高中北师大版1.2余弦定理学案及答案

1.2　余弦定理

1．余弦定理

阅读教材P49～P50例4以上部分，完成下列问题．

思考：(1)余弦定理和勾股定理有什么关系？

[提示]　余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．

(2)观察余弦定理的符号表示及推论，你认为余弦定理可用来解哪类三角形？

[提示]　①已知两边及其夹角，解三角形；

②已知三边，解三角形．

2．余弦定理的推导

如图，设＝a，＝b，＝c那么c＝a－b．

|c|2＝c·c＝(a－b)·(a－b)

＝a·a＋b·b－2a·b

＝a2＋b2－2ab cos C

所以c2＝a2＋b2－2abcos_C．

同理可证：

a2＝b2＋c2－2bccos A，

b2＝c2＋a2－2accos B，

1．在△ABC中，符合余弦定理的是(　　)

A．c2＝a2＋b2－2abcos C　 B．c2＝a2－b2－2bccos A

C．b2＝a2－c2－2bccos A D．cos C＝

A　[由余弦定理知选A．]

2．在△ABC中，若已知a＝2，b＝3，c＝，则cos A＝_____________.

　[cos A＝＝＝.]

3．在△ABC中，已知A＝60°，b＝2，c＝1，则a＝________.

　[a2＝b2＋c2－2bccos A＝4＋1－2×2×1×＝3，所以a＝.]

【例1】　(1)已知△ABC中，cos A＝，a＝4，b＝3，则c＝________.

(2)在△ABC中，已知a＝3，c＝2，B＝150°，则边b的长为________．

(1)5　(2)7　[(1)A为b，c的夹角，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，

得16＝9＋c2－6×c，

整理得5c2－18c－35＝0.

解得c＝5或c＝－(舍去)．

(2)在△ABC中，由余弦定理得：

b2＝a2＋c2－2accos B＝(3)2＋22－2×3×2×＝49.

所以b＝7.]

(1)已知两边及其中一边的对角解三角形的方法

①先由正弦定理求出另一条边所对的角，用三角形的内角和定理求出第三个角，再用正弦定理求出第三边，要注意判断解的情况；

②用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长．

(2)已知两边及其夹角解三角形的方法

方法一：首先用余弦定理求出第三边，再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角．

方法二：首先用余弦定理求出第三边，再用正弦定理和三角形内角和定理求出其他两角．

[提醒]　解三角形时，若已知两边和一边的对角时，既可以用正弦定理，也可以用余弦定理．一般地，若只求角，则用正弦定理方便，若只求边，用余弦定理方便.

1．(1)在△ABC中，边a，b的长是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则c＝________.

(2)在△ABC中，已知A＝120°，a＝7，b＋c＝8，求b，c．

(1)　[由题意，得a＋b＝5，ab＝2.

所以c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝52－3×2＝19，

所以c＝.]

(2)[解]　由余弦定理，

得a2＝b2＋c2－2bccos A

＝(b＋c)2－2bc(1＋cos A)，

所以49＝64－2bc，

即bc＝15，

由

解得或

【例2】　(1)在△ABC中，若a∶b∶c＝1∶∶2，求A，B，C．

(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝C,2b＝a，求cos A．

[解]　(1)由于a∶b∶c＝1∶∶2，

可设a＝x，b＝x，c＝2x.

由余弦定理的推论，得cos A＝＝

＝，

故A＝30°.

同理可求得cos B＝，cos C＝0，所以B＝60°，C＝90°.

(2)由B＝C,2b＝a，可得c＝b＝a．

所以cos A＝＝＝.

已知三角形的三边解三角形的方法

(1)先利用余弦定理求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理或由求得的第一个角，利用正弦定理求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角．

(2)利用余弦定理求三个角的余弦，进而求三个角．

2．(1)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a＋c)(a－c)＝b(b＋c)，则A＝(　　)

A．90°　　 B．60°

C．120° D．150°

(2)在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，试求AC边上的中线长．

(1)C　[由(a＋c)(a－c)＝b(b＋c)可得a2－c2＝b2＋bc，即a2＝c2＋b2＋bc．

根据余弦定理得cos A＝＝＝－，

因为A为△ABC的内角，所以A＝120°.故选C．]

(2)[解]　由余弦定理的推论得：

cos A＝＝＝，

设中线长为x，由余弦定理知：

x2＝2＋AB2－2··ABcos A＝42＋92－2×4×9×＝49，

则x＝7.

所以，所求中线长为7.

