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数学3.2.1几类不同增长的函数模型教案
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这是一份数学3.2.1几类不同增长的函数模型教案，共13页。教案主要包含了重点与难点，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
3.2函数模型及其应用
3.2.1 几类不同增长的函数模型
●三维目标
1．知识与技能
在掌握好函数基本性质的前提下，使学生探求函数在实际中的应用，并学会利用函数知识建立数学模型解决实际问题．
2．过程与方法
(1)培养学生应用数学的意识分析问题、解决问题的能力；
(2)培养学生的综合实践和自主学习的能力．
3．情感、态度与价值观
体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，认识事物之间的普遍联系与相互转化，在实践研究中，培养学生的创新精神，团结协作精神，激发学生学习数学的兴趣．
二、重点与难点
重点：将实际问题转化为函数模型，训练学生通过实践探求函数在实际中的应用．
难点：怎样选择适当的数学模型分析解决实际问题．
重难点突破：主要利用信息技术从图、表两方面对知识讲解．首先对具体函数y＝2x，y＝x2，y＝log2x的增长的差异性进行比较．在比较函数y＝2x，y＝x2的增长的差异性时，分别选择了三个不同的步长进行研究，这样就更能反映了这两类函数的增长的特点，在教学时要让学生体会到为什么要选择三种不同的步长加以研究，能让学生在解决具体问题时可以针对不同的情况进行合理的选择．
在比较幂函数与对数函数的增长的差异性时可利用类比的方法．然后将结论推广到一般的指数函数y＝ax(a＞1)、对数函数y＝logax(a＞1)、幂函数y＝xn(n＞0)在区间(0，＋∞)的增长的差异性，即存在一个x0，当x＞x0时，ax＞xn＞logax，充分体现了“指数爆炸”、“直线上升”、“对数增长”的特点．整个过程向学生渗透从具体到一般、数形结合的数学思想方法，培养学生全面分析问题、解决问题的能力．
课前自主导学
课标解读
1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质，并体会其增长快慢．(重点)
2．理解直线上升、对数增长、指数爆炸的含义，及三种函数模型的性质的比较．(易混点)
3．会分析具体的实际问题，能够建模解决实际问题．(难点)
知识
三类函数增长速度的比较
1．当x∈(2,4)时，函数y＝x2与y＝2x哪一个增长得更快一些？
【提示】 y＝x2.
2．当x∈(4，＋∞)时，函数y＝x2与y＝2x哪一个增长得更快一些？
【提示】 y＝2x.
3．是否存在一个x0，使x>x0时恒有2x>x2>log2x成立？
【提示】 存在．
1．三种函数模型的性质
函数
性质
y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
图象的变化
随x增大逐渐变陡
随x增大逐渐变缓
随n值而不同
2.三种函数的增长速度比较
(1)在区间(0，＋∞)上，函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和y＝xn(n>0)都是增函数，但增长速度不同，且不在同一个“档次”上．
(2)在区间(0，＋∞)上随着x的增大，y＝ax(a>1)增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n>0)的增长速度，而y＝logax(a>1)的增长速度则会越来越慢．
(3)存在一个x0，使得当x>x0时，有logax
类型1
函数模型的增长差异
研究函数y＝0.5ex－2，y＝ln(x＋1)，y＝x2－1在[0，＋∞)上的增长情况．
【思路探究】 解答本题的关键是在同一坐标系中画出它们的图象，结合图象说明它们的增长情况．
【自主解答】 分别在同一个坐标系中画出三个函数的图象，如图，从图象上可以看出函数y＝0.5ex－2的图象首先超过了函数y＝ln(x＋1)的图象，然后又超过了y＝x2－1的图象，即存在一个满足0.5ex0－2＝x－1的x0，当x>x0时，ln(x＋1)
1．判断不同函数增长模型的差异有两种方法，一是根据图象判断，二是根据函数的变化量的情况判断．
2．三种函数模型的表达形式及其增长特点
(1)指数函数模型：能用指数型函数f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a>0，b>1)表达的函数模型，其增长特点是随着自变量x的增大，函数值增大的速度越来越快，常称之为“指数爆炸”．
(2)对数函数模型：能用对数型函数f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m≠0，x>0，a>1)表达的函数模型，其增长的特点是开始阶段增长得较快，但随着x的逐渐增大，其函数值变化得越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”．
(3)幂函数模型：能用幂型函数f(x)＝axα＋b(a，b，c，α为常数，a≠0，α≠1)表达的函数模型，其增长情况由a和α的取值确定，常见的有二次函数模型和反比例函数模型．
三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如下表：
x
1
3
5
7
9
11
y1
5
135
625
1 715
3 645
6 655
y2
5
29
245
2 189
19 685
177 149
y3
5
6.10
6.61
6.95
7.2
7.4
则关于x分别呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次为( )
A．y1，y2，y3 B．y2，y1，y3
C．y3，y2，y1 D．y1，y3，y2
【解析】 通过指数型函数、对数型函数、幂函数型函数的增长规律比较可知，对数型函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变化符合此规律；指数型函数的增长是爆炸式增长，y2随x的变化符合此规律；幂函数型函数的增长速度越来越快，y1随x的变化符合此规律，故选C.
