2022高三数学（理科）（全国版）一轮复习课件：第10章第2讲 双曲线

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考点1 双曲线的定义和标准方程
考点2 双曲线的几何性质
考法1 双曲线的定义及其应用
考法2 求双曲线的标准方程
考法3 双曲线的几何性质
考法4 直线与双曲线的位置关系
考点1 双曲线的定义和标准方程考点2 双曲线的几何性质
考点1 双曲线的定义和标准方程
1.定义在平面内到两定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫作双曲线.定点F1,F2叫作双曲线的焦点,两焦点间的距离叫作焦距.规律总结 设点M到F1,F2两点的距离之差的绝对值为2a.(1)若点M的轨迹是双曲线,则0<2a<|F1F2|,这一条件不能忽略.①若2a=|F1F2|,则点M的轨迹是分别以F1,F2为端点的两条射线;②若2a>|F1F2|,则点M的轨迹不存在;③若2a=0,则点M的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.
名师提醒 焦点位置的判断在双曲线的标准方程中,看x2项与y2项的系数的正负,若x2项的系数为正,则焦点在x轴上;若y2项的系数为正,则焦点在y轴上,即“焦点位置看正负,焦点随着正的跑”.
考点2 双曲线的几何性质
考法1 双曲线的定义及应用考法2 求双曲线的标准方程考法3 双曲线的几何性质考法4 直线与双曲线的位置关系
考法1 双曲线的定义及应用
方法技巧 双曲线定义的应用策略1.根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线,进而根据要求求出轨迹方程.2.将双曲线上点P与两焦点的距离的差的绝对值||PF1|-|PF2||=2a(其中0<2a<|F2F2|)与正弦定理、余弦定理结合,解决焦点三角形问题.3.利用双曲线的定义解决与双曲线的焦点有关的问题,如最值问题、距离问题.
注意 利用双曲线的定义解决问题时应注意三点:①距离之差的绝对值,若将定义中的绝对值去掉,则点的轨迹是双曲线的一支;②0<2a<|F1F2|;③焦点所在坐标轴的位置.思维拓展 双曲线中的特殊量(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.(2)若P是双曲线右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,则|PF1|min=a+c,|PF2|min=c-a.
考法2 求双曲线的标准方程
方法技巧 求双曲线标准方程的两种方法1.定义法根据双曲线的定义确定a2,b2的值,再结合焦点的位置求出双曲线方程,常用的关系有:(1)c2=a2+b2;(2)双曲线上任意一点到双曲线两焦点的距离的差的绝对值等于2a.
注意 (1)当焦点位置不确定时,有两种方法来解决:一种是分类讨论,注意考虑要全面;另一种是如果已知中心在原点,但不能确定焦点的具体位置,可以设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn<0).(2)利用待定系数法求双曲线标准方程的关键是:设出双曲线方程的标准形式,根据已知条件,列出关于参数a,b,c的方程(组)并求出a,b,c的值.
考法3 双曲线的几何性质
方法技巧 1.求解与双曲线性质有关的范围(或最值)问题的方法(1)几何法:如果题中给出的条件有明显的几何特征,那么可以考虑用图形的性质来求解,特别是用双曲线的定义和平面几何的有关结论来求解.(2)代数法:若题中给出的条件和结论的几何特征不明显,则可以建立目标函数,将双曲线的范围(或最值)问题转化为二次函数或三角函数等函数的范围(或最值)问题,然后利用配方法、判别式法、基本不等式法、函数的单调性及三角函数的有界性等求解.(3)不等式法:借助题目给出的不等信息列出不等关系式求解.
2.解决与双曲线性质有关的范围(或最值)问题时的注意点(1)双曲线上本身就存在最值问题,如异支双曲线上两点间的最短距离为2a(实轴长);(2)由直线和双曲线的位置关系,求直线或双曲线中某个参数的范围,常把所求参数作为函数中的因变量来求解;(3)所构建的函数关系式中变量的取值范围往往受到双曲线中变量范围的影响.
3.解决与双曲线的几何性质有关的问题的通法与流程求解与双曲线的几何性质有关的问题,其通用的方法是利用方程思想解题,其思维流程是:
考法4 直线与双曲线的位置关系
方法技巧 1.解决直线与双曲线的位置关系问题的策略(1)解题“3步骤”