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北师大版必修12集合的基本关系课文ppt课件
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这是一份北师大版必修12集合的基本关系课文ppt课件，共39页。PPT课件主要包含了自主预习·新知导学，合作探究·释疑解惑，易错辨析，随堂练习，探究一，探究二，探究三，探究四，答案C等内容，欢迎下载使用。
一、充要条件的含义【问题思考】1.(1)已知p:整数a是6的倍数,q:整数a是2和3的倍数.请判断:p是q的充分条件吗?p是q的必要条件吗?提示:因为p⇒q,所以p是q的充分条件.又q⇒p,所以p是q的必要条件.
(2)通过问题(1)的判断,你发现了什么?这种关系是否对任意一个“若p,则q”的命题只要具备上述命题的条件都成立?你能用数学语言概括出来吗?提示:可以发现p既是q的充分条件,又是q的必要条件,且这种关系对“若p,则q”的命题只要具备p⇒q,且q⇒p都成立,即p⇔q.
2.填空:抽象概括一般地,如果 p⇒q ,且 q⇒p ,那么称p是q的充分且必要条件,简称p是q的充要条件,记作 p⇔q .3.想一想:符号“⇔”的含义是什么?提示:符号“⇔”的含义是“等价于”.
二、充分条件、必要条件、充要条件的判断【问题思考】1.观察两个集合A={x|x>0}和B={x|x>1},(1)集合A,B满足什么关系?(2)若p:x>0,q:x>1,则p是q的什么条件?提示:(1)B⫋A.(2)p是q的必要条件.
2.想一想:若p不是q的充分条件,则q可能是p的必要条件吗?p可能是q的必要条件吗?提示:充分条件与必要条件是共存的,如果p不是q的充分条件,则q也不是p的必要条件.但p可能是q的必要条件.
4.从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件设条件p,q对应的集合分别为A,B.(1)若A⊆B,则p是q的充分条件,若A⫋B,则p是q的充分条件,但不是必要条件;(2)若B⊆A,则p是q的必要条件,若B⫋A,则p是q的必要条件,但不是充分条件;(3)若A=B,则p,q互为充要条件.
例1. 在下列各题中,试判断p是q的什么条件.(1)若a,b∈R,p:a2+b2≠0,q:a,b不全为0;(2)p:x=1,q:x2-2x+1=0.解:(1)由a2+b2≠0⇒a,b不全为0,反之,由a,b不全为0⇒a2+b2≠0,故p是q的充要条件.(2)解x2-2x+1=0,得x=1,所以“x=1”是“x2-2x+1=0”的充要条件,即p是q的充要条件.
探究一 充要条件的判断
点睛：判断充要条件的两种思路(1)命题角度:判断p⇒q及q⇒p这两个命题是否成立.若两者都成立,则p与q互为充要条件.(2)集合角度:从集合角度去判断,结合集合中“小集合⇒大集合”的关系来理解.
变式1.a,b中至少有一个不为零的充要条件是( )A.ab=0B.ab>0C.a2+b2=0D.a2+b2>0解析:若a2+b2>0,则a,b不同时为零;a,b中至少有一个不为零,则a2+b2>0.答案:D
例2.在下列各题中,试判断p是q的什么条件.(1)p:y+x>4,q:x>1,y>3;(2)p:a>b,c<0,q:ac
点睛：充分、必要条件判断的常用方法(1)定义法:分清条件和结论,利用定义判断;(2)等价法:将不易判断的命题转化为它的等价命题判断;(3)集合法.
变式2.对任意实数a,b,c,给出下列命题:①“a=b”是“ac=bc”的充要条件;②“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件;③“a>b”是“a2>b2”的充分条件;④“a<5”是“a<3”的必要条件.其中为真命题的是 .(填序号)
解析:①由a=b,可得ac=bc.但ac=bc时不一定有a=b,故①为假命题;②由“a+5为无理数”可得“a为无理数”,由“a为无理数”可得“a+5为无理数”,故②为真命题;③由“a>b”不能得出a2>b2,如a=1,b=-2,故③为假命题;④“由a<5”不能推出“a<3”,而由“a<3”可推出“a<5”,故④为真命题.答案:②④
探究三 充要条件的证明
点睛：1.要证明充要条件,就是要证明两个,一个是充分条件,另一个是必要条件.2.证明p是q的充要条件,首先要明确p是条件,q是结论;其次推证p⇒q是证明充分性,推证q⇒p是证明必要性.