【答案】 C
根据函数增长差异确定图象并比较大小
函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1
(2)结合函数图象示意图，判断f(6)，g(6)，f(2012)，g(2012)
的大小．
【思路探究】 根据指数函数、幂函数增长差异进行判断．
【自主解答】 (1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.
(2)∵f(1)>g(1)，f(2)g(10)，
∴1x2.
从图象上可以看出，当x1x2时，f(x)>g(x)，∴f(2012)>g(2012)．
又∵g(2012)>g(6)，∴f(2012)>g(2012)>g(6)>f(6)．
1．解答此类问题的关键是明确“指数爆炸”、“对数增长”等函数增长差异，需注意幂函数的增长是介于两者之间的．
2．体会数形结合思想，明确图形是函数关系的直观反映．
本例中若x1∈[a，a＋1]，x2∈[b，b＋1]，且a，b∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}，指出a、b的值，并说明理由．
【解】 a＝1，b＝9.理由如下：
令φ(x)＝f(x)－g(x)＝2x－x3，则x1，x2为函数φ(x)的零点，由于φ(x)在[1,13]上为连续函数，φ(1)＝1>0，φ(2)＝－4<0，φ(9)＝29－93<0，φ(10)＝210－103>0，所以函数φ(x)＝f(x)－g(x)的两个零点x1∈[1,2]，x2∈[9,10]，因此a＝1，b＝9.
类型3
根据函数增长差异选择函数模型
某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且资金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但资金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？
【思路探究】 →
【自主解答】
借助工具作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(如图所示)．观察图象可知，在区间[5,60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求．
不同的函数增长模型描述增长速度的差异：
(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律；
(2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律；
(3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；
(4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律．因此，需抓住题中蕴含的数学信息，恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题．
某债券市场发行三种债券，A种面值为100元，一年到期本息和为103元；B种面值为50元，半年到期本息和为51.4元；C种面值为100元，但买入价为97元，一年到期本息和为100元．作为购买者，分析这三种债券的收益，从小到大排列为( )
A．B，A，C B．A，C，B
C．A，B，C D．C，A，B
【解析】 A种债券的收益是每100元收益3元；B种债券的利率为，所以100元一年到期的本息和为100×2≈105.68(元)，收益为5.68元；C种债券的利率为，100元一年到期的本息和为100≈103.09(元)，收益为3.09元．
【答案】 B
思想方法技巧
数形结合思想在函数中的应用
(12分)电信局为了配合客户的不同需要，现设计A，B两种优惠方案，这两种方案的应付电话费y(元)与通话时间x(分钟)之间的关系如图3－2－2所示(实线部分)．(注：图中MN∥CD)
图3－2－2
(1)若通话时间为2小时，则按方案A，B各付话费多少元？
(2)方案B从500分钟以后，每分钟收费多少元？
(3)通话时间在什么范围内，方案B才会比方案A优惠？
【思路点拨】 两种方案都是由线性函数组成的分段函数，结合图形可求出函数的解析式，然后再根据题意解题．
【规范解答】 由图可知M(60,98)，N(500,230)，C(500，168)，MN∥CD.1分
设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别为fA(x)，fB(x)，
则fA(x)＝fB(x)＝3分
(1)易知，通话2小时，两种方案的话费分别为116元，168元.4分
(2)因为fB(n＋1)－fB(n)＝(n＋1)＋18－n－18＝0.3(n>500)，6分
所以方案B从500分钟以后，每分钟收费0.3元.7分
(3)由图可知，当0≤x≤60时，有fA(x)
当60fA(x)；当≤x≤500时，fA(x)>fB(x).11分
即当通话时间在时，方案B才会比方案A优惠.12分
思维启迪
1．对于给出图象的应用性问题，首先我们可以根据函数图象用待定系数法求出解析式，然后再用函数解析式来解决问题，最后再转化成具体问题，作出解答．
2．对于借助函数图象表达题目信息的问题，读懂图象是解题的关键．
课堂小结
1．直线上升、指数爆炸、对数增长
对于直线y＝kx＋b(k≥0)、指数函数y＝ax(a>1)、对数函数y＝logbx(b>1)，当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快，并且直线上升，其增长量固定不变．
2．函数模型选取的择优意识
解题过程中究竟选用哪种增长的函数模型，要根据题目的具体要求进行抽象和概括，灵活地选取和建立数学模型．
3．要注意化归思想和数形结合思想的运用．
当堂测试
1．下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是( )
A．y＝1 B．y＝x
C．y＝3x D．y＝log3x
【解析】 结合函数y＝1，y＝x，y＝3x及y＝log3x的图象可知，随着x的增大，增长速度最快的是y＝3x.
