水平地面的高度为h=4m．BC段为一粗糙绝缘平面，其长度为L=m．斜面AB与水平面BC由一段极端的光滑小圆弧连接（图中未标出），竖直边界线O1O2右侧区域固定一半径为R=0.5m的半圆形光滑绝缘轨道，CD为半圆形光滑绝缘轨道的直径，C、D两点紧贴竖直边界线O1O2，位于电场区域的外部（忽略电场对O1O2右侧空间的影响）．现将一个质量为m=1kg，带电荷量为q=0.1C的带正电的小球（可视为质点）在A点由静止释放，且该小球与斜面AB和水平BC间的动摩擦因数均为μ=（g取10m/s2）．求：
（1）小球到达C点时的速度大小；
（2）小球到达D点时所受轨道的压力大小；
（3）小球落地点距离C点的水平距离．
【解答】解：（1）以小球为研究对象，由A点至C点的运动过程中，根据动能定理可得：
（mg+Eq）h﹣μ（mg+Eq）cos30°•﹣μ（mg+Eq）L=mvC2﹣0
则得：vC==m/s=2m/s
（2）以小球为研究对象，在由C点至D点的运动过程中，根据机械能守恒定律可得：
m=m+mg•2R
在最高点以小球为研究对象，根据牛顿第二定律可得：
FN+mg=m
联立解得：FN=m﹣5mg=1×﹣50=30N
vD==m/s=2m/s
（3）小球做类平抛运动的加速大小为a，根据牛顿第二定律可得：mg+qE=ma
则得：a=g+=10+=20（m/s2）
应用类平抛运动的规律列式可得：
x=vDt，2R=at2
联立得：x=vD=2×m=m
答：（1）小球到达C点时的速度大小为2m/s；（2）小球到达D点时所受轨道的压力大小为30N；（3）小球落地点距离C点的水平距离为m．
19．半径为R=0.8m的光滑绝缘导轨固定于竖直平面内，加上某一方向的匀强电场时，带电小球沿轨道内侧做完整的圆周运动．小球运动到A处时动能最大，A点与圆心O的连线与竖直向下方向夹一锐角，如图所示．已知小球运动到A处时对轨道的压力FN=120N，且小球运动过程中最大动能比最小动能多32J．不计空气阻力．试求：
（1）小球最小动能多大？
（2）若小球在动能最小位置时突然撤去轨道，并保持其它物理量都不变，则小球经0.04s后，其动能与原来小球运动到A处时动能相同，那么小球的质量多大？
【解答】解：（1）小球所受的电场力和重力的合力F方向必与OA平行，且由O指向A．
小球在A处，，
小球在A关于O点对称的圆轨道B处时动能最小，设为Ek2，则
根据动能定理得，Ek2﹣Ek1=﹣F•2R
又Ek1﹣Ek2=32J
联立解得F=20N，Ek2=8J．
（2）撤去轨道后小球做类平抛运动，经t=0.04s，动能与原来小球运动到A处时动能相同，因为仍然是重力和电场力做功，所以小球到达位置与A连线OA垂直．
有：F=ma，
由第一问求出F=20N，代入数据解得m=0.01kg．
答：（1）小球的最小动能为8J．
（2）小球的质量为0.01kg．
20．如图，O、A、B为同一竖直平面内的三个点，OB沿竖直方向，∠BOA=60°，OB=OA，将一质量为m的小球以一定的初动能自O点水平向右抛出，小球在运动过程中恰好通过A点，使此小球带电，电荷量为q（q＞0），同时加一匀强电场，场强方向与△OAB所在平面平行．现从O点以同样的初动能沿某一方向抛出此带电小球，该小球通过了A点，到达A点时的动能是初动能的3倍，若该小球从O点以同样的初动能沿另一方向抛出，恰好通过B点，且到达B点时的动能为初动能的6倍，重力加速度大小为g，求：
（1）无电场时，小球到达A点时的动能与初动能的比值；
（2）电场强度的大小和方向．
【解答】解：（1）小球做平抛运动，设初速度v0．初动能EK0，从O到A的运动时间为t，令，
则：，
根据平抛运动的规律得：水平方向：d•sin60°=v0t…①
竖直方向：…②
又：…③
联立①②③解得：…④
设小球到达A时的动能为EKA，则：…⑤
所以：；
（2）加电场后，从O点到A点下降了y=d，从O点到B点下降了，设两点的电势能分别减小△EPA和△EPB，由能量守恒和④得：
…⑥
…⑦
在匀强电场中，沿着任意直线，电势的降落是均匀的，设直线OB上的M点的电势与A的电势相同，M点到O点的距离是x，如图，则有：
…⑧
解得：x=d，
MA是等势线，电场线与MA的垂线OC平行，设电场方向与竖直向下的方向之间的夹角是α，
由几何关系可得△OAM是等边三角形，所以：α==30°，
即电场线的方向与竖直方向之间的夹角是30°，
设电场强度的大小是E，则：qE•dcos30°=△EPA…⑨
联立④⑥⑨得：E=，
答：（1）无电场时，小球到达A点时的动能与初动能的比值是；
（2）电场强度的大小是，方向与竖直方向之间的夹角是30°．
21．如图所示，板长为L的平行板电容器倾斜固定放置，极板与水平线夹角θ=30°，某时刻一质量为m，带电量为q的小球由正中央A点静止释放，小球离开电场时速度是水平的，（提示：离开的位置不一定是极板边缘）落到距离A点高度为h的水平面处的B点，B点放置一绝缘弹性平板M，当平板与水平夹角a=45°时，小球恰好沿原路返回A点．求：
（1）电容器极板间的电场强度E；
（2）平行板电容器的板长L；
（3）小球在AB间运动的周期T．
【解答】解：（1）带电粒子沿水平方向做匀加速运动可知Eqcosθ=mg，
解得：．
（2）小球垂直落到弹性挡板上，且α=45°，
有
根据动能定理：
解得：L=3h．
（3）由于小球在复合场中做匀加速运动
解得 ，
平抛运动的时间为 ，
总时间为 ．
答：（1）电容器极板间的电场强度E为；
（2）平行板电容器的板长L为3h；
（3）小球在AB间运动的周期T为2（+）．
22．如图所示，一半径为R的竖直光滑圆轨道与水平轨道平滑连接，水平轨道上有一轻质弹簧，其左端固定在墙壁上，右端与质量为m、电荷量为+q的小物块（视为质点）接触但不相连，水平轨道AB段光滑，BC段粗糙且其长度L=3R，倾斜轨道CD段粗糙且与BC段平滑连接，倾斜轨道所在区域有水平向右的匀强电场，场强大小E=等手今向左推小物块压缩弹簧至某一位置后静止释放小物块，小物块由AB段进入圆轨道，通过圆轨道后在BC段和CD段上滑动，若小物块与BC段和CD段的动摩擦因数相同，倾斜轨道与水平面间的夹角θ=37°．重力加速度为g，取SIN37°=0.6，COS37°=0.8