变式3.求证:关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0),有一个正根和一个负根的充要条件是ac<0.
例4.已知条件p:A={x|(x-1)(x-a)≤0},条件q:B={x|1≤x≤2},当a为何值时,p是q的充分条件,但不是必要条件.分析:将p,q的关系转化为A,B的关系→构建不等式求解→解不等式得结论
探究四 与充分、必要及充要条件相关的参数值的求解
解:由已知A={x|(x-1)(x-a)≤0},B={x|1≤x≤2}.因为p是q的充分条件,但不是必要条件,所以A⫋B,而当a=1时,A={1},显然成立;当a>1,A={x|1≤x≤a},则需a<2,故1
拓展
3.若把本例中集合B改为B={x|-2≤x≤1},其他条件不变,则当a为何值时,p是q的充分条件,但不是必要条件?解:因为p是q的充分条件,但不是必要条件,所以A⫋B,与例4同理,可得-2
得00变为1>0这一情况.
警示：用定义判断时无论是p⇒q,还是q⇒p,均要认真考虑是否有反例,这一点往往是判断充分性和必要性的关键和难点.
随堂练习
1.已知集合A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A⊆B”的( )A.充分条件,但不是必要条件B.必要条件,但不是充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:∵A={1,a},B={1,2,3},A⊆B,∴a∈B,且a≠1,∴a=2或a=3,∴“a=3”是“A⊆B”的充分条件,但不是必要条件.答案:A
2.二次函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是( )A.m=-2B.m=2C.m=-1D.m=1解析:由函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称,可得 ,即m=-2,且当m=-2时,函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称.答案:A
3.已知a,b,c,d为实数,且c>d,则“a>b”是“a-c>b-d”的( )A.充分条件,但不是必要条件B.必要条件,但不是充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:因为c>d,所以-c<-d,故由a>b,推不出a-c>b-d,而由a-c>b-d,c>d,两式左右两边分别相加得出a>b.答案:B
4.设p:x<3,q:-1
一、充要条件的含义【问题思考】1.(1)已知p:整数a是6的倍数,q:整数a是2和3的倍数.请判断:p是q的充分条件吗?p是q的必要条件吗?提示:因为p⇒q,所以p是q的充分条件.又q⇒p,所以p是q的必要条件.
(2)通过问题(1)的判断,你发现了什么?这种关系是否对任意一个“若p,则q”的命题只要具备上述命题的条件都成立?你能用数学语言概括出来吗?提示:可以发现p既是q的充分条件,又是q的必要条件,且这种关系对“若p,则q”的命题只要具备p⇒q,且q⇒p都成立,即p⇔q.
2.填空:抽象概括一般地,如果 p⇒q ,且 q⇒p ,那么称p是q的充分且必要条件,简称p是q的充要条件,记作 p⇔q .3.想一想:符号“⇔”的含义是什么?提示:符号“⇔”的含义是“等价于”.
二、充分条件、必要条件、充要条件的判断【问题思考】1.观察两个集合A={x|x>0}和B={x|x>1},(1)集合A,B满足什么关系?(2)若p:x>0,q:x>1,则p是q的什么条件?提示:(1)B⫋A.(2)p是q的必要条件.
2.想一想:若p不是q的充分条件,则q可能是p的必要条件吗?p可能是q的必要条件吗?提示:充分条件与必要条件是共存的,如果p不是q的充分条件,则q也不是p的必要条件.但p可能是q的必要条件.
4.从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件设条件p,q对应的集合分别为A,B.(1)若A⊆B,则p是q的充分条件,若A⫋B,则p是q的充分条件,但不是必要条件;(2)若B⊆A,则p是q的必要条件,若B⫋A,则p是q的必要条件,但不是充分条件;(3)若A=B,则p,q互为充要条件.