【答案】 C
2．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润与时间的关系，可选用( )
A．一次函数 B．二次函数
C．指数型函数 D．对数型函数
【解析】 结合“直线上升，对数增长，指数爆炸”可知，只有D选项对数型函数符合题设条件，故选D.
【答案】 D
3．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：
x
0
5
10
15
20
25
30
y1
5
130
505
1 130
2 005
3 130
4 505
y2
5
94.478
1 785.2
33 733
6.37×105
1.2×107
2.28×108
y3
5
30
55
80
105
130
155
y4
5
2.310 7
1.429 5
1.140 7
1.046 1
1.015 1
1.005
关于x呈指数型函数变化的变量是________．
【解析】 指数型函数呈“爆炸式”增长．
从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从5开始变化，变量y4的值越来越小，但是减小的速度很慢，故变量y4关于x不呈指数型函数变化；而变量y1，y2，y3的值都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化．故填y2.
【答案】 y2
4．函数f(x)＝lgx，g(x)＝0.3x－1的图象如图3－2－3所示．
图3－2－3
(1)试根据函数增长差异找出曲线C1，C2对应的函数；
(2)比较函数增长差异〔以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较〕．
【解】 (1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lgx.
(2)当xf(x)；当x1g(x)；当x>x2时，g(x)>f(x).
课后知能检测
一、选择题
1．四人赛跑，假设其跑过的路程和时间的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是( )
A．f1(x)＝x2 B．f2(x)＝4x
C．f3(x)＝log2x D．f4(x)＝2x
【解析】 显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f4(x)＝2x，故选D.
【答案】 D
2．某公司市场营销部的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如图3－2－4所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售时的收入是( )
图3－2－4
A．310元 B．300元
C．290 D．280元
【解析】 由射线线经过点(1,800)，(2,1 300)得其解析式为y＝500x＋300(x≥0)，
∴当x＝0时，y＝300.
【答案】 B
3．一天，亮亮发烧了，早晨他烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，中午时亮亮的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜亮亮才感觉身上不那么发烫．下列各图中能基本上反映出亮亮这一天(0时～24时)体温的变化情况的是( )
【解析】 观察图象A，体温逐渐降低，不合题意；图象B不能反映“下午体温又开始上升”；图象D不能体现“下午体温又开始上升”与“直到半夜才感觉身上不那么发烫”．故选C.
【答案】 C
4．若x∈(0,1)，则下列结论正确的是( )
A．2x>x>lgx B．2x>lgx>x
C．x>2x>lgx D．lgx>x>2x
【解析】 如图所示，由图可知当x∈(0,1)时，2x>x>lgx.
