2022高三数学（理科）（全国版）一轮复习课件：第15章 推理与证明

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考点1 合情推理与演绎推理
考点2 直接证明与间接证明
考点3 数学归纳法
考法5 数学归纳法的应用
考点1 合情推理与演绎推理考点2 直接证明与间接证明考点3 数学归纳法
考点1 合情推理与演绎推理
1.合情推理合情推理包括归纳推理和类比推理,二者区别如下:
2.演绎推理演绎推理是从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论的推理,它是由一般到特殊的推理.演绎推理的一般模式是“三段论”,其结构和表示如下:
注意 (1)从推理所得的结论来看,合情推理的结论不一定正确,有待进一步证明;演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下,得到的结论一定正确.(2)合情推理是发现结论的推理;演绎推理是证明结论的推理.
考点2 直接证明与间接证明
2.间接证明——反证法(1)定义一般地,假设原命题不成立(即在原命题的条件下,结论不成立),经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫作反证法.(2)适用范围①否定性命题;②命题的结论中出现“至少”“至多”“唯一”等词语;③命题成立非常明显,直接证明可用的理论太少,且不容易证明,而其逆否
命题非常容易证明;④正面证明要讨论的情况很复杂,而反面证明情况很简单.注意 常用的正面词语的否定详见本书P006常用的正面词语和它的否定词语.
考点3 数学归纳法
1.由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法叫归纳法.根据推理的对象涉及事物的全体还是部分可分为完全归纳法和不完全归纳法.2.一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立;(2)(归纳递推)假设当n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立.只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.上述证明方法叫作数学归纳法.
注意 (1)两个步骤缺一不可.(2)初始值n0不一定是1.(3)证明当n=k+1时命题成立一定会用到归纳假设,即假设n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,解题时要特别注意从n=k到n=k+1增加了哪些项或减少了哪些项.
考法1 合情推理考法2 演绎推理考法3 直接证明考法4 间接证明考法5 数学归纳法的应用
考法1 合情推理
命题角度1　归纳推理的应用示例1 [2020哈尔滨九中三模]古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是指在等距的排列下可以形成正三角形的点(或圆球)的数量,如1,3,6,10,15,…….我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中记载了“落一形”堆垛,即每层的球的个数为“三角形数”的堆垛(顶层1个球,下一层3个球,再下一层6个球,……).若一“落一形”堆垛有10层,则组成该堆垛的球的总个数为　　　　　　　　　　　　　　　　　A.55B.220C.285D.385
方法技巧1.归纳推理的常见类型及求解策略(1)数的归纳.主要包括数字归纳和式子归纳,解决此类问题时,需要细心观察,寻求相邻项及项与序号之间的关系,同时还要联系相关的知识,如等差数列、等比数列等.(2)形的归纳.主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳,解决的关键是抓住相邻图形之间的关系.
2.归纳推理的一般步骤
思维拓展　三角形数的性质:(1)第n个三角形数是从1开始的n个自然数的和;(2)两个相邻的三角形数之和是平方数.
命题角度2　类比推理的应用示例2 [2020陕西咸阳5月三模]如图15-3所示,同一个平面内有两个边长都是a的正方形,其中一个的顶点是另一个的中心,则这两个正方形重叠部分的面积恒为　　　　.类比到空间,有两个棱长均为a的正方体,其中一个的顶点是另一个的中心,则这两个正方体重叠部分的体积恒为　　　　. 思维导引 由正方形(二维)类比推理到正方体(三维),面积是边长的平方,体积是边长的立方,据此求解即可.
方法技巧1.类比推理常见类型及求解关键(1)类比定义——从定义出发求解.(2)类比性质——从特殊式子、特殊图形的性质入手,深入思考二者的转化过程.(3)类比方法——处理问题的方法具有类比性,注意知识的迁移.类比推理常见的情形有平面与空间类比、低维的与高维的类比、等差数列与等比数列类比、数的运算与向量的运算类比、圆锥曲线间的类比等.
2.类比推理的一般步骤
示例3 [2019全国卷Ⅱ,5,5分]在“一带一路”知识测验后,甲、乙、丙三人对成绩进行预测.甲:我的成绩比乙高.乙:丙的成绩比我和甲的都高.丙:我的成绩比乙高.成绩公布后,三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人按成绩由高到低的次序为A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙
考法2 演绎推理
解析 解法一　若甲预测正确,则乙、丙预测错误,则甲比乙成绩高,丙比乙成绩低,故3人成绩由高到低依次为甲,乙,丙;若乙预测正确,则丙预测也正确,不符合题意;若丙预测正确,则甲必预测错误,可得丙比乙的成绩高,乙比甲成绩高,即丙比甲、乙成绩都高,即乙预测正确,不符合题意.解法二　看选项,判断有几个人预测正确.对于选项A,三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙,则甲对乙错丙错,符合题意;对于选项B,三人按成绩由高到低的次序为乙、甲、丙,则甲错乙错丙错,不符合题意;对于选项C,三人按成绩由高到低的次序为丙、乙、甲,则甲错乙对丙对,不符合题意;对于选项D,三人按成绩由高到低的次序为甲、丙、乙,则甲对乙错丙对,不符合题意.答案 A
点评 本题将数学知识与“一带一路”结合,让考生感觉到数学来源于生活.主要考查推理判断能力,考查了逻辑推理等核心素养.题目虽有一定难度,但由于这是一道选择题,若能用解法二去判断,便可轻松破解.方法技巧　 演绎推理的推证规则(1)演绎推理是从一般到特殊的推理,其一般形式是三段论.应用三段论解决问题时,应当首先明确什么是大前提和小前提,如果大前提是显然的,则可以省略,如果大前提不明确,可找一个使结论成立的充分条件作为大前提.(2)演绎推理常用来证明和推理数学问题,注意推理过程的严密性,书写格式的规范性.
考法3 直接证明
点评 综合法是不等式证明的常用方法之一,即充分利用已知条件,经过推理论证推导出正确结论,属于由因导果法.其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法,只有保证前提正确,推理合乎规律,才能保证结论的正确.
方法技巧1.综合法证题的思路与方法
2.分析法证题的思路 逆向思考是用分析法证题的主要思想,通过反推,逐步寻找使结论成立的充分条件,正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键.3.在解决实际问题时,常把分析法和综合法结合起来运用,通常用分析法探索证明途径,然后用综合法加以证明.对于较复杂的问题,可以采用两头凑的办法,即通过分析法找出某个与结论等价的中间结论,然后通过综合法由条件证明这个中间结论,从而使原命题得证.
考法4 间接证明
方法技巧 用反证法证题的步骤
注意 1.应用反证法时,当原命题的结论的反面有多种情况时,要对结论的反面的每一种情况都进行讨论,从而达到否定结论的目的.2.反证法必须从否定结论进行推理,即应把结论的反面作为条件,且必须根据这一条件进行推证.仅否定结论,却不从结论的反面出发进行推理,不是反证法.
考法5 数学归纳法的应用
方法技巧1.用数学归纳法证明等式(1)弄清等式两边的构成规律,等式两边各有多少项以及初始值n0.(2)由n=k证明n=k+1时,除等式两边变化的项外,还要充分利用n=k时的式子,明确变形目标.(3)掌握恒等变形常用的方法:①因式分解;②添拆项;③配方.