（1）若小物块恰能通过圆轨道的最高点，求弹簧的弹性势能Ep；
（2）若小物块将弹簧压缩到弹性势能E=mgR，释放后小物块在倾斜轨道能到达的最高点为P，在此过程中，小物块的电势能减少了△Ep=mgR，求小物块在BC段克服摩擦力所做的功W．
【解答】解：（1）小物块恰能通过圆轨道的最高点，则小物块重力完全充当向心力，根据牛顿第二定律：
mg=m
代入数据得：v=
根据能量的转化与守恒：Ep=mg2R+mv2=
（2）若弹簧的弹性势能为：EP2=mgR，
在电场中，设小物块在BC段的位移为x，则
△E电=qExcosθ
解得x=
小物块由A到P的全过程，由能量守恒定律，得
EP2+△E电=μmgl+μ（mgcosθ+qEsinθ）x+mgxsinθ
解得μ=
小物块在BC段克服摩擦力所做的功Wf=μmgl=
答：（1）若小物块恰能通过圆轨道的最高点，求弹簧的弹性势能 ；
（2）小物块在BC段克服摩擦力所做的功．
23．如图所示，在两条平行的虚线内存在着宽度为L、场强为E的匀强电场，在与右侧虚线相距也为L处有一与电场平行的屏．现有一电荷量为+q、质量为m的带电粒子（重力不计），以垂直于电场线方向的初速度v0射入电场中，v0方向的延长线与屏的交点为O．试求：
（1）粒子从射入到打到屏上所用的时间；
（2）粒子刚射出电场时的速度方向与初速度方向间夹角的正切值；
（3）粒子打到屏上的点P到O点的距离．
【解答】解：（1）粒子在垂直于电场线的方向上做匀速直线运动，
则粒子打到荧光屏上的时间：t′=．
（2）设粒子射出电场时沿平行电场线方向的速度为vy，
根据牛顿第二定律，粒子在电场中的加速度为：a=，
所以vy=at=a=，
粒子刚射出电场时的速度方向与初速度方向间夹角的正切值为：tanα==．
（3）设粒子在电场中的偏转距离为y，则y=at2=•t2
又Y=y+Ltanα，解得：Y=；
答：（1）粒子从射入到打到屏上所用的时间是；
（2）粒子刚射出电场时的速度方向与初速度方向间夹角的正切值tanα为；
（3）粒子打到屏上的点P到O点的距离Y为．
图像及复合场（重力+电场力）
一．选择题（共5小题）
1．一正电荷仅在电场力的作用下，其速率﹣时间图象如图所示，其中ta和tb是电荷在电场中a、b两点运动的时刻，则下列说法正确的是（ ）
A．a、b两点电场强度关系为Ea=Eb
B．a、b两点电场强度关系为Ea＞Eb
C．带电粒子从a点运动到b点时，电场力做正功、电势能减少
D．a、b两点电势关系为φa＜φb
2．半径为R，均匀带正电荷的绝缘体在空间产生对称的电场，电场强度大小沿半径分布如图所示，图中E0已知。过球心同一直线上A、B两点，离球心的距离分别为2R、3R．下列说法中正确的是（ ）
A．A、B点的电场强度大小之比为3：2
B．把一正检验电荷从A点移到B点电势能增加
C．从球面到A点的电势差小于A、B两点间的电势差
D．从圆心到球面电势升高
3．真空中有一半径为r0的带电金属球，通过其球心的一直线上各点的电势φ分布如图所示。图中x1、x2、x3分别表示该直线上A、B、C三点到球心的距离。根据φ﹣x图象，下列说法正确的是（ ）
A．该金属球可能带负电
B．B点的电场强度大于C点的电场强度
C．A点的电场强度方向由A指向B
D．电荷量为q的正电荷从B移到C的过程中，电场力做功W=q（φ3﹣φ2）
4．如图所示，质量为m、带电荷量为q的粒子，以初速度v0从A点竖直向上射入真空中的沿水平方向的匀强电场中，粒子通过电场中B点时，速率vB=v0，方向与电场的方向一致，则A、B两点的电势差为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，竖直光滑的圆轨道上放一个质量为m的小球，带电量为+q（可看作质点），圆的半径为R．周围空间充满着水平方向的匀强电场，电场强度E=．现在在最低点给小球一个初动能，为了小球能作一个完整的圆周运动，那么在圆轨道最低点给小球的初动能（ ）
A．Ek大于mgR B．Ek等于mgR
C．Ek小于mgR D．Ek的大小不能确定
二．多选题（共7小题）
6．如图所示，以等量同种点电荷的连线中点为原点，两点电荷连线的中垂线为x轴，E表示电场强度，φ表示电势，根据你已经学过的知识判断，在下列E﹣x图象和φ﹣x图象中，可能正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．静电场在x轴上的场强E随x的变化关系如图所示，x轴正向为场强正方向，带正电的点电荷沿x轴运动，则点电荷（ ）
A．在x2和x4处电势能相等
B．由x1运动到x3的过程中电势能增大
C．由x1运动到x4的过程中电场力先增大后减小
D．由x1运动到x4的过程中电场力先减小后增大
8．空间有一沿x轴对称分布的电场，其电场强度E随x变化的图象如图所示，x轴正方向为场强的正方向．下列说法中正确的是（ ）
A．该电场可能是由一对分别位于x2和﹣x2两点的等量异种电荷形成的电场
B．x2和﹣x2两点的电势相等
C．正电荷从x1运动到x3的过程中电势能先增大后减小
D．原点O与x2两点之间的电势差大于﹣x2与x1两点之间的电势差
9．两个点电荷Q1、Q2固定于x轴上，Q2位于坐标原点O，将一带正点的试探电荷从足够远处沿x轴负方向移近Q2，在移动过程中，试探电荷的电势能随位置的变化关系如图所示，曲线与x轴的交点为M，曲线的最低点为N，则下列判断正确的是（ ）
A．M点场强为零，N点电势最低
B．M点电势为零，N点场强为零
C．Q1带负电，Q2带正电，且Q2电荷量较小
D．Q1带正电，Q2带负电，且Q2电荷量较大
10．如图所示，长为L、倾角为θ的光滑绝缘斜面处于电场中，一带电量为+q、质量为m的小球以初速度v0从斜面底端A点开始沿斜面上滑，当到达斜面顶端B点时，速度仍为