【答案】 A
5．(2014·郑州高一检测)某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y(万公顷)关于年数x(年)的函数关系较为近似的是( )
A．y＝0.2x B．y＝x2＋2x
C．y＝ D．y＝0.2＋log16x
【解析】 取x＝1,2,3代入各选项函数解析式中检验即可．
【答案】 C
二、填空题
6．函数y＝2x与函数y＝x2的图象共有________个交点．
【解析】 如图所示，函数y＝2x与函数y＝x2的图象共有3个交点．
【答案】 3
7．若a>1，n>0，那么当x足够大时，ax，xn，logax的大小关系是________．
【解析】 由三种函数的增长特点可知，当x足够大时，总有logax
图3－2－5
①前5min温度增加的速度越来越快；②前5min温度增加的速度越来越慢；③5min以后温度保持匀速增加；④5min以后温度保持不变．
其中正确的说法是________．(填序号)
【解析】 因为温度y关于时间t的图象是先凸后平，即5min前每当t增加一个单位增量Δt，则y相应的增量Δy越来越小，而5min后是y关于t的增量保持为0，则②④正确．
【答案】 ②④
三、解答题
9．(2014·大连高一检测)画出函数f(x)＝与函数g(x)＝x2－2的图象，并比较两者在[0，＋∞)上的大小关系．
【解】 函数f(x)与g(x)的图象如下．
根据图象易得：当0≤x<4时，f(x)>g(x)；
当x＝4时，f(x)＝g(x)；当x>4时，f(x)
图(1) 图(2)
图3－2－6
(1)分别求出通话费y1，y2与通话时间x之间的函数关系式；
(2)请帮助用户计算，在一个月(30天)内使用哪种卡便宜．
【解】 (1)由图象可设y1＝k1x＋29，y2＝k2x，
把点B(30,35)，C(30,15)分别代入y1，y2得k1＝，k2＝.
∴y1＝x＋29(x≥0)，y2＝x(x≥0)．
(2)令y1＝y2，即x＋29＝x，则x＝96.
当x＝96时，y1＝y2，两种卡收费一致；
当x<96时，y1>y2，即便民卡便宜；
当x>96时，y1
方案一：工厂的污水先净化处理后再排出，每处理1立方米污水所用原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30 000元；
方案二：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费．问：
(1)工厂每月生产3 000件产品时，你作为厂长，在不污染环境，又节约资金的前提下应选择哪种方案？通过计算加以说明；
(2)若工厂每月生产6 000件产品，你作为厂长，又该如何决策呢？
【解】 设工厂生产x件产品时，依方案一的利润为y1，依方案二的利润为y2，由题意知y1＝(50－25)x－2×0.5x－30 000＝24x－30 000，
y2＝(50－25)x－14×0.5x＝18x.
(1)当x＝3 000时，y1＝42 000，y2＝54 000，
∵y1
∵y1>y2，∴应选择方案一处理污水.
3.2函数模型及其应用
3.2.1 几类不同增长的函数模型
●三维目标
1．知识与技能
在掌握好函数基本性质的前提下，使学生探求函数在实际中的应用，并学会利用函数知识建立数学模型解决实际问题．
2．过程与方法
(1)培养学生应用数学的意识分析问题、解决问题的能力；
(2)培养学生的综合实践和自主学习的能力．
3．情感、态度与价值观
体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，认识事物之间的普遍联系与相互转化，在实践研究中，培养学生的创新精神，团结协作精神，激发学生学习数学的兴趣．
二、重点与难点
重点：将实际问题转化为函数模型，训练学生通过实践探求函数在实际中的应用．
难点：怎样选择适当的数学模型分析解决实际问题．
重难点突破：主要利用信息技术从图、表两方面对知识讲解．首先对具体函数y＝2x，y＝x2，y＝log2x的增长的差异性进行比较．在比较函数y＝2x，y＝x2的增长的差异性时，分别选择了三个不同的步长进行研究，这样就更能反映了这两类函数的增长的特点，在教学时要让学生体会到为什么要选择三种不同的步长加以研究，能让学生在解决具体问题时可以针对不同的情况进行合理的选择．
在比较幂函数与对数函数的增长的差异性时可利用类比的方法．然后将结论推广到一般的指数函数y＝ax(a＞1)、对数函数y＝logax(a＞1)、幂函数y＝xn(n＞0)在区间(0，＋∞)的增长的差异性，即存在一个x0，当x＞x0时，ax＞xn＞logax，充分体现了“指数爆炸”、“直线上升”、“对数增长”的特点．整个过程向学生渗透从具体到一般、数形结合的数学思想方法，培养学生全面分析问题、解决问题的能力．
课前自主导学
课标解读
1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质，并体会其增长快慢．(重点)
2．理解直线上升、对数增长、指数爆炸的含义，及三种函数模型的性质的比较．(易混点)
3．会分析具体的实际问题，能够建模解决实际问题．(难点)
知识
三类函数增长速度的比较
1．当x∈(2,4)时，函数y＝x2与y＝2x哪一个增长得更快一些？
【提示】 y＝x2.
