高考数学一轮复习第十一篇复数、算法、推理与证明第3节合情推理与演绎推理课件理

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第3节　合情推理与演绎推理
知识梳理自测 把散落的知识连起来
【教材导读】 1.归纳推理与类比推理的主要特点是什么?提示:归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理;而类比推理是特殊到特殊的推理.2.演绎推理的主要形式是什么?提示:三段论,即大前提、小前提和结论.3.演绎推理所获得的结论一定可靠吗?提示:不一定,只有前提是正确的,推理形式是正确的,结论才一定是真实的,错误的前提则可能导致错误的结论.
2.演绎推理从 出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理,简言之,演绎推理是由 到 的推理.“三段论”是演绎推理的一般模式,包括(1)大前提—— ;(2)小前提—— ;(3)结论—— .
根据一般原理,对特殊情况做出的判断
【重要结论】 1.在演绎推理中,若大前提、小前提、推理形式三者中有一个是错误的,所得的结论就是错误的.2.在演绎推理中,若大前提不明确,可找一个使结论成立的充分条件作为大前提.
1.下列表述正确的是(　 　)①归纳推理是由部分到整体的推理;②归纳推理是由一般到一般的推理;③演绎推理是由一般到特殊的推理;④类比推理是由特殊到一般的推理;⑤类比推理是由特殊到特殊的推理.(A)②③④(B)①③⑤(C)②④⑤(D)①⑤
解析:归纳推理是由部分到整体的推理,演绎推理是由一般到特殊的推理,类比推理是由特殊到特殊的推理.故①③⑤是正确的.故选B.
2.下面几种推理是合情推理的是(　 　)①由圆的性质类比出球的有关性质;②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°,归纳出所有三角形的内角和都是180°;③李锋某次考试成绩是100分,由此推出全班同学的成绩都是100分;④三角形内角和是180°,四边形内角和是360°,五边形内角和是540°,由此得凸n边形内角和是(n-2)·180°.(A)①②(B)①③(C)①②④(D)②④
解析:①是类比推理,②是归纳推理,④是归纳推理,所以①②④为合情推理.故选C.
3.下面给出了四个类比推理:(1)由“若a,b,c∈R则(ab)c=a(bc)”类比推出“若a,b,c为三个向量,则(a·b)·c=a·(b·c)”;(2)“a,b为实数,若a2+b2=0,则a=b=0”类比推出“z1,z2为复数,若 + =0,则z1=z2=0”;(3)“在平面内,三角形的两边之和大于第三边”类比推出“在空间中,四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”;(4)“在平面内,过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆”类比推出“在空间中,过不在同一个平面上的四个点有且只有一个球”.上述四个推理中,结论正确的个数有(　 　)(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个
解析:容易验证结论(1)是错误的.事实上,若三个向量都是单位向量,其夹角不同,则(1)不成立;若取z1=1,z2=i,显然满足题设,即(2)不成立.(3)(4)是正确的(证明过程略).故选B.
(A)109(B)1 033(C)199(D)29
5.(2017·广东汕头三模)甲、乙、丙三人到户外植树,三人分工合作,一人挖坑和填土,一人施肥,一人浇水,他们的身高各不同,现了解到以下情况:①甲不是最高的;②最高的没浇水;③最矮的施肥;④乙不是最矮的,也没挖坑和填土.可以判断丙的分工是　　　　(从“挖坑和填土”“施肥”“浇水”中选一项). 
解析:由③④可知,乙浇水,由①②可知,丙是最高的,所以丙的分工是挖坑和填土.答案:挖坑和填土
考点专项突破 在讲练中理解知识
考查角度2:与数表有关的推理【例2】(1) 导学号 38486221 (2017·辽宁沈阳三模) “杨辉三角”又称“贾宪三角”,是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算,而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中,辑录了贾宪三角形数表,并称之为“开方作法本源”图.下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”.该表由若干行数字组成,从第二行起,每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和,表中最后一行仅有一个数,则这个数是(　　)(A)2 017×22 016(B)2 018×22 015(C)2 017×22 015(D)2 018×22 016
解析:(1)由题意,数表的每一行从右往左都是等差数列,且第一行公差为1,第二行公差为2,第三行公差为4,…,第2 015行公差为22 014,故第1行的第一个数为2×2-1,第2行的第一个数为3×20,第3行的第一个数为4×21,…第n行的第一个数为(n+1)×2n-2 ,表中最后一行仅有一个数,则这个数是2 018×22 015.故选B.
(2)(2016·河北石家庄一模)如图所示的数阵中,用A(m,n)表示第m行的第n个数,则依此规律A(15,2)表示为(　　)
反思归纳 数表推理问题,应根据数表特征,观察数表的构成,找出数表每一行的数与行数之间的关系,提炼数表的本质,结合已有的知识(尤其是数列知识)求解.
考查角度3:与图形有关的推理【例3】 导学号 38486222 分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科,它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路.按照如图甲所示的分形规律可得如图乙所示的一个树形图:若记图乙中第n行白圈的个数为an,则an=　　　　. 
反思归纳 与图形变化相关的归纳推理,解决的关键是抓住相邻图形之间的关系,合理利用特殊图形,找到其中的变化规律,得出结论,可用赋值检验法验证其真伪性.
(2)已知数列{an}为等差数列,若am=a,an=b(n-m≥1,m,n∈N*),则am+n= .类比等差数列{an}的上述结论,对于等比数列{bn}(bn>0,n∈N*),若bm=c,bn=d(n-m≥2,m,n∈N*),则可以得到bm+n=　　　　. 
反思归纳 (1)在推导空间中的结论时,要利用类似平面结论的推导方法,如等体积法类比等面积法,平面类比直线,空间的四面体类比三角形,球类比圆以及体积类比面积,表面积类比周长等.(2)等差数列是以和与差的形式展现数列的性质,而等比数列是以积与商的形式展现数列的性质,因此在进行两类数列的类比时,等差数列的和与差可以类比等比数列的积与商,反之亦然.
【例5】 导学号 18702624 若f(x)=a+ 是奇函数,则a=　　　　. 
反思归纳 演绎推理是从一般性的原理推出某个特殊情况下结论的方法,其实质是由一般到特殊的推理,使用演绎推理时要注意其一般模式“三段论”.
跟踪训练2:下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是(　　)(A)大前提:无限不循环小数是无理数;小前提:π是无理数;结论:π是无限不循环小数(B)大前提:无限不循环小数是无理数;小前提:π是无限不循环小数;结论:π是无理数(C)大前提:π是无限不循环小数;小前提:无限不循环小数是无理数;结论:π是无理数(D)大前提:π是无限不循环小数;小前提:π是无理数;结论:无限不循环小数是无理数
解析:对于A,小前提与结论互换,错误;对于B,符合演绎推理过程且结论正确;对于C和D,均为大前提错误,故选B.
(2)Sn+1=4an.