人教版九年级上册22.1.1 二次函数达标测试

人教版 九年级数学 22.1 二次函数的图象和性质 培优训练

一、选择题

1. 对于二次函数y＝－(x－1)2＋2的图象与性质，下列说法正确的是(　　)

A. 对称轴是直线x＝1，最小值是2

B. 对称轴是直线x＝1，最大值是2

C. 对称轴是直线x＝－1，最小值是2

D. 对称轴是直线x＝－1，最大值是2

2. 将二次函数y＝2x2－8x－1化成y＝a(x－h)2＋k的形式，正确的是(　　)

①y＝2x2－8x－1＝2(x2－4x＋22)－2×22－1＝2(x－2)2－9；

②y＝2x2－8x－1＝2x2－8x＋42－42－1＝2(x－4)2－17；

③y＝2(x2－4x－)＝2(x2－4x＋22－22－)＝2[(x－2)2－]＝2(x－2)2－9；

④y＝2x2－8x－1＝x2－4x－＝x2－4x＋4－4－＝(x－2)2－.

A．①②    B．③④    C．①③    D．②④

3. 抛物线y＝x2－2x＋m2＋2(m是常数)的顶点在 (　　)

A．第一象限       B．第二象限

C．第三象限       D．第四象限

4. 在同一坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx与一次函数y＝bx－a的图象可能是(　　)

5. （2020·陕西）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2－(m－1)x＋m－3沿y轴向下平移3个单位，则平移后得到的抛物线顶点一定在（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

6. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，顶点为D(－1，2)，与x轴的一个交点A在点(－3，0)和(－2，0)之间，有以下结论：①b2－4ac＜0；②a＋b＋c＜0；③c－a＝0；④一元二次方程ax2＋bx＋c－2＝0有两个相等的实数根．其中正确的结论有(　　)

A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

7. 如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x＝2，且OA＝OC，则下列结论：①abc>0；②9a＋3b＋c<0；③c>－1；④关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一个根为－.其中正确的结论个数有(　　)

A. 1个  B. 2个  C. 3个  D. 4个

8. 关于二次函数的三个结论：①对任意实数m，都有与对应的函数值相等；②若3≤x≤4，对应的y的整数值有4个，则或；③若抛物线与x轴交于不同两点A,B，且AB≤6，则或.其中正确的结论是（　　）

A.①②        B.①③       C.②③     D.①②③

二、填空题

9. 已知函数y＝－x2－2x，当________时，函数值y随x的增大而增大．

10. 【2018·淮安】将二次函数y＝x2－1的图象向上平移3个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式是__________．

11. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a>0)的对称轴是过点(1，0)且平行于y轴的直线，若点P(4，0)在该抛物线上，则4a－2b＋c的值为________．

12. 若抛物线y＝x2＋bx＋25的顶点在x轴上，则b的值为________．

13. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴相交于点A，B(m＋2，0)，与y轴相交于点C，点D在该抛物线上，坐标为(m，c)，则点A的坐标是________．

14. 抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－3，0)，对称轴是直线x＝－1，则a＋b＋c＝________．

15. (2019•襄阳)如图，若被击打的小球飞行高度(单位：m)与飞行时间(单位：s)之间具有的关系为，则小球从飞出到落地所用的时间为__________s．

16. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)经过A(－1，1)，B(2，4)两点，顶点坐标为(m，n)，有下列结论：

①b＜1；②c＜2；③0＜m＜；④n≤1.

则所有正确结论的序号是________．

三、解答题

17. 如图，等腰直角三角形ABC的直角边与正方形MNPQ的边长均为10 cm，边CA与边MN在同一直线上，开始时点A与点M重合，△ABC沿MN方向以1 cm/s的速度匀速运动，当点A与点N重合时，停止运动．设运动的时间为t s，运动过程中△ABC与正方形MNPQ重叠部分的面积为S cm2.