2．当x∈(4，＋∞)时，函数y＝x2与y＝2x哪一个增长得更快一些？
【提示】 y＝2x.
3．是否存在一个x0，使x>x0时恒有2x>x2>log2x成立？
【提示】 存在．
1．三种函数模型的性质
函数
性质
y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
图象的变化
随x增大逐渐变陡
随x增大逐渐变缓
随n值而不同
2.三种函数的增长速度比较
(1)在区间(0，＋∞)上，函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和y＝xn(n>0)都是增函数，但增长速度不同，且不在同一个“档次”上．
(2)在区间(0，＋∞)上随着x的增大，y＝ax(a>1)增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n>0)的增长速度，而y＝logax(a>1)的增长速度则会越来越慢．
(3)存在一个x0，使得当x>x0时，有logax
类型1
函数模型的增长差异
研究函数y＝0.5ex－2，y＝ln(x＋1)，y＝x2－1在[0，＋∞)上的增长情况．
【思路探究】 解答本题的关键是在同一坐标系中画出它们的图象，结合图象说明它们的增长情况．
【自主解答】 分别在同一个坐标系中画出三个函数的图象，如图，从图象上可以看出函数y＝0.5ex－2的图象首先超过了函数y＝ln(x＋1)的图象，然后又超过了y＝x2－1的图象，即存在一个满足0.5ex0－2＝x－1的x0，当x>x0时，ln(x＋1)
1．判断不同函数增长模型的差异有两种方法，一是根据图象判断，二是根据函数的变化量的情况判断．
2．三种函数模型的表达形式及其增长特点
(1)指数函数模型：能用指数型函数f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a>0，b>1)表达的函数模型，其增长特点是随着自变量x的增大，函数值增大的速度越来越快，常称之为“指数爆炸”．
(2)对数函数模型：能用对数型函数f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m≠0，x>0，a>1)表达的函数模型，其增长的特点是开始阶段增长得较快，但随着x的逐渐增大，其函数值变化得越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”．
(3)幂函数模型：能用幂型函数f(x)＝axα＋b(a，b，c，α为常数，a≠0，α≠1)表达的函数模型，其增长情况由a和α的取值确定，常见的有二次函数模型和反比例函数模型．
三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如下表：
x
1
3
5
7
9
11
y1
5
135
625
1 715
3 645
6 655
y2
5
29
245
2 189
19 685
177 149
y3
5
6.10
6.61
6.95
7.2
7.4
则关于x分别呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次为( )
A．y1，y2，y3 B．y2，y1，y3
C．y3，y2，y1 D．y1，y3，y2
【解析】 通过指数型函数、对数型函数、幂函数型函数的增长规律比较可知，对数型函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变化符合此规律；指数型函数的增长是爆炸式增长，y2随x的变化符合此规律；幂函数型函数的增长速度越来越快，y1随x的变化符合此规律，故选C.
【答案】 C
根据函数增长差异确定图象并比较大小
函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1
(2)结合函数图象示意图，判断f(6)，g(6)，f(2012)，g(2012)
的大小．
【思路探究】 根据指数函数、幂函数增长差异进行判断．
【自主解答】 (1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.
(2)∵f(1)>g(1)，f(2)
∴1
从图象上可以看出，当x1
又∵g(2012)>g(6)，∴f(2012)>g(2012)>g(6)>f(6)．
1．解答此类问题的关键是明确“指数爆炸”、“对数增长”等函数增长差异，需注意幂函数的增长是介于两者之间的．
2．体会数形结合思想，明确图形是函数关系的直观反映．
本例中若x1∈[a，a＋1]，x2∈[b，b＋1]，且a，b∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}，指出a、b的值，并说明理由．
【解】 a＝1，b＝9.理由如下：
令φ(x)＝f(x)－g(x)＝2x－x3，则x1，x2为函数φ(x)的零点，由于φ(x)在[1,13]上为连续函数，φ(1)＝1>0，φ(2)＝－4<0，φ(9)＝29－93<0，φ(10)＝210－103>0，所以函数φ(x)＝f(x)－g(x)的两个零点x1∈[1,2]，x2∈[9,10]，因此a＝1，b＝9.