例1. 在下列各题中,试判断p是q的什么条件.(1)若a,b∈R,p:a2+b2≠0,q:a,b不全为0;(2)p:x=1,q:x2-2x+1=0.解:(1)由a2+b2≠0⇒a,b不全为0,反之,由a,b不全为0⇒a2+b2≠0,故p是q的充要条件.(2)解x2-2x+1=0,得x=1,所以“x=1”是“x2-2x+1=0”的充要条件,即p是q的充要条件.
探究一 充要条件的判断
点睛：判断充要条件的两种思路(1)命题角度:判断p⇒q及q⇒p这两个命题是否成立.若两者都成立,则p与q互为充要条件.(2)集合角度:从集合角度去判断,结合集合中“小集合⇒大集合”的关系来理解.
变式1.a,b中至少有一个不为零的充要条件是( )A.ab=0B.ab>0C.a2+b2=0D.a2+b2>0解析:若a2+b2>0,则a,b不同时为零;a,b中至少有一个不为零,则a2+b2>0.答案:D
例2.在下列各题中,试判断p是q的什么条件.(1)p:y+x>4,q:x>1,y>3;(2)p:a>b,c<0,q:ac
点睛：充分、必要条件判断的常用方法(1)定义法:分清条件和结论,利用定义判断;(2)等价法:将不易判断的命题转化为它的等价命题判断;(3)集合法.
变式2.对任意实数a,b,c,给出下列命题:①“a=b”是“ac=bc”的充要条件;②“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件;③“a>b”是“a2>b2”的充分条件;④“a<5”是“a<3”的必要条件.其中为真命题的是 .(填序号)
解析:①由a=b,可得ac=bc.但ac=bc时不一定有a=b,故①为假命题;②由“a+5为无理数”可得“a为无理数”,由“a为无理数”可得“a+5为无理数”,故②为真命题;③由“a>b”不能得出a2>b2,如a=1,b=-2,故③为假命题;④“由a<5”不能推出“a<3”,而由“a<3”可推出“a<5”,故④为真命题.答案:②④
探究三 充要条件的证明
点睛：1.要证明充要条件,就是要证明两个,一个是充分条件,另一个是必要条件.2.证明p是q的充要条件,首先要明确p是条件,q是结论;其次推证p⇒q是证明充分性,推证q⇒p是证明必要性.
变式3.求证:关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0),有一个正根和一个负根的充要条件是ac<0.
例4.已知条件p:A={x|(x-1)(x-a)≤0},条件q:B={x|1≤x≤2},当a为何值时,p是q的充分条件,但不是必要条件.分析:将p,q的关系转化为A,B的关系→构建不等式求解→解不等式得结论
探究四 与充分、必要及充要条件相关的参数值的求解
解:由已知A={x|(x-1)(x-a)≤0},B={x|1≤x≤2}.因为p是q的充分条件,但不是必要条件,所以A⫋B,而当a=1时,A={1},显然成立;当a>1,A={x|1≤x≤a},则需a<2,故1
拓展
3.若把本例中集合B改为B={x|-2≤x≤1},其他条件不变,则当a为何值时,p是q的充分条件,但不是必要条件?解:因为p是q的充分条件,但不是必要条件,所以A⫋B,与例4同理,可得-2
得0
警示：用定义判断时无论是p⇒q,还是q⇒p,均要认真考虑是否有反例,这一点往往是判断充分性和必要性的关键和难点.
随堂练习
1.已知集合A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A⊆B”的( )A.充分条件,但不是必要条件B.必要条件,但不是充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:∵A={1,a},B={1,2,3},A⊆B,∴a∈B,且a≠1,∴a=2或a=3,∴“a=3”是“A⊆B”的充分条件,但不是必要条件.答案:A
2.二次函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是( )A.m=-2B.m=2C.m=-1D.m=1解析:由函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称,可得 ,即m=-2,且当m=-2时,函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称.答案:A
3.已知a,b,c,d为实数,且c>d,则“a>b”是“a-c>b-d”的( )A.充分条件,但不是必要条件B.必要条件,但不是充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:因为c>d,所以-c<-d,故由a>b,推不出a-c>b-d,而由a-c>b-d,c>d,两式左右两边分别相加得出a>b.答案:B
4.设p:x<3,q:-1
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