2022版高考人教版数学一轮练习：练案【32理】【31文】 高考大题规范解答系列（二）——三角函数

这是一份2022版高考人教版数学一轮练习：练案【32理】【31文】 高考大题规范解答系列（二）——三角函数，共8页。试卷主要包含了设函数f＝sin x，x∈R.等内容，欢迎下载使用。
A组基础巩固
1．(2020·浙江，18,14分)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知2bsin A－eq \r(3)a＝0.
(1)求角B的大小；
(2)求cs A＋cs B＋cs C的取值范围．
[解析] 本题主要考查三角函数及其变换、正弦定理等基础知识，同时考查数学运算等素养．
(1)由正弦定理得2sin Bsin A＝eq \r(3)sin A，
故sin B＝eq \f(\r(3),2)，由题意得B＝eq \f(π,3).
(2)由A＋B＋C＝π得C＝eq \f(2π,3)－A，
由△ABC是锐角三角形得A∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,2))).
由cs C＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－A))＝－eq \f(1,2)cs A＋eq \f(\r(3),2)sin A得cs A＋cs B＋cs C＝eq \f(\r(3),2)sin A＋eq \f(1,2)cs A＋eq \f(1,2)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＋\f(π,6)))＋eq \f(1,2)∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(3)＋1,2)，\f(3,2))).故cs A＋cs B＋cs C的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(3)＋1,2)，\f(3,2))).
2．(2020·新高考Ⅰ，17,10分)在①ac＝eq \r(3)，②csin A＝3，③c＝eq \r(3)b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A＝eq \r(3)sin B，C＝eq \f(π,6)，________？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
[解析] 方案一：选条件①.
由C＝eq \f(π,6)和余弦定理得eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(\r(3),2).
由sin A＝eq \r(3)sin B及正弦定理得a＝eq \r(3)b.
于是eq \f(3b2＋b2－c2,2\r(3)b2)＝eq \f(\r(3),2)，由此可得b＝c.
由①ac＝eq \r(3)，解得a＝eq \r(3)，b＝c＝1.
因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c＝1.
方案二：选条件②.
由C＝eq \f(π,6)和余弦定理得eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(\r(3),2).
由sin A＝eq \r(3)sin B及正弦定理得a＝eq \r(3)b.
于是eq \f(3b2＋b2－c2,2\r(3)b2)＝eq \f(\r(3),2)，由此可得b＝c，B＝C＝eq \f(π,6)，A＝eq \f(2π,3).
由②csin A＝3，所以c＝b＝2eq \r(3)，a＝6.
因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c＝2eq \r(3).
方案三：选条件③.
由C＝eq \f(π,6)和余弦定理得eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(\r(3),2).
由sin A＝eq \r(3)sin B及正弦定理得a＝eq \r(3)b.
于是eq \f(3b2＋b2－c2,2\r(3)b2)＝eq \f(\r(3),2)，由此可得b＝c.
由③c＝eq \r(3)b，与b＝c矛盾．
因此，选条件③时问题中的三角形不存在．
3．(2019·浙江)设函数f(x)＝sin x，x∈R.
(1)已知θ∈[0,2π]，函数f(x＋θ)是偶函数，求θ的值；
(2)求函数y＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,12)))))2＋eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))))2的值域．
[解析] (1)因为f(x＋θ)＝sin(x＋θ)是偶函数，所以，对任意实数x都有sin(x＋θ)＝sin(－x＋θ)．
即sin xcs θ＋cs xsin θ＝－sin xcs θ＋cs xsin θ，
故2sin xcs θ＝0，所以cs θ＝0.
又θ∈[0,2π)，因此θ＝eq \f(π,2)或eq \f(3π,2).
(2)y＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,12)))))2＋eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))))2
＝sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,12)))＋sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))
＝eq \f(1－cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6))),2)＋eq \f(1－cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2))),2)
＝1－eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)cs 2x－\f(3,2)sin 2x))
＝1－eq \f(\r(3),2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3))).
因此函数的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\f(\r(3),2)，1＋\f(\r(3),2))).
4．(2019·天津)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＋c＝2a,3csin B＝4asin C．
(1)求cs B的值；
(2)求sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2B＋\f(π,6)))的值．
[解析] (1)在△ABC中，由正弦定理eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，得bsin C＝csin B，又由3csin B＝4asin C，得3bsin C＝4asin C，即3b＝4a.又因为b＋c＝2a，得到b＝eq \f(4,3)a，c＝eq \f(2,3)a.由余弦定理可得cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(a2＋\f(4,9)a2－\f(16,9)a2,2·a·\f(2,3)a)＝－eq \f(1,4).
(2)由(1)可得sin B＝eq \r(1－cs2B)＝eq \f(\r(15),4)，从而sin 2B＝2sin Bcs B＝－eq \f(\r(15),8)，cs 2B＝cs2B－sin2B＝－eq \f(7,8)，故sin(2B＋eq \f(π,6))＝sin 2Bcs eq \f(π,6)＋cs 2Bsin eq \f(π,6)＝－eq \f(\r(15),8)×eq \f(\r(3),2)－eq \f(7,8)×eq \f(1,2)＝－eq \f(3\r(5)＋7,16).
5．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，向量m＝(2sin B,2－cs 2B)，n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋\f(B,2)))，－1))，m⊥n.
(1)求角B的大小；
(2)若a＝eq \r(3)，b＝1，求c的值．
[解析] (1)∵m⊥n，∴m·n＝0，
∴2sin B·2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋\f(B,2)))＋(2－cs 2B)·(－1)＝0.
∴2sin B·eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋B))))＋cs 2B－2＝0.
∴2sin B＋2sin2B＋(1－2sin2B)－2＝0.
∴sin B＝eq \f(1,2).
∵0