类型3
根据函数增长差异选择函数模型
某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且资金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但资金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？
【思路探究】 →
【自主解答】
借助工具作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(如图所示)．观察图象可知，在区间[5,60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求．
不同的函数增长模型描述增长速度的差异：
(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律；
(2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律；
(3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；
(4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律．因此，需抓住题中蕴含的数学信息，恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题．
某债券市场发行三种债券，A种面值为100元，一年到期本息和为103元；B种面值为50元，半年到期本息和为51.4元；C种面值为100元，但买入价为97元，一年到期本息和为100元．作为购买者，分析这三种债券的收益，从小到大排列为( )
A．B，A，C B．A，C，B
C．A，B，C D．C，A，B
【解析】 A种债券的收益是每100元收益3元；B种债券的利率为，所以100元一年到期的本息和为100×2≈105.68(元)，收益为5.68元；C种债券的利率为，100元一年到期的本息和为100≈103.09(元)，收益为3.09元．
【答案】 B
思想方法技巧
数形结合思想在函数中的应用
(12分)电信局为了配合客户的不同需要，现设计A，B两种优惠方案，这两种方案的应付电话费y(元)与通话时间x(分钟)之间的关系如图3－2－2所示(实线部分)．(注：图中MN∥CD)
图3－2－2
(1)若通话时间为2小时，则按方案A，B各付话费多少元？
(2)方案B从500分钟以后，每分钟收费多少元？
(3)通话时间在什么范围内，方案B才会比方案A优惠？
【思路点拨】 两种方案都是由线性函数组成的分段函数，结合图形可求出函数的解析式，然后再根据题意解题．
【规范解答】 由图可知M(60,98)，N(500,230)，C(500，168)，MN∥CD.1分
设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别为fA(x)，fB(x)，
则fA(x)＝fB(x)＝3分
(1)易知，通话2小时，两种方案的话费分别为116元，168元.4分
(2)因为fB(n＋1)－fB(n)＝(n＋1)＋18－n－18＝0.3(n>500)，6分
所以方案B从500分钟以后，每分钟收费0.3元.7分
(3)由图可知，当0≤x≤60时，有fA(x)
当60
即当通话时间在时，方案B才会比方案A优惠.12分
思维启迪
1．对于给出图象的应用性问题，首先我们可以根据函数图象用待定系数法求出解析式，然后再用函数解析式来解决问题，最后再转化成具体问题，作出解答．
2．对于借助函数图象表达题目信息的问题，读懂图象是解题的关键．
课堂小结
1．直线上升、指数爆炸、对数增长
对于直线y＝kx＋b(k≥0)、指数函数y＝ax(a>1)、对数函数y＝logbx(b>1)，当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快，并且直线上升，其增长量固定不变．
2．函数模型选取的择优意识
解题过程中究竟选用哪种增长的函数模型，要根据题目的具体要求进行抽象和概括，灵活地选取和建立数学模型．
3．要注意化归思想和数形结合思想的运用．
当堂测试
1．下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是( )
A．y＝1 B．y＝x
C．y＝3x D．y＝log3x
【解析】 结合函数y＝1，y＝x，y＝3x及y＝log3x的图象可知，随着x的增大，增长速度最快的是y＝3x.
【答案】 C
2．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润与时间的关系，可选用( )
A．一次函数 B．二次函数
C．指数型函数 D．对数型函数
【解析】 结合“直线上升，对数增长，指数爆炸”可知，只有D选项对数型函数符合题设条件，故选D.
【答案】 D
3．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：
x
0
5
10
15
20
25
30
y1
5
130
505
1 130
2 005
3 130
4 505
y2
5
94.478
1 785.2
33 733
6.37×105
1.2×107
2.28×108
y3
5
30
55
80
105
130
155
y4
5
2.310 7
1.429 5
1.140 7
1.046 1
1.015 1
1.005
关于x呈指数型函数变化的变量是________．
【解析】 指数型函数呈“爆炸式”增长．
从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从5开始变化，变量y4的值越来越小，但是减小的速度很慢，故变量y4关于x不呈指数型函数变化；而变量y1，y2，y3的值都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化．故填y2.
【答案】 y2
4．函数f(x)＝lgx，g(x)＝0.3x－1的图象如图3－2－3所示．
图3－2－3
(1)试根据函数增长差异找出曲线C1，C2对应的函数；
(2)比较函数增长差异〔以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较〕．
【解】 (1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lgx.