v0，正确的是（ ）
A．小球在A点的电势能一定大于在B点的电势能
B．A、B两点间的电势差一定等于
C．若电场是匀强电场，则该电场的电场强度最大值一定为
D．若该电场是由放置在C点的点电荷Q产生，则θ为45°
11．如图所示，半径为R的环形塑料管竖直放置，管的内壁光滑，AB为该环的水平直径，且管的内径远小于环的半径，环的AB及其以下部分处于水平向左的匀强电场中．现将一直径略小于塑料管内径，质量为m，带电量为+q的小球从管中A点由静止释放，已知qE=mg，以下说法正确的是（ ）
A．小球释放后，到达B点时速度为零，并在BDA间往复运动
B．小球释放后，第一次达到B点时对管壁的压力为4mg
C．小球释放后，第一次经过最低点D和最高点C时对管壁的压力之比为5：1
D．小球释放后，前后两次经过最高点C时对管壁的压力之差为4mg
12．在如图所示的竖直向下的匀强电场中，用绝缘的细线拴住的带电小球在竖直平面内绕悬点O做圆周运动，下列说法正确的是（ ）
A．带电小球有可能做匀速率圆周运动
B．带电小球有可能做变速率圆周运动
C．带电小球通过最高点时，细线拉力一定最小
D．带电小球通过最低点时，细线拉力有可能最小
三．计算题（共4小题）
13．如图所示，在竖直向下的匀强电场中有一带电量为q=﹣2×10﹣5C的小球，自倾角为θ=37°的绝缘斜面顶端A点由静止开始滑下，接着通过半径为R=2m的绝缘半圆轨道最高点C（C点的切线水平），已知小球质量为m=0.5kg，匀强电场的场强E=2×105N/C，小球运动过程中摩擦阻力及空气阻力不计（g=10m/s2、sinθ=0.6、cosθ=0.8），求：
（1）小球沿斜面向下运动过程中加速度大小
（2）H至少应为多少？（提示小球在最高点C时速度不能为零．c点速度最小时H最小）
（3）通过调整释放高度使小球到达C点的速度为4m/s，则小球落回到斜面时的动能是多少？
14．如图，两水平面（虚线）之间的距离为H，其间的区域存在方向水平向右的匀强电场。自该区域上方的A点将质量为m、电荷量分别为q和﹣q（q＞0）的带电小球M、N先后以相同的初速度沿平行于电场的方向射出。小球在重力作用下进入电场区域，并从该区域的下边界离开。已知N离开电场时的速度方向竖直向下；M在电场中做直线运动，刚离开电场时的动能为N刚离开电场时的动能的1.5倍。不计空气阻力，重力加速度大小为g。求
（1）M与N在电场中沿水平方向的位移之比；
（2）A点距电场上边界的高度；
（3）该电场的电场强度大小。
15．真空中存在电场强度大小为E1的匀强电场，一带电油滴在该电场中竖直向上做匀速直线运动，速度大小为v0，在油滴处于位置A时，将电场强度的大小突然增大到某值，但保持其方向不变。持续一段时间t1后，又突然将电场反向，但保持其大小不变；再持续同样一段时间后，油滴运动到B点。重力加速度大小为g。
（1）油滴运动到B点时的速度；
（2）求增大后的电场强度的大小；为保证后来的电场强度比原来的大，试给出相应的t1和v0应满足的条件。已知不存在电场时，油滴以初速度v0做竖直上抛运动的最大高度恰好等于B、A两点间距离的两倍。
16．从地面斜向上抛出一个质量为m的小球，当小球到达最高点时，小球具有的动能与势能之比是9：16，选地面为重力势能参考面，不计空气阻力，现在此空间加上一个平行于小球运动平面的水平电场，以相同的初速度抛出带上正电荷量为q的原小球，小球到达最高点时的动能与抛出时动能相等．已知重力加速度大小为g．试求：
（1）无电场时，小球升到最高点的时间；
（2）后来所加电场的场强大小．
四．解答题（共7小题）
17．如图所示，方向为水平向右的匀强电场中，有一质量为m=0.1kg的带电小球，所带的电荷量是q=0.01C，现用长为L=0.25m的细线悬于O点，当小球平衡时，细线和竖直方向的夹角为θ=60°，求
（1）电场强度E是多少？
（2）现给小球一个初速度，速度方向和细线垂直，使小球恰能在竖直平面内做逆时针方向的圆周运动，则圆周运动过程中速度的最小值为多少？
（3）在（2）问条件下，若当小球运动到最高点时，细线突然断了，小球将做类似斜上抛的运动，则小球以后运动过程中的最小速度是多少？（提示：用等效复合场）
18．如图所示，在竖直边界线 O1O2左侧空间存在一竖直向下的匀强电场．电场强度E=100N/C，电场区域内有一固定的粗糙绝缘斜面AB，其倾角为30°，A点距水平地面的高度为h=4m．BC段为一粗糙绝缘平面，其长度为L=m．斜面AB与水平面BC由一段极端的光滑小圆弧连接（图中未标出），竖直边界线O1O2右侧区域固定一半径为R=0.5m的半圆形光滑绝缘轨道，CD为半圆形光滑绝缘轨道的直径，C、D两点紧贴竖直边界线O1O2，位于电场区域的外部（忽略电场对O1O2右侧空间的影响）．现将一个质量为m=1kg，带电荷量为q=0.1C的带正电的小球（可视为质点）在A点由静止释放，且该小球与斜面AB和水平BC间的动摩擦因数均为μ=（g取10m/s2）．求：
（1）小球到达C点时的速度大小；
（2）小球到达D点时所受轨道的压力大小；
（3）小球落地点距离C点的水平距离．
19．半径为R=0.8m的光滑绝缘导轨固定于竖直平面内，加上某一方向的匀强电场时，带电小球沿轨道内侧做完整的圆周运动．小球运动到A处时动能最大，A点与圆心O的连线与竖直向下方向夹一锐角，如图所示．已知小球运动到A处时对轨道的压力FN=120N，且小球运动过程中最大动能比最小动能多32J．不计空气阻力．试求：
（1）小球最小动能多大？
（2）若小球在动能最小位置时突然撤去轨道，并保持其它物理量都不变，则小球经0.04s后，其动能与原来小球运动到A处时动能相同，那么小球的质量多大？
20．如图，O、A、B为同一竖直平面内的三个点，OB沿竖直方向，∠BOA=60°，OB=OA，将一质量为m的小球以一定的初动能自O点水平向右抛出，小球在运动过程中恰好通过A点，使此小球带电，电荷量为q（q＞0），同时加一匀强电场，场强方向与△OAB所在平面平行．现从O点以同样的初动能沿某一方向抛出此带电小球，该小球通过了A点，到达A点时的动能是初动能的3倍，若该小球从O点以同样的初动能沿另一方向抛出，恰好通过B点，且到达B点时的动能为初动能的6倍，重力加速度大小为g，求：