(1)试写出S关于t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；

(2)当MA＝2 cm时，重叠部分的面积是多少？

18. 杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体(看成一点)的路线是抛物线y＝－x2＋3x＋1的一部分，如图．

(1)求演员弹跳离地面的最大高度；

(2)已知人梯高BC＝3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由．

19. 已知：如图所示，抛物线y＝－x2＋ bx＋c与x轴的两个交点分别为A(1，0)，B(3，0)．

(1)求抛物线的解析式．

(2)设点P在该抛物线上滑动，则满足条件S△PAB＝1的点P有几个？求出所有点P的坐标．

(3)设抛物线交y轴于点C，该抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△MAC的周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

20. (2019·山东枣庄)已知抛物线的对称轴是直线，与轴相交于，两点(点在点右侧)，与轴交于点．

(1)求抛物线的解析式和，两点的坐标；

(2)如图1，若点是抛物线上、两点之间的一个动点(不与、重合)，是否存在点，使四边形的面积最大？若存在，求点的坐标及四边形面积的最大值；若不存在，请说明理由；

(3)如图2，若点是抛物线上任意一点，过点作轴的平行线，交直线于点，当时，求点的坐标．

人教版 九年级数学 22.1 二次函数的图象和性质 培优训练-答案

一、选择题

1. 【答案】B　【解析】由二次函数y＝－(x－1)2＋2可知，对称轴为直线x＝1排除C，D，函数开口向下，有最大值，最大值为当x＝1时y＝2，故排除A选B.

2. 【答案】C

3. 【答案】A　[解析] 二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标为(－，)．∵－＝－＝1＞0，＝＝m2＋1＞0，故此抛物线的顶点在第一象限．故选A.

4. 【答案】C　

5. 【答案】【答案】D【解析】平移后的抛物线的表达式为y＝x2－(m－1)x＋m－3，通过配方求出该抛物线的顶点坐标为，由于m＞1，所以＞0，＜0，所以平移后的抛物线的顶点一点在第四象限．

6. 【答案】B

7. 【答案】C　【解析】由图象开口向下，可知a＜0，与y轴的交点在x轴的下方，可知c＜0，又对称轴方程为x＝2，所以－＝2＞0，所以b＞0，∴abc＞0，故①正确；由图象可知当x＝3时，y＞0，∴9a＋3b＋c＞0，故②错误；由图象可知OA＜1，∵OA＝OC，∴OC＜1，即－c＜1，∴c＞－1，故③正确；假设方程的一个根为x＝－，把x＝－代入方程可得－＋c＝0，整理可得ac－b＋1＝0，两边同时乘c可得ac2－bc＋c＝0，即方程有一个根为x＝－c，由②可知－c＝OA，而x＝OA是方程的根，∴x＝－c是方程的根，即假设成立，故④正确；综上可知正确的结论有三个．

8. 【答案】D

【解析】∵二次函数y＝ax2﹣4ax﹣5的对称轴为直线x＝，∴x1＝2+m与x2＝2﹣m关于直线x＝2对称，∴对任意实数m，都有x1＝2+m与x2＝2﹣m对应的函数值相等，所以①正确；因为二次函数在3≤x≤4上y随x的增大而增大，或增大而减小，而且x=3时y=-3a-5，x=4时y=-5,所以y要有4个整式值，则-9＜-3a-5≤-8,或-2≤-3a-5＜-1，所以或，故②正确；因为AB≤6，则=，则或.所以③正确.故选D.

二、填空题

9. 【答案】x≤－1 　【解析】∵函数y＝－x2－2x，其图象的对称轴为x＝－＝－1，且a＝－1<0，∴在对称轴的左边y随x的增大而增大，∴x≤－1.

10. 【答案】y＝x2＋2　[解析] 二次函数y＝x2－1的图象向上平移3个单位长度，平移后的纵坐标增加3，即y＝x2－1＋3＝x2＋2.

11. 【答案】0　【解析】设抛物线与x轴的另一个交点是Q，∵抛物线的对称轴是过点(1，0)的直线，与x轴的一个交点是P(4，0)，∴与x轴的另一个交点Q(－2，0)，把(－2，0)代入解析式得：0＝4a－2b＋c，∴4a－2b＋c＝0.

12. 【答案】±10

13. 【答案】(－2，0) 　【解析】如解图，过D作DM⊥x轴于点M，∴M(m，0)，又B(m＋2，0)，∴MB＝2，由C(0，c)，D(m，c)知：OC＝DM，即点C、D关于对称轴对称，故点O、M也关于对称轴对称，∴OA＝MB＝2，∴A(－2，0)．

14. 【答案】0　[解析] ∵抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－3，0)，对称轴是直线x＝－1，

∴抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的另一交点的坐标为(1，0)，

∴a＋b＋c＝0.