(2)当x
课后知能检测
一、选择题
1．四人赛跑，假设其跑过的路程和时间的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是( )
A．f1(x)＝x2 B．f2(x)＝4x
C．f3(x)＝log2x D．f4(x)＝2x
【解析】 显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f4(x)＝2x，故选D.
【答案】 D
2．某公司市场营销部的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如图3－2－4所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售时的收入是( )
图3－2－4
A．310元 B．300元
C．290 D．280元
【解析】 由射线线经过点(1,800)，(2,1 300)得其解析式为y＝500x＋300(x≥0)，
∴当x＝0时，y＝300.
【答案】 B
3．一天，亮亮发烧了，早晨他烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，中午时亮亮的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜亮亮才感觉身上不那么发烫．下列各图中能基本上反映出亮亮这一天(0时～24时)体温的变化情况的是( )
【解析】 观察图象A，体温逐渐降低，不合题意；图象B不能反映“下午体温又开始上升”；图象D不能体现“下午体温又开始上升”与“直到半夜才感觉身上不那么发烫”．故选C.
【答案】 C
4．若x∈(0,1)，则下列结论正确的是( )
A．2x>x>lgx B．2x>lgx>x
C．x>2x>lgx D．lgx>x>2x
【解析】 如图所示，由图可知当x∈(0,1)时，2x>x>lgx.
【答案】 A
5．(2014·郑州高一检测)某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y(万公顷)关于年数x(年)的函数关系较为近似的是( )
A．y＝0.2x B．y＝x2＋2x
C．y＝ D．y＝0.2＋log16x
【解析】 取x＝1,2,3代入各选项函数解析式中检验即可．
【答案】 C
二、填空题
6．函数y＝2x与函数y＝x2的图象共有________个交点．
【解析】 如图所示，函数y＝2x与函数y＝x2的图象共有3个交点．
【答案】 3
7．若a>1，n>0，那么当x足够大时，ax，xn，logax的大小关系是________．
【解析】 由三种函数的增长特点可知，当x足够大时，总有logax
图3－2－5
①前5min温度增加的速度越来越快；②前5min温度增加的速度越来越慢；③5min以后温度保持匀速增加；④5min以后温度保持不变．
其中正确的说法是________．(填序号)
【解析】 因为温度y关于时间t的图象是先凸后平，即5min前每当t增加一个单位增量Δt，则y相应的增量Δy越来越小，而5min后是y关于t的增量保持为0，则②④正确．
【答案】 ②④
三、解答题
9．(2014·大连高一检测)画出函数f(x)＝与函数g(x)＝x2－2的图象，并比较两者在[0，＋∞)上的大小关系．
【解】 函数f(x)与g(x)的图象如下．
根据图象易得：当0≤x<4时，f(x)>g(x)；
当x＝4时，f(x)＝g(x)；当x>4时，f(x)
图(1) 图(2)
图3－2－6
(1)分别求出通话费y1，y2与通话时间x之间的函数关系式；
(2)请帮助用户计算，在一个月(30天)内使用哪种卡便宜．
【解】 (1)由图象可设y1＝k1x＋29，y2＝k2x，
把点B(30,35)，C(30,15)分别代入y1，y2得k1＝，k2＝.
∴y1＝x＋29(x≥0)，y2＝x(x≥0)．
(2)令y1＝y2，即x＋29＝x，则x＝96.
当x＝96时，y1＝y2，两种卡收费一致；
当x<96时，y1>y2，即便民卡便宜；
当x>96时，y1
方案一：工厂的污水先净化处理后再排出，每处理1立方米污水所用原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30 000元；
方案二：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费．问：
(1)工厂每月生产3 000件产品时，你作为厂长，在不污染环境，又节约资金的前提下应选择哪种方案？通过计算加以说明；
(2)若工厂每月生产6 000件产品，你作为厂长，又该如何决策呢？
【解】 设工厂生产x件产品时，依方案一的利润为y1，依方案二的利润为y2，由题意知y1＝(50－25)x－2×0.5x－30 000＝24x－30 000，
y2＝(50－25)x－14×0.5x＝18x.
(1)当x＝3 000时，y1＝42 000，y2＝54 000，
∵y1
∵y1>y2，∴应选择方案一处理污水.
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