（1）无电场时，小球到达A点时的动能与初动能的比值；
（2）电场强度的大小和方向．
21．如图所示，板长为L的平行板电容器倾斜固定放置，极板与水平线夹角θ=30°，某时刻一质量为m，带电量为q的小球由正中央A点静止释放，小球离开电场时速度是水平的，（提示：离开的位置不一定是极板边缘）落到距离A点高度为h的水平面处的B点，B点放置一绝缘弹性平板M，当平板与水平夹角a=45°时，小球恰好沿原路返回A点．求：
（1）电容器极板间的电场强度E；
（2）平行板电容器的板长L；
（3）小球在AB间运动的周期T．
22．如图所示，一半径为R的竖直光滑圆轨道与水平轨道平滑连接，水平轨道上有一轻质弹簧，其左端固定在墙壁上，右端与质量为m、电荷量为+q的小物块（视为质点）接触但不相连，水平轨道AB段光滑，BC段粗糙且其长度L=3R，倾斜轨道CD段粗糙且与BC段平滑连接，倾斜轨道所在区域有水平向右的匀强电场，场强大小E=等手今向左推小物块压缩弹簧至某一位置后静止释放小物块，小物块由AB段进入圆轨道，通过圆轨道后在BC段和CD段上滑动，若小物块与BC段和CD段的动摩擦因数相同，倾斜轨道与水平面间的夹角θ=37°．重力加速度为g，取SIN37°=0.6，COS37°=0.8
（1）若小物块恰能通过圆轨道的最高点，求弹簧的弹性势能Ep；
（2）若小物块将弹簧压缩到弹性势能E=mgR，释放后小物块在倾斜轨道能到达的最高点为P，在此过程中，小物块的电势能减少了△Ep=mgR，求小物块在BC段克服摩擦力所做的功W．
23．如图所示，在两条平行的虚线内存在着宽度为L、场强为E的匀强电场，在与右侧虚线相距也为L处有一与电场平行的屏．现有一电荷量为+q、质量为m的带电粒子（重力不计），以垂直于电场线方向的初速度v0射入电场中，v0方向的延长线与屏的交点为O．试求：
（1）粒子从射入到打到屏上所用的时间；
（2）粒子刚射出电场时的速度方向与初速度方向间夹角的正切值；
（3）粒子打到屏上的点P到O点的距离．
图像及复合场（重力+电场力）
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．一正电荷仅在电场力的作用下，其速率﹣时间图象如图所示，其中ta和tb是电荷在电场中a、b两点运动的时刻，则下列说法正确的是（ ）
A．a、b两点电场强度关系为Ea=Eb
B．a、b两点电场强度关系为Ea＞Eb
C．带电粒子从a点运动到b点时，电场力做正功、电势能减少
D．a、b两点电势关系为φa＜φb
【解答】解：
AB、v﹣t图象的斜率等于加速度，由v﹣t图象看出，点电荷做加速度增大的加速运动，而点电荷在电场中仅受电场力作用，则知电场力增大，说明电场强度增大，即有Ea＜Eb．故A、B错误。
C、点电荷的动能增大，由能量守恒定律得知，其电势能一定减小，电场力做正功，故C正确。
D、由于点电荷带正电，从a点运动到b点时，电势能减少，所以由Ep=qφ知，φa＞φb．故D错误。
故选：C。
2．半径为R，均匀带正电荷的绝缘体在空间产生对称的电场，电场强度大小沿半径分布如图所示，图中E0已知。过球心同一直线上A、B两点，离球心的距离分别为2R、3R．下列说法中正确的是（ ）
A．A、B点的电场强度大小之比为3：2
B．把一正检验电荷从A点移到B点电势能增加
C．从球面到A点的电势差小于A、B两点间的电势差
D．从圆心到球面电势升高
【解答】解：A、球外某点的场强与该点到球心的距离平方成反比，则知A、B点的电场强度大小之比为9：4，故A错误。
B、正检验电荷受到排斥力，当正检验电荷从A点移到B点时，电场力做正功，电势能减小，故B错误。
C、E﹣r曲线下图线的面积表示电势差，所以从球面到A点的电势差大于AB两点间的电势差，故C错误。
D、从圆心到球面电势升高，为 U=E0R，故D正确。
故选：D。
3．真空中有一半径为r0的带电金属球，通过其球心的一直线上各点的电势φ分布如图所示。图中x1、x2、x3分别表示该直线上A、B、C三点到球心的距离。根据φ﹣x图象，下列说法正确的是（ ）
A．该金属球可能带负电
B．B点的电场强度大于C点的电场强度
C．A点的电场强度方向由A指向B
D．电荷量为q的正电荷从B移到C的过程中，电场力做功W=q（φ3﹣φ2）
【解答】解：A、由图可知0到r0电势不变，之后电势变小，带电金属球为一等势体，再依据沿着电场线方向，电势降低，则金属球带正电，故A错误；
B、图象的斜率表示电场强度的大小，则可知B点的电场强度大于C点的电场强度，故B正确；
C、由图可知，A点处的电势图象的斜率为零，故说明A点处的场强为零，故C错误；
D、正电荷沿直线从A移到B的过程中，电场力做功W=qUAB=q（φ2﹣φ3），故D错误。
故选：B。
4．如图所示，质量为m、带电荷量为q的粒子，以初速度v0从A点竖直向上射入真空中的沿水平方向的匀强电场中，粒子通过电场中B点时，速率vB=v0，方向与电场的方向一致，则A、B两点的电势差为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：粒子在竖直方向做匀减速直线运动，则有：2gh=。
电场力做正功，重力做负功，根据动能定理，有：qU﹣mgh=
联立解得：U=．故D正确，A、B、C错误。
故选：D。
5．如图，竖直光滑的圆轨道上放一个质量为m的小球，带电量为+q（可看作质点），圆的半径为R．周围空间充满着水平方向的匀强电场，电场强度E=．现在在最低点给小球一个初动能，为了小球能作一个完整的圆周运动，那么在圆轨道最低点给小球的初动能（ ）
A．Ek大于mgR B．Ek等于mgR
C．Ek小于mgR D．Ek的大小不能确定
【解答】解：根据几何关系知，等效最高点在A点，A与圆心的连线与水平方向成45°，
