2022版高考人教版数学一轮练习：练案【31理】【30文】 数系的扩充与复数的引入

这是一份2022版高考人教版数学一轮练习：练案【31理】【30文】 数系的扩充与复数的引入，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
A组基础巩固
一、选择题
1．(2021·葫芦岛模拟)设i是虚数单位，若复数z＝1＋2i，则复数z的模为( D )
A．1 B．2eq \r(2)
C．eq \r(3) D．eq \r(5)
[解析] 依题意，|z|＝eq \r(12＋22)＝eq \r(5)，故选D.
2．(2020·3月份北京市高考适应性测试)在复平面内，复数i(3－2i)对应的点的坐标为( B )
A．(3,2) B．(2,3)
C．(－2,3) D．(2，－3)
[解析] i(3－2i)＝3i＋2＝2＋3i，故选B.
3．(2019·全国卷Ⅱ)设z＝i(2＋i)，则eq \(z,\s\up6(－))＝( D )
A．1＋2i B．－1＋2i
C．1－2i D．－1－2i
[解析] 依题意得z＝i2＋2i＝－1＋2i，eq \(z,\s\up6(－))＝－1－2i，故选D.
4．(2021·沈阳市教学质量监测)若i是虚数单位，则复数eq \f(2＋3i,1＋i)的实部与虚部之积为( B )
A．－eq \f(5,4) B．eq \f(5,4)
C．eq \f(5,4)i D．－eq \f(5,4)i
[解析] 因为eq \f(2＋3i,1＋i)＝eq \f(2＋3i1－i,1＋i1－i)＝eq \f(5,2)＋eq \f(1,2)i，所以实部为eq \f(5,2)，虚部为eq \f(1,2)，实部与虚部之积为eq \f(5,4).故选B.
5．(2021·贵州37校联考)复数z＝eq \f(1＋i,1－i)的共轭复数是( D )
A．1＋i B．1－i
C．i D．－i
[解析] 因为z＝eq \f(1＋i,1－i)＝i，故z的共轭复数eq \(z,\s\up6(－))＝－i，故选D.
6．如果复数z＝eq \f(2,－1＋i)，则下面正确的是( D )
A．z的共轭复数为－1－i
B．z的虚部为－1
C．|z|＝2
D．z的实部为－1
[解析] 因为z＝eq \f(2,－1＋i)＝eq \f(2－1－i,－1＋i－1－i)＝eq \f(－2－2i,2)＝－1－i，所以z的实部为－1，共轭复数为－1＋i，故选D.
7．(2021·湖南株洲质检)已知复数z满足(1－i)z＝|2i|，i为虚数单位，则z等于( B )
A．1－i B．1＋i
C.eq \f(1,2)－eq \f(1,2)i D．eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)i
[解析] 由(1－i)z＝|2i|，可得z＝eq \f(2,1－i)＝eq \f(21＋i,2)＝1＋i，故选B.
8．(2021·五省优创名校联考)若复数z1，z2满足z1＝eq \f(1,\r(2)－i)－eq \f(1,\r(2)＋i)，z1(z2－2)＝1，则|z2|＝( A )
A.eq \f(5,2) B．3
C．eq \f(7,2) D．4
[解析] 因为z1＝eq \f(1,\r(2)－i)－eq \f(1,\r(2)＋i)＝eq \f(2i,3)，z2＝eq \f(1,z1)＋2＝eq \f(4－3i,2)，所以|z2|＝eq \f(5,2).
9．已知复数z满足i2k＋1·z＝2＋i，(k∈Z)则复数z在复平面内对应的点可能位于( D )
A．第一象限 B．第二象限
C．第一或三象限 D．第二或四象限
[解析] ∵i2k＋1·z＝2＋i，∴z＝eq \f(2＋i,i2k＋1)，
当k为奇数时，i2k＋1＝－i，
∴z＝－1＋2i，位于第二象限；
当k为偶数时，i2k＋1＝i，
∴z＝1－2i，位于第四象限，
故选D.
10．(2021·江西临川一中模拟)设复数z1＝i，z2＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z＝z1·z2在复平面内对应的点到原点的距离是( B )
A．1 B．eq \r(2)
C．2 D．eq \f(\r(2),2)
[解析] 因为z＝i(1＋i)＝－1＋i，所以z在复平面内对应的点为(－1,1)，该点到原点的距离是|z|＝eq \r(2)，故选B.