15. 【答案】4

【解析】依题意，令得：

∴，

得：，

解得：(舍去)或，

∴即小球从飞出到落地所用的时间为，

故答案为：4．

16. 【答案】①②④　[解析] ∵抛物线过点A(－1，1)，B(2，4)，

∴

∴b＝－a＋1，c＝－2a＋2.

∵a＞0，∴b＜1，c＜2，

∴结论①②正确；

∵抛物线的顶点坐标为(m，n)，

∴m＝－＝－＝－，∴m＜，

∴结论③不正确；

∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)经过A(－1，1)，顶点坐标为(m，n)，

∴n≤1，∴结论④正确．

综上所述，正确的结论是①②④.

故答案为①②④.

三、解答题

17. 【答案】

解：(1)设AB与MQ交于点R.

∵△ABC是等腰直角三角形，四边形MNPQ是正方形，

∴△AMR是等腰直角三角形．

由题意知，AM＝MR＝t，

∴S＝S△AMR＝t·t＝t2(0≤t≤10)．

(2)当MA＝2 cm，即t＝2时，重叠部分的面积是×2×2＝2(cm2)．

18. 【答案】

解：(1)y＝－x2＋3x＋1＝－(x－)2＋.

∵－＜0，∴函数的最大值是.

答：演员弹跳的最大高度是米．

(2)当x＝4时，y＝－×42＋3×4＋1＝3.4＝BC，所以这次表演成功．

19. 【答案】

解：(1)将(1，0)，(3，0)分别代入y＝－x2＋bx＋c，得解得

∴该抛物线的解析式为y＝－x2＋4x－3.

(2)设点P的坐标为(x，y)．

∵AB＝2，S△PAB＝AB·|y|＝1，∴y＝±1.

当y＝1时，有1＝－x2＋4x－3，

即x2－4x＋4＝(x－2)2＝0，

解得x1＝x2＝2；

当y＝－1时，有－1＝－x2＋4x－3，

即x2－4x＋2＝0，解得x1＝2－，x2＝2＋.

∴满足条件的点P有3个，坐标分别为(2，1)，

(2＋，－1)，(2－，－1)．

(3)存在．

作点C关于抛物线的对称轴的对称点C′，连接AC′交抛物线的对称轴于点M，连接MC，任取抛物线对称轴上除点M外的任意一点N，连接NA，NC，NC′，如图所示．

∵NA＋NC＝NA＋NC′＞AC′＝MA＋MC′＝MA＋MC，

∴当点A，M，C′共线时，△MAC的周长最小．

∵抛物线的解析式为y＝－x2＋4x－3，

∴点C的坐标为(0，－3)，抛物线的对称轴为直线x＝－＝2，

∴C′(4，－3)．

设直线AC′的解析式为y＝mx＋n.

∵点A(1，0)，C′(4，－3)在直线AC′上，

∴解得

∴直线AC′的解析式为y＝－x＋1.

当x＝2时，y＝－x＋1＝－1，

∴直线AC′与抛物线对称轴的交点的坐标为(2，－1)，即M(2，－1)．

∴存在点M(2，－1)，使得△MAC的周长最小．

20. 【答案】

(1)抛物线的对称轴是直线，，解得，

抛物线的解析式为：．

当时，，解得，，

点的坐标为，点的坐标为．

答：抛物线的解析式为：；点的坐标为，点的坐标为．

(2)当时，，点的坐标为．

设直线的解析式为，将，代入得

，解得，

直线的解析式为．

假设存在点，使四边形的面积最大，

设点的坐标为，如图所示，过点作轴，交直线于点，则点的坐标为，

则，

当时，四边形的面积最大，最大值是32

，

存在点，使得四边形的面积最大．

答：存在点，使四边形的面积最大；点的坐标为，四边形面积的最大值为32．

(3)设点的坐标为，则点的坐标为，

，

又，

，

当时，，解得，，

点的坐标为或；

当或时，，解得，，

点的坐标为或．

答：点的坐标为、、或．

【名师点睛】本题属于二次函数压轴题，综合考查了待定系数法求解析式，解析法求面积及

点的坐标的存在性，最大值等问题，难度较大．