在A点，根据得，A点的最小速度，
根据动能定理得，﹣Ek，
解得＞，故A正确，B、C、D错误。
故选：A。
二．多选题（共7小题）
6．如图所示，以等量同种点电荷的连线中点为原点，两点电荷连线的中垂线为x轴，E表示电场强度，φ表示电势，根据你已经学过的知识判断，在下列E﹣x图象和φ﹣x图象中，可能正确的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：AB、在两电荷连线的中点，由于两个电荷在此处产生的场强大小相等、方向相反，所以该处场强为零。在无穷远处场强也为零，所以两点电荷连线的中点到无穷远场强是先增大后减小，且场强关于电荷连线对称，故A正确，B错误。
CD、两点电荷连线的中垂线上场强方向从中点指向无穷远，且电势逐渐降低。因为O处的场强为零，则O处φ﹣x的斜率为0，故C错误，D正确。
故选：AD。
7．静电场在x轴上的场强E随x的变化关系如图所示，x轴正向为场强正方向，带正电的点电荷沿x轴运动，则点电荷（ ）
A．在x2和x4处电势能相等
B．由x1运动到x3的过程中电势能增大
C．由x1运动到x4的过程中电场力先增大后减小
D．由x1运动到x4的过程中电场力先减小后增大
【解答】解：A、x2﹣x4处场强为x轴负方向，则从x2到x4处逆着电场线方向移动，电势升高，正电荷在x4处电势能较大，故A错误；
B、x1﹣x3处场强为x轴负方向，则从x1到x3处逆着电场线方向移动，电势升高，正电荷在x3处电势能较大，B正确；
C、由x1运动到x4的过程中，由图可以看出电场强度的绝对值先增大后减小，故电场力先增大后减小，故C正确，D错误；
故选：BC。
8．空间有一沿x轴对称分布的电场，其电场强度E随x变化的图象如图所示，x轴正方向为场强的正方向．下列说法中正确的是（ ）
A．该电场可能是由一对分别位于x2和﹣x2两点的等量异种电荷形成的电场
B．x2和﹣x2两点的电势相等
C．正电荷从x1运动到x3的过程中电势能先增大后减小
D．原点O与x2两点之间的电势差大于﹣x2与x1两点之间的电势差
【解答】解：A、根据等量异种电荷形成的电场的特点可知，在等量异种电荷的连线上，各点的电场强度的方向是相同的，而该图中电场强度的大小和方向都沿x轴对称分布，所以该电场一定不是由一对分别位于x2和﹣x2两点的等量异种电荷形成的电场。故A错误；
B、由于x2和﹣x2两点关于y轴对称，且电场强度的大小也相等，故从O点到x2和从O点到﹣x2电势降落相等，故x2和﹣x2两点的电势相等，故B正确；
C、由图可知，从x1到x3电场强度始终为正，则正电荷运动的方向始终与电场的方向相同，所以电场力做正功，电势能逐渐减小，故C错误；
D、x2和﹣x2两点的电势相等，原点O与x2两点之间的电势差等于原点O与﹣x2两点之间的电势差，﹣x2与x1两点之间的电势差等于x2与x1两点之间的电势差，所以原点O与x2两点之间的电势差大于﹣x2与x1两点之间的电势差。故D正确；
故选：BD。
9．两个点电荷Q1、Q2固定于x轴上，Q2位于坐标原点O，将一带正点的试探电荷从足够远处沿x轴负方向移近Q2，在移动过程中，试探电荷的电势能随位置的变化关系如图所示，曲线与x轴的交点为M，曲线的最低点为N，则下列判断正确的是（ ）
A．M点场强为零，N点电势最低
B．M点电势为零，N点场强为零
C．Q1带负电，Q2带正电，且Q2电荷量较小
D．Q1带正电，Q2带负电，且Q2电荷量较大
【解答】解：A、B由图知，M点电势能EP=0，由φ=分析得知，M点电势φ=0．EP﹣x图象的斜率=F=qE，则知N点场强为零。故A错误，B正确。
CD、根据正电荷在电势高处电势能大，可知，带正电的试探电荷从远处移近Q2的过程中，电势能先减小后增大，电势先降低后升高，说明Q1带负电，Q2带正电，N点场强为零，由E=k知，Q2电荷量较小。故C正确，D错误。
故选：BC。
10．如图所示，长为L、倾角为θ的光滑绝缘斜面处于电场中，一带电量为+q、质量为m的小球以初速度v0从斜面底端A点开始沿斜面上滑，当到达斜面顶端B点时，速度仍为
v0，正确的是（ ）
A．小球在A点的电势能一定大于在B点的电势能
B．A、B两点间的电势差一定等于
C．若电场是匀强电场，则该电场的电场强度最大值一定为
D．若该电场是由放置在C点的点电荷Q产生，则θ为45°
【解答】解：A、小球从A运动到B的过程中，重力势能增加，电势能减小，则小球在A点的电势能一定大于小球在B点的电势能。故A正确；
B、根据动能定理得：﹣mgLsinθ+qUAB=m﹣m=0，得到：UAB=，故B正确；
C、若电场是匀强电场，电场力恒定，到达B点时小球速度仍为v0，故小球做匀速直线运动，电场力与重力、支持力的合力为零。小球的重力沿斜面向下的分力为mgsinθ一定，则当电场力沿斜面向上，大小为F=mgsinθ时，电场力最小，场强最小，又电场力F=Eq，则该电场的场强的最小值一定是．故C错误；
D、若该电场是由放置在C点的点电荷Q产生，A、B两点的电势相等，小球从A运动到B电势能不变，与上分析矛盾，故D错误；
故选：AB。
11．如图所示，半径为R的环形塑料管竖直放置，管的内壁光滑，AB为该环的水平直径，且管的内径远小于环的半径，环的AB及其以下部分处于水平向左的匀强电场中．现将一直径略小于塑料管内径，质量为m，带电量为+q的小球从管中A点由静止释放，已知qE=mg，以下说法正确的是（ ）
A．小球释放后，到达B点时速度为零，并在BDA间往复运动
B．小球释放后，第一次达到B点时对管壁的压力为4mg
C．小球释放后，第一次经过最低点D和最高点C时对管壁的压力之比为5：1
D．小球释放后，前后两次经过最高点C时对管壁的压力之差为4mg
【解答】解：A、只有重力和电场力做功，带电小球到达B点，重力势能不变，电势能减小，故有动能，其动能大小等于电场力做的功，为qE•2R=2mgR故A错误；
B、D、从A点释放到B点过程，根据动能定理，有
qE•2R=③
据向心力公式，有N2B﹣qE=m④