二、填空题
11．(2021·福建漳州高考适应性测试)已知复数z＝eq \f(1,i)，则z的共轭复数eq \(z,\s\up6(－))在复平面内对应的点的坐标为__(0,1)__．
[解析] 复数z＝eq \f(1,i)＝eq \f(i,i2)＝－i，故eq \(z,\s\up6(－))＝i，得eq \(z,\s\up6(－))在复平面内对应的点的坐标为(0,1)．
12．(2020·天津和平区线上检测)设复数z满足(1＋i)z＝3－i，则|z|＝ eq \r(5) .
[解析] 由题意得，z＝eq \f(3－i,1＋i)＝eq \f(3－i1－i,2)＝eq \f(2－4i,2)＝1－2i，所以|z|＝eq \r(12＋－22)＝eq \r(5).
13．(2021·江苏南京十三中调研)已知复数z＝eq \f(2＋i,1－i)，则复数z的虚部为 eq \f(3,2) .
[解析] 由题意得，复数z＝eq \f(2＋i,1－i)＝eq \f(2＋i1＋i,1－i1＋i)＝eq \f(1,2)＋eq \f(3,2)i，所以复数z的虚部为eq \f(3,2).
14．(2021·浙江温州联考)已知复数z＝eq \f(1＋ai,i)(a∈R)的实部为eq \r(3)，则a＝ eq \r(3) ，|z|＝__2__.
[解析] ∵z＝eq \f(1＋ai,i)＝eq \f(1＋ai－i,－i2)＝a－i的实部为eq \r(3)，∴a＝eq \r(3)，则|z|＝eq \r(\r(3)2＋－12)＝2.
B组能力提升
1．(2021·河南商丘九校联考)若复数z＝eq \f(1＋i,a－i)(a∈R，i为虚数单位)为纯虚数，则|z|的值为( A )
A．1 B．eq \r(2)
C．eq \r(3) D．2
[解析] 由题意可设z＝eq \f(1＋i,a－i)＝bi(b∈R且b≠0)，则b＋abi＝1＋i，解得b＝1，即z＝i，则|z|＝1，故选A.
2．(2021·河北张家口期末)已知i为虚数单位，复数z满足(1－2i)z＝3－4i，则复数z在复平面内对应的点位于( C )
A．第二象限 B．第三象限
C．直线2x－11y＝0上 D．直线2x＋11y＝0上
[解析] 本题考查复数代数形式的四则运算及复数的几何意义．
由(1－2i)z＝3－4i，得z＝eq \f(3－4i,1－2i)＝eq \f(3－4i1＋2i,1－2i1＋2i)＝eq \f(11,5)＋eq \f(2,5)i.
故复数z在复平面内对应点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,5)，\f(2,5)))，位于直线2x－11y＝0上，故选C.
3．(2021·福建福州五校联考)若复数eq \f(1－bi,2＋i)(b∈R，i为虚数单位)的实部与虚部相等，则b的值为( B )
A．－6 B．－3
C．3 D．6
[解析] 解法一：由题意可设eq \f(1－bi,2＋i)＝a＋ai(a∈R)，即1－bi＝(2＋i)(a＋ai)，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＝a，,－b＝3a))∴b＝－3.
解法二：eq \f(1－bi,2＋i)＝eq \f(1－bi2－i,2＋i2－i)＝eq \f(2－b－1＋2bi,5)，
∴2－b＝－(1＋2b)，解得b＝－3.
4．(2021·山西大同模拟)若复数z满足|z－eq \r(3)－i|＝1(i为虚数单位)，则|z|的最大值为( C )
A．1 B．2
C．3 D．eq \r(3)＋1
[解析] 本题考查复数的四则运算及复数的模．设z＝x＋yi(x，y∈R)，
由|z－eq \r(3)－i|＝1可得复数(x－eq \r(3))2＋(y－1)2 ＝1，
即复数z在复平面内对应的点的轨迹是以(eq \r(3)，1)为圆心，以1为半径的圆，则|z|的最大值为eq \r(12＋\r(3)2)＋1＝3，故选C.
5．(2021·西藏拉萨十校联考)已知复数z满足：|z|＝|3－2z|，且z的实部为2，则|z－1|＝( B )
A．3 B．eq \r(2)
C．3eq \r(2) D．2eq \r(3)
[解析] 设z＝2＋bi(b∈R)，根据题意得到4＋b2＝1＋4b2⇒b＝±1，∴z＝2±i.则|z－1|＝eq \r(2)，故选B.