新教材2022版高考人教A版数学一轮复习学案：8.5　第1课时　椭圆及几何性质

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8.5　椭圆
第1课时　椭圆及几何性质
必备知识预案自诊　
知识梳理
1.椭圆的定义
平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
已知集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数.
(1)若a　　　c,则点M的轨迹为椭圆; 
(2)若a　　　c,则点M的轨迹为线段; 
(3)若a　　　c,则点M不存在. 
2.椭圆的标准方程及性质

标准方程
x2a2+y2b2=1(a>b>0)
y2a2+x2b2=1(a>b>0)
图　形


性
质
范围
-a≤x≤a,-b≤y≤b
-b≤x≤b,-a≤y≤a
对称性
对称轴:坐标轴,对称中心:点(0,0)
顶点
A1(-a,0),A2(a,0)
B1(0,-b),B2(0,b)
A1(0,-a),A2(0,a)
B1(-b,0),B2(b,0)
焦点
F1(-c,0),F2(c,0)
F1(0,-c),F2(0,c)
轴
长轴A1A2的长为2a;短轴B1B2的长为2b
离心率
e=ca,且e∈(0,1)
a,b,c
的关系
c2=a2-b2



焦点三角形:椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形.r1=|PF1|,r2=|PF2|,∠F1PF2=θ,△PF1F2的面积为S,则在椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)中,
(1)当r1=r2,即点P为短轴端点时,θ最大;
(2)S=b2tanθ2=c|y0|,当|y0|=b,即点P为短轴端点时,S取最大值,最大值为bc.

考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆.(　　)
(2)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆.(　　)
(3)关于x,y的方程mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)表示的曲线是椭圆.(　　)
(4)椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)与椭圆y2a2+x2b2=1(a>b>0)的焦距相同.(　　)
(5)椭圆上一点P与两个焦点F1,F2构成的△PF1F2的周长为2a+2c(其中a为椭圆的长半轴长,c为椭圆的半焦距).(　　)
2.已知椭圆x24+y23=1的两个焦点F1,F2,M是椭圆上一点,且|MF1|-|MF2|=1,则△MF1F2是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.钝角三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.等边三角形
3.如图所示,某瓷器菜盘的外轮廓线是椭圆,根据图中数据可知该椭圆的离心率为(　　)

A.25 B.35 C.235 D.255

4.如图,圆O的半径是定长r,A是圆O内一个定点(不与圆心O重合),P是圆上任意一点,线段AP的垂直平分线l与半径OP相交于点Q,当点P在圆上运动时,点Q的轨迹是(　　)
A.椭圆 B.双曲线
C.抛物线 D.圆
5.“00且m≠n)的形式,避免讨论.
3.椭圆的标准方程的两个应用:(1)椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)与椭圆x2a2+y2b2=λ(a>b>0,λ>0)有相同的离心率.
(2)与椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)共焦点的椭圆系方程为x2a2+k+y2b2+k=1(a>b>0,b2+k>0).恰当运用椭圆系方程,可使运算简便.
4.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤.(1)作判断:根据条件判断椭圆的焦点在x轴上,还是在y轴上,还是两个坐标轴都有可能;(2)设方程:根据上述判断设椭圆标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)或y2a2+x2b2=1(a>b>0);(3)找关系:根据已知条件,建立关于a,b的方程组;(4)得方程:解方程组求出a,b,即可得到椭圆的标准方程.
对点训练2(1)如图,已知椭圆C的中心为原点O,F(-5,0)为椭圆C的左焦点,P为椭圆C上一点,满足|OP|=|OF|且|PF|=6,则椭圆C的方程为(　　)

A.x236+y216=1 B.x240+y215=1
C.x249+y224=1 D.x245+y220=1
(2)(2020湖南郴州二模)已知椭圆E的中心为原点,焦点在x轴上,椭圆上一点到焦点的最小距离为22-2,离心率为22,则椭圆E的方程为　　　　. 

考点
椭圆的几何性质及应用(多考向探究)

考向1　椭圆的长轴、短轴、焦距
【例3】(2020河南洛阳一模)已知椭圆x211-m+y2m-3=1的长轴在y轴上,且焦距为4,则m等于(　　)
A.5 B.6 C.9 D.10
解题心得利用椭圆几何性质的注意点及技巧
(1)注意椭圆几何性质中的不等关系
在求与椭圆有关的一些范围问题时,经常用到x,y的范围、离心率的范围等不等关系.
(2)利用椭圆几何性质的技巧
求解与椭圆几何性质有关的问题时,要理清顶点、焦点、长轴、短轴、焦距等基本量的内在联系.
对点训练3(1)(2020陕西汉中高三模拟)已知椭圆x2m+y24=1(m>0)的焦距为2,则m的值等于(　　)
A.5 B.5或3
C.3 D.8
(2)已知椭圆的中心在坐标原点,长轴长是8,离心率是34,则此椭圆的标准方程是(　　)
A.x216+y27=1
B.x216+y27=1或x27+y216=1
C.x216+y225=1
D.x216+y225=1或x225+y216=1
考向2　求椭圆的离心率
【例4】(多选)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点A关于原点的对称点为B,F为其右焦点,若AF⊥BF,设∠ABF=α,且α∈π6,π4,则该椭圆的离心率e的值可以是(　　)
A.22 B.33 C.63 D.3-1
解题心得1.求椭圆离心率或其范围的方法
(1)求a,b,c的值,由e2=c2a2=a2-b2a2=1-ba2直接求.
(2)列出含有a,b,c的方程(组)或不等式(组),借助b2=a2-c2消去b,转化为关于e的方程(组)或不等式(组)求解.
2.当离心率e=ca越接近1时,椭圆的短半轴长b=a2-c2越小,椭圆就越“扁”,当e越接近0时,b=a2-c2越大也越接近a,椭圆就越“圆”.
对点训练4已知F1,F2为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,A为椭圆C的左顶点,点P在过点A且斜率为36的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,则椭圆C的离心率为(　　)
A.23 B.12 C.13 D.14
考向3　根据椭圆的性质求参数
【例5】(1)(2021年1月8省适应测试)椭圆x2m2+1+y2m2=1(m>0)的焦点为F1,F2,上顶点为A,若∠F1AF2=π3,则m=(　　)
A.1 B.2 C.3 D.2
(2)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,且|F1F2|=2c,若椭圆上存在点M使得在△MF1F2中,sin∠MF1F2a=sin∠MF2F1c,则该椭圆离心率的取值范围为(　　)
A.(0,2-1) B.22,1
C.0,22 D.(2-1,1)
对点训练5已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>c>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若以F2为圆心,b-c为半径作圆F2,过椭圆上一点P作此圆的切线,切点为T,且|PT|的最小值不小于32(a-c),则椭圆的离心率e的取值范围是　　　　. 






8.5　椭圆
第1课时　椭圆及几何性质
必备知识·预案自诊
知识梳理
1.(1)>　(2)=　(3)
0,解得m|MF1|.
因为M为椭圆上一点,所以a-cc2,
所以2e2