解得
N2C=5mg
故B错误；
C、第一次过D点时，根据动能定理，有mgR+qER=①
根据向心力公式，有N1D﹣mg=m②
解得
N1D=5mg
第一次过C点，根据向心力公式，有
N1C+mg=m
根据动能定理可知：第一次经过C点的动能为：2EqR﹣mgR=mgR，故N1C=mg
可知故CD正确；
故选：CD。
12．在如图所示的竖直向下的匀强电场中，用绝缘的细线拴住的带电小球在竖直平面内绕悬点O做圆周运动，下列说法正确的是（ ）
A．带电小球有可能做匀速率圆周运动
B．带电小球有可能做变速率圆周运动
C．带电小球通过最高点时，细线拉力一定最小
D．带电小球通过最低点时，细线拉力有可能最小
【解答】解：A、当小球所受重力与电场力合力为零时，绳子的拉力提供向心力，合外力做功为零，小球做匀速圆周运动，故A正确；
B、当小球所受重力与电场力合力不为零时，合外力对小球所做的功不为零，小球速度大小发生变化，小球做变速圆周运动，故B正确；
C、当小球做匀速圆周运动时，细线的拉力提供向心力，在圆周上任何一点细线的拉力都相等，如果小球做非匀变速运动，小球带正电时，在最高点细线拉力最小，如果小球带负电，在最高点，小球的拉力最大，故C错误；
D、小球所受重力与电场力不相等，做变速圆周运动，且小球带负电时，若电场力大于重力时，在最低点细线拉力最小，故D正确；
故选：ABD。
三．计算题（共4小题）
13．如图所示，在竖直向下的匀强电场中有一带电量为q=﹣2×10﹣5C的小球，自倾角为θ=37°的绝缘斜面顶端A点由静止开始滑下，接着通过半径为R=2m的绝缘半圆轨道最高点C（C点的切线水平），已知小球质量为m=0.5kg，匀强电场的场强E=2×105N/C，小球运动过程中摩擦阻力及空气阻力不计（g=10m/s2、sinθ=0.6、cosθ=0.8），求：
（1）小球沿斜面向下运动过程中加速度大小
（2）H至少应为多少？（提示小球在最高点C时速度不能为零．c点速度最小时H最小）
（3）通过调整释放高度使小球到达C点的速度为4m/s，则小球落回到斜面时的动能是多少？
【解答】解：（1）在斜面上下滑时，据牛顿第二定律：（mg﹣Eq）sinθ=ma
代入得加速度为：a=1.2m/s2
（2）恰好过最高点C时，重力与电场力的合力提供向心力：
…①
vc=2.0m/s
从A到C，根据动能定理：
…②
联立解得：H=5m
（3）从C点飞出后做类平抛运动，向下的加速度：
mg﹣qE=ma…③
解得：a=2m/s2
竖直方向：…④
水平方向：x=vct…⑤
根据几何关系工：…⑥
解得：t=1s y=1m
从C到落回斜面有：…⑦
联立③～⑦解得：Ek=5J
答：（1）小球沿斜面向下运动过程中加速度大小为1.2m/s2．
（2）H至少应为5．
（3）通过调整释放高度使小球到达C点的速度为4m/s，则小球落回到斜面时的动能是5J．
14．如图，两水平面（虚线）之间的距离为H，其间的区域存在方向水平向右的匀强电场。自该区域上方的A点将质量为m、电荷量分别为q和﹣q（q＞0）的带电小球M、N先后以相同的初速度沿平行于电场的方向射出。小球在重力作用下进入电场区域，并从该区域的下边界离开。已知N离开电场时的速度方向竖直向下；M在电场中做直线运动，刚离开电场时的动能为N刚离开电场时的动能的1.5倍。不计空气阻力，重力加速度大小为g。求
（1）M与N在电场中沿水平方向的位移之比；
（2）A点距电场上边界的高度；
（3）该电场的电场强度大小。
【解答】解：（1）两带电小球的电量相同，可知M球在电场中水平方向上做匀加速直线运动，N球在水平方向上做匀减速直线运动，水平方向上的加速度大小相等，
两球在竖直方向均受重力，竖直方向上做加速度为g的匀加速直线运动，由于竖直方向上的位移相等，则运动的时间相等，
设水平方向的加速度大小为a，
对M，有：，
对N：v0=at，，
可得，
解得xM：xN=3：1。
（2、3）设正电小球离开电场时的竖直分速度为vy，水平分速度为v1，两球离开电场时竖直分速度相等，
因为M在电场中做直线运动，刚离开电场时的动能为N刚离开电场时的动能的1.5倍，则有：，
解得，
因为v1=v0+at=2v0，则=2v0，
因为M做直线运动，设小球进电场时在竖直方向上的分速度为vy1，则有：，解得vy1=，
在竖直方向上有：，，
解得A点距电场上边界的高度h=。
因为M做直线运动，合力方向与速度方向在同一条直线上，
有：=，
则电场的电场强度E==。
答：（1）M与N在电场中沿水平方向的位移之比为3：1
（2）A点距电场上边界的高度为；
（3）该电场的电场强度大小为。
15．真空中存在电场强度大小为E1的匀强电场，一带电油滴在该电场中竖直向上做匀速直线运动，速度大小为v0，在油滴处于位置A时，将电场强度的大小突然增大到某值，但保持其方向不变。持续一段时间t1后，又突然将电场反向，但保持其大小不变；再持续同样一段时间后，油滴运动到B点。重力加速度大小为g。
（1）油滴运动到B点时的速度；
（2）求增大后的电场强度的大小；为保证后来的电场强度比原来的大，试给出相应的t1和v0应满足的条件。已知不存在电场时，油滴以初速度v0做竖直上抛运动的最大高度恰好等于B、A两点间距离的两倍。
【解答】解：（1）方法一：
设油滴质量为m，带电荷量为q，增大后的电场强度为E2，根据题中条件可以判断电场力与重力方向相反；
对于匀速运动阶段，有qE1=mg…①
对于场强突然增大后的第一段t1时间，由牛顿第二定律得：qE2﹣mg=ma1…②
对于场强第二段t1时间，由牛顿第二定律得：qE2+mg=ma2 …③
由运动学公式，可得油滴在电场反向时的速度为：v1=v0+a1t1④
油滴在B的速度为：vB=v1﹣a2t1⑤
联立①至⑤式，可得：vB=v0﹣2gt1；方向向上；
方法二：
选向上的方向正，由动量定理有：﹣mg×2t+qE1t﹣qE1t=mv﹣mv0
解得：vB=v0﹣2gt1；方向向上；
（2）设无电场时竖直上抛的最大高度为h，由运动学公式，有：v02=2gh…⑥
