高中数学5.4两角和与差的余弦、正弦和正切教学设计

教学目标

1．知识与技能：了解两角和与差的正弦、余弦、正切公式之间的内在联系，并通过强化题。目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力。

2．过程与方法：通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题解决问题的能力。

3.情感、态度与价值观：通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观察分析能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质

教学重点

两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导

教学难点

灵活运用所学公式进行求值、化简、证明。

教学方法

引导发现式教学法

教学资源

教材、教辅与网络资源

教学过程

教师活动（教学内容呈现，适当标出活动）

设计意图及用时

一、导入新课（复习导入）

二、讲授新课（合做探究）

1．引导同学一起回顾两角差的余弦公式

2．然后教师引导学生观察cos(α-β)与cos(α+β)、sin(α-β)的内在联系，进行由旧知推出新知的转化过程，从而引出C(α+β)、S(α-β)、S(α+β)。。本节课我们共同研究公式的推导及其应用。

1．两角和余弦公式的推导

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

在公式C(α-β)中，角β是任意角，请学生思考角α-β中β换成角-β是否可以？鼓励学生大胆猜想，引导学生比较cos(α-β)与cos(α+β)中角的内在联系，学生有的会发现α-β中的角β可以变为角-β，所以α-(-β)=α+β〔也有的会根据加减运算关系直接把和角α+β化成差角α-(-β)的形式〕。这时教师适时引导学生转移到公式C(α-β)上来，这样就很自然地得到

cos(α+β)=cos［α-(-β)］

=cosαcos(-β)+sinαsin(-β)

=cosαcosβ-sinαsinβ。

所以有如下公式：

温故知新 3分

引导学生探究、发现新知

18---22

三、课内练习

四、课堂小结

五、课后作业

六、版书设计

我们称以上等式为两角和的余弦公式，记作C(α+β)。

2．思考：在公式C(α-β)、C(α+β)的基础上能否推导sin(α+β)=？sin(α-β)=？

tan(α-β)=？   

tan（α+β）=？

教师引导学生观察思考，怎样才能得到两角和与差的正弦公式呢？我们利用什么公式来实现正、余弦的互化呢？学生可能有的想到利用诱导公式（5）⑹来化余弦为正弦

3．尝试探究两角和差的正弦公式的推导

让学生动手完成两角和与差正弦和正切公式。

sin(α+β)=cos［-(α+β)］=cos［(-α)-β］

=cos(-α)cosβ+sin(-α)sinβ

=sinαcosβ+cosαsinβ。

在上述公式中，β用-β代之，则

sin(α-β)=sin［α+(-β)］=sinαcos(-β)+cosαsin(-β)

=sinαcosβ-cosαsinβ。

因此我们得到两角和与差的正弦公式，分别简记为S(α+β)、S(α-β)。

教师引导学生思考，在我们推出了公式C(α-β)、C(α+β)、S(α+β)、S(α-β)后，自然想到两角和与差的正切公式，怎么样来推导出tan(α-β)=？，tan(α+β)=？呢？学生很容易想到利用同角三角函数关系式，化弦为切得到。在学生探究推导时很可能想不到讨论，这时教师不要直接提醒，让学生自己推导出来。

cos(α+β)≠0时，

tan(α+β)=

如果cosαcosβ≠0，即cosα≠0且cosβ≠0时，分子、分母同除以cosαcosβ得

tan(α+β)=，据角α、β的任意性，在上面的式子中，β用-β代之，则有

tan(α-β)=

由此推得两角和、差的正切公式，简记为T(α-β)、T(α+β)。

可让学生自己画出这六个框图。通过逻辑联系图，深刻理解它们之间的内在联系，借以理解并灵活运用这些公式。同时教师应提醒学生注意：不仅要掌握这些公式的正用，还要注意它们的逆用及变形用。如两角和与差的正切公式的变形式

应用示例

例1．

已知sinα=，α是第四象限角，求sin(-α)，cos(+α)，tan(-α)的值

活动：教师引导学生分析题目中角的关系，在面对问题时要注意认真分析条件，明确要求。再思考应该联系什么公式，使用公式时要有什么准备，准备工作怎么进行等。例如本题中，要先求出cosα，tanα的值，才能利用公式得解，本题是直接应用公式解题，目的是为了让学生初步熟悉公式的应用，教师可以完全让学生自己独立完成。

解：由sinα=，α是第四象限角，得

cosα=。

∴tanα==。

于是有

sin(-α)=sincosα-cossinα

=

cos(+α)=coscosα-sinsinα

=

tan(α-)===。

点评：本例是运用和差角公式的基础题，安排这个例题的目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯。

例题2．利用和（差）角公式计算下列各式的值：

（1）

（2）；

（3）

课堂练习：

（A） （B）

（C） （D）

（A） （B）

 （D）

（A） （B）

（C） （D）

小结：本节我们学习了两角和与差正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用。

作业：

1.已知求的值。（）

2.，求的值。

示范点拨，加深理解

7----10

巩固训练，体会应用过程

7----12

知识与方法总结、梳理

2

作业布置1