[探究问题]

1．在△ABC中，sin A＝sin B，能够判定△ABC为等腰三角形吗？

[提示]　能．由正弦定理和sin A＝sin B知a＝b，故△ABC是等腰三角形．

2．在△ABC中，sin 2A＝sin 2B，能够判定△ABC为等腰三角形吗？

[提示]　不能．由sin 2A＝sin 2B得2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝，故△ABC是等腰三角形或直角三角形．

3．在△ABC中，acos A＝bcos B，要判定三角形的形状，是把acos A＝bcos B中的边化为角，还是把角化为边？

[提示]　都可以，化角为边：由余弦定理得

a×＝b×，化简得

(a＋b)(a－b)(c2－a2－b2)＝0，故a＝b或c2＝a2＋b2，所以△ABC是等腰三角形或直角三角形．

化边为角：由正弦定理得sin Acos A＝sin Bcos B，即sin 2A＝sin 2B，故2A＝2B或2A＋2B＝π，则A＝B或A＋B＝，所以△ABC是等腰三角形或直角三角形．

4．判断三角形形状的基本思路是什么？

[提示]　思路一：从角的关系判定．

思路二：从边的关系判定．

思路三：从边与角的关系判定．

【例3】　在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cos Asin B＝sin C，确定△ABC的形状．

[解]　法一：由正弦定理得＝，由2cos Asin B＝sin C，有cos A＝＝.

又由余弦定理得cos A＝，

所以＝，

即c2＝b2＋c2－a2，所以a2＝b2，所以a＝b．

又因为(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，所以(a＋b)2－c2＝3ab，所以4b2－c2＝3b2，

即b2＝c2.所以b＝c，所以a＝b＝c．所以△ABC为等边三角形．

法二：因为A＋B＋C＝180°，所以sin C＝sin(A＋B)，又因为2cos Asin B＝sin C，

所以2cos Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B，

所以sin(A－B)＝0.

又因为A与B均为△ABC的内角，所以A＝B．

又由(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab得(a＋b)2－c2＝3ab，

所以a2＋b2－c2＋2ab＝3ab，即a2＋b2－c2＝ab．

由余弦定理，得cos C＝＝＝，

又0°＜C＜180°，所以C＝60°.所以△ABC为等边三角形．

1．(变条件)把例3的条件换为：b＝2ccos A，c＝2bcos A，判断△ABC的形状．

[解]　法一：由条件b＝2ccos A，c＝2bcos A得cos A＝＝，即b＝c，把b＝c代入b＝2ccos A得cos A＝，所以A＝60°，所以△ABC是等边三角形．

法二：由正弦定理知sin B＝2sin Ccos A，sin C＝

2sin Bcos A，

即sin(A＋C)＝2sin Ccos A＝sin Acos C＋cos Asin C，

即sin Ccos A＝sin Acos C，所以sin(A－C)＝0，A＝C，

同理可得A＝B，所以三角形△ABC为等边三角形．

2．(变条件)把例3的条件换为：cos2＝，试判断△ABC的形状．

[解]　法一：∵cos2＝且cos2＝，∴＝，即cos A＝.

由正弦定理，得cos A＝，∴cos Asin C＝sin(A＋C)，整理得sin Acos C＝0.

∵sin A≠0，∴cos C＝0，∴C＝.故△ABC为直角三角形．

　法二：同法一得cos A＝.由余弦定理得＝，整理得a2＋b2＝c2，

故△ABC为直角三角形．

判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要有以下两条途径：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．

1．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题：

(1)已知两边和夹角或已知三边能直接利用余弦定理解三角形．

(2)若已知两边和一边的对角，既可以用正弦定理又可以用余弦定理解三角形，但用正弦定理时要注意不要漏解或多解．

2．判断三角形形状的基本思想是：用正弦定理或余弦定理将所给条件统一为角之间的关系或边之间的关系．若统一为角之间的关系，再利用三角恒等变形化简找到角之间的关系；若统一为边之间的关系，再利用代数方法进行恒等变形、化简，找到边之间的关系．

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若已知两边和一边所对的角，不能用余弦定理解三角形．(　　)

(2)在△ABC中，若b2＋c2＞a2，则△ABC是锐角三角形．(　　)

(3)在△ABC中，若已知a∶b∶c＝1∶∶2，可以解三角形．(　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)×

[提示]　(1)错误，如已知a，b和A，可利用公式a2＝b2＋c2－2bccos A求c，进而可求角B和C．

(2)错误，由b2＋c2＞a2和cos A＝可得cos A＞0，则A是锐角，但角B或C可能是钝角，△ABC未必是锐角三角形．

(3)错误，已知△ABC三边的比值，可求其三角，但不能求出三角形的三边，即不能解三角形．

2．若△ABC的三边满足a∶b∶c＝2∶∶，则△ABC的形状为(　　)

A．锐角三角形　　 B．钝角三角形

C．直角三角形 D．等腰三角形

A　[设a＝2k，b＝k，c＝k，则cos A＝＝＝＞0，故A是锐角，且A＞B＞C，所以△ABC是锐角三角形．]

3．在△ABC中，b2＋a2＝c2＋ab，则角C＝________.

　[由b2＋a2＝c2＋ab得＝，

即cos C＝，又C∈(0，π)，故C＝.]

4．已知△ABC的边长满足等式＝1时，求A．

[解]　由＝1，得b2＋c2－a2＝bc，

所以cos A＝＝＝，又0＜A＜π，

所以A＝.