根据位移时间关系可得：v0t1+…⑦
v1t1﹣…⑧
油滴运动有两种情况：
情况一：
位移之和x1+x2=⑨
联立①、②、③、⑥、⑦、⑧、⑨可得：
E2=E1+
由题意得E2＞E1，即满足条件，即当或才是可能的；
情况二：
位移之和x1+x2=﹣ ⑩
联立①、②、③、⑥、⑦、⑧、⑩可得：
E2=E1+
由题意得E2＞E1，即满足条件，即，另一解为负，不合题意，舍去。
答：
（1）油滴运动到B点时的速度为v0﹣2gt1；
（2）增大后的电场强度的大小为E1+，t1和v0应满足的条件为或；
或E1+；相应的t1和v0应满足的条件为。
16．从地面斜向上抛出一个质量为m的小球，当小球到达最高点时，小球具有的动能与势能之比是9：16，选地面为重力势能参考面，不计空气阻力，现在此空间加上一个平行于小球运动平面的水平电场，以相同的初速度抛出带上正电荷量为q的原小球，小球到达最高点时的动能与抛出时动能相等．已知重力加速度大小为g．试求：
（1）无电场时，小球升到最高点的时间；
（2）后来所加电场的场强大小．
【解答】解：（1）无电场时，当小球升到最高点时，小球具有的动能与势能之比是9：16
将小球的运动分解为水平方向和竖直方向，则竖直方向有
vy2=2gh
得 =mgh
则 ：=9：16
解得初始时 vx：vy=3：4
所以竖直方向的初速度为 vy=
竖直方向小球做匀减速运动，有 vy=gt
解得 t=
（2）设后来所加的电场场强大小为E，小球到达最高点时的动能与抛出时动能相等．
若电场力的方向与初速度的水平分量方向相同，则有
v0=+t
解得 E=
若电场力的方向与初速度的水平分量方向相反，则有
v0=t﹣
解得 E=
答：
（1）无电场时，小球升到最高点的时间是；
（2）后来所加电场的场强大小是或．
四．解答题（共7小题）
17．如图所示，方向为水平向右的匀强电场中，有一质量为m=0.1kg的带电小球，所带的电荷量是q=0.01C，现用长为L=0.25m的细线悬于O点，当小球平衡时，细线和竖直方向的夹角为θ=60°，求
（1）电场强度E是多少？
（2）现给小球一个初速度，速度方向和细线垂直，使小球恰能在竖直平面内做逆时针方向的圆周运动，则圆周运动过程中速度的最小值为多少？
（3）在（2）问条件下，若当小球运动到最高点时，细线突然断了，小球将做类似斜上抛的运动，则小球以后运动过程中的最小速度是多少？（提示：用等效复合场）
【解答】解：（1）当小球平衡时，以小球为研究对象，根据平衡条件得：
qE=mgtanθ
可得：E===×102N/C
（2）可与重力场类比，等效重力为：mg′===2mg
当小球恰好通过等效最高点做圆周运动时，做圆周运动的速度最小，此时由等效重力提供向心力．
由牛顿第二定律得：mg′=m
小球的最小速度为：vmin===m/s；
（3）设小球通过最高点的速度为v．
由几何关系知，等效最高点与小球的平衡位置关于O点对称，从等效最高点到最高点的过程中，根据动能定理得：mg′L（1﹣cos60°）=﹣
解得：v=2
当小球运动到最高点时，细线突然断后，小球开始做类似斜上抛的运动，到达等效最高点时速度，最小速度为：
vmin′=vmincos60°==m/s
答：（1）电场强度E是×102N/C．
（2）圆周运动过程中速度的最小值为m/s．
（3）小球以后运动过程中的最小速度是m/s．
18．如图所示，在竖直边界线 O1O2左侧空间存在一竖直向下的匀强电场．电场强度E=100N/C，电场区域内有一固定的粗糙绝缘斜面AB，其倾角为30°，A点距水平地面的高度为h=4m．BC段为一粗糙绝缘平面，其长度为L=m．斜面AB与水平面BC由一段极端的光滑小圆弧连接（图中未标出），竖直边界线O1O2右侧区域固定一半径为R=0.5m的半圆形光滑绝缘轨道，CD为半圆形光滑绝缘轨道的直径，C、D两点紧贴竖直边界线O1O2，位于电场区域的外部（忽略电场对O1O2右侧空间的影响）．现将一个质量为m=1kg，带电荷量为q=0.1C的带正电的小球（可视为质点）在A点由静止释放，且该小球与斜面AB和水平BC间的动摩擦因数均为μ=（g取10m/s2）．求：
（1）小球到达C点时的速度大小；
（2）小球到达D点时所受轨道的压力大小；
（3）小球落地点距离C点的水平距离．
【解答】解：（1）以小球为研究对象，由A点至C点的运动过程中，根据动能定理可得：
（mg+Eq）h﹣μ（mg+Eq）cos30°•﹣μ（mg+Eq）L=mvC2﹣0
则得：vC==m/s=2m/s
（2）以小球为研究对象，在由C点至D点的运动过程中，根据机械能守恒定律可得：
m=m+mg•2R
在最高点以小球为研究对象，根据牛顿第二定律可得：
FN+mg=m
联立解得：FN=m﹣5mg=1×﹣50=30N
vD==m/s=2m/s
（3）小球做类平抛运动的加速大小为a，根据牛顿第二定律可得：mg+qE=ma
则得：a=g+=10+=20（m/s2）
应用类平抛运动的规律列式可得：
x=vDt，2R=at2
联立得：x=vD=2×m=m
答：（1）小球到达C点时的速度大小为2m/s；（2）小球到达D点时所受轨道的压力大小为30N；（3）小球落地点距离C点的水平距离为m．
19．半径为R=0.8m的光滑绝缘导轨固定于竖直平面内，加上某一方向的匀强电场时，带电小球沿轨道内侧做完整的圆周运动．小球运动到A处时动能最大，A点与圆心O的连线与竖直向下方向夹一锐角，如图所示．已知小球运动到A处时对轨道的压力FN=120N，且小球运动过程中最大动能比最小动能多32J．不计空气阻力．试求：
（1）小球最小动能多大？
（2）若小球在动能最小位置时突然撤去轨道，并保持其它物理量都不变，则小球经0.04s后，其动能与原来小球运动到A处时动能相同，那么小球的质量多大？
【解答】解：（1）小球所受的电场力和重力的合力F方向必与OA平行，且由O指向A．
小球在A处，，
小球在A关于O点对称的圆轨道B处时动能最小，设为Ek2，则
根据动能定理得，Ek2﹣Ek1=﹣F•2R
又Ek1﹣Ek2=32J
联立解得F=20N，Ek2=8J．
（2）撤去轨道后小球做类平抛运动，经t=0.04s，动能与原来小球运动到A处时动能相同，因为仍然是重力和电场力做功，所以小球到达位置与A连线OA垂直．
有：F=ma，
由第一问求出F=20N，代入数据解得m=0.01kg．
答：（1）小球的最小动能为8J．
（2）小球的质量为0.01kg．
20．如图，O、A、B为同一竖直平面内的三个点，OB沿竖直方向，∠BOA=60°，OB=OA，将一质量为m的小球以一定的初动能自O点水平向右抛出，小球在运动过程中恰好通过A点，使此小球带电，电荷量为q（q＞0），同时加一匀强电场，场强方向与△OAB所在平面平行．现从O点以同样的初动能沿某一方向抛出此带电小球，该小球通过了A点，到达A点时的动能是初动能的3倍，若该小球从O点以同样的初动能沿另一方向抛出，恰好通过B点，且到达B点时的动能为初动能的6倍，重力加速度大小为g，求：
（1）无电场时，小球到达A点时的动能与初动能的比值；
（2）电场强度的大小和方向．
【解答】解：（1）小球做平抛运动，设初速度v0．初动能EK0，从O到A的运动时间为t，令，
则：，
根据平抛运动的规律得：水平方向：d•sin60°=v0t…①
竖直方向：…②
又：…③
联立①②③解得：…④
设小球到达A时的动能为EKA，则：…⑤
所以：；
（2）加电场后，从O点到A点下降了y=d，从O点到B点下降了，设两点的电势能分别减小△EPA和△EPB，由能量守恒和④得：
…⑥
…⑦
在匀强电场中，沿着任意直线，电势的降落是均匀的，设直线OB上的M点的电势与A的电势相同，M点到O点的距离是x，如图，则有：
…⑧
解得：x=d，
MA是等势线，电场线与MA的垂线OC平行，设电场方向与竖直向下的方向之间的夹角是α，
由几何关系可得△OAM是等边三角形，所以：α==30°，
即电场线的方向与竖直方向之间的夹角是30°，
设电场强度的大小是E，则：qE•dcos30°=△EPA…⑨
联立④⑥⑨得：E=，
答：（1）无电场时，小球到达A点时的动能与初动能的比值是；
（2）电场强度的大小是，方向与竖直方向之间的夹角是30°．
21．如图所示，板长为L的平行板电容器倾斜固定放置，极板与水平线夹角θ=30°，某时刻一质量为m，带电量为q的小球由正中央A点静止释放，小球离开电场时速度是水平的，（提示：离开的位置不一定是极板边缘）落到距离A点高度为h的水平面处的B点，B点放置一绝缘弹性平板M，当平板与水平夹角a=45°时，小球恰好沿原路返回A点．求：
（1）电容器极板间的电场强度E；
（2）平行板电容器的板长L；
（3）小球在AB间运动的周期T．
【解答】解：（1）带电粒子沿水平方向做匀加速运动可知Eqcosθ=mg，
解得：．
（2）小球垂直落到弹性挡板上，且α=45°，
有
根据动能定理：
解得：L=3h．
（3）由于小球在复合场中做匀加速运动
解得 ，
平抛运动的时间为 ，
总时间为 ．
答：（1）电容器极板间的电场强度E为；
（2）平行板电容器的板长L为3h；
（3）小球在AB间运动的周期T为2（+）．
22．如图所示，一半径为R的竖直光滑圆轨道与水平轨道平滑连接，水平轨道上有一轻质弹簧，其左端固定在墙壁上，右端与质量为m、电荷量为+q的小物块（视为质点）接触但不相连，水平轨道AB段光滑，BC段粗糙且其长度L=3R，倾斜轨道CD段粗糙且与BC段平滑连接，倾斜轨道所在区域有水平向右的匀强电场，场强大小E=等手今向左推小物块压缩弹簧至某一位置后静止释放小物块，小物块由AB段进入圆轨道，通过圆轨道后在BC段和CD段上滑动，若小物块与BC段和CD段的动摩擦因数相同，倾斜轨道与水平面间的夹角θ=37°．重力加速度为g，取SIN37°=0.6，COS37°=0.8
（1）若小物块恰能通过圆轨道的最高点，求弹簧的弹性势能Ep；
（2）若小物块将弹簧压缩到弹性势能E=mgR，释放后小物块在倾斜轨道能到达的最高点为P，在此过程中，小物块的电势能减少了△Ep=mgR，求小物块在BC段克服摩擦力所做的功W．
【解答】解：（1）小物块恰能通过圆轨道的最高点，则小物块重力完全充当向心力，根据牛顿第二定律：
mg=m
代入数据得：v=
根据能量的转化与守恒：Ep=mg2R+mv2=
（2）若弹簧的弹性势能为：EP2=mgR，
在电场中，设小物块在BC段的位移为x，则
△E电=qExcosθ
解得x=
小物块由A到P的全过程，由能量守恒定律，得
EP2+△E电=μmgl+μ（mgcosθ+qEsinθ）x+mgxsinθ
解得μ=
小物块在BC段克服摩擦力所做的功Wf=μmgl=
答：（1）若小物块恰能通过圆轨道的最高点，求弹簧的弹性势能 ；
（2）小物块在BC段克服摩擦力所做的功．
23．如图所示，在两条平行的虚线内存在着宽度为L、场强为E的匀强电场，在与右侧虚线相距也为L处有一与电场平行的屏．现有一电荷量为+q、质量为m的带电粒子（重力不计），以垂直于电场线方向的初速度v0射入电场中，v0方向的延长线与屏的交点为O．试求：
（1）粒子从射入到打到屏上所用的时间；
（2）粒子刚射出电场时的速度方向与初速度方向间夹角的正切值；
（3）粒子打到屏上的点P到O点的距离．
【解答】解：（1）粒子在垂直于电场线的方向上做匀速直线运动，
则粒子打到荧光屏上的时间：t′=．
（2）设粒子射出电场时沿平行电场线方向的速度为vy，
根据牛顿第二定律，粒子在电场中的加速度为：a=，
所以vy=at=a=，
粒子刚射出电场时的速度方向与初速度方向间夹角的正切值为：tanα==．
（3）设粒子在电场中的偏转距离为y，则y=at2=•t2
又Y=y+Ltanα，解得：Y=；
答：（1）粒子从射入到打到屏上所用的时间是；
（2）粒子刚射出电场时的速度方向与初速度方向间夹角的正切值tanα为；
（3）粒子打到屏上的点P到O点的距离Y为．
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