高考数学大一轮复习第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第3讲二次函数与幂函数1试题文含解析

第二章　函数概念与基本初等函数Ⅰ

第三讲　二次函数与幂函数

练好题·考点自测 

1.下列说法正确的个数是 (　　)

①二次函数y=ax2+bx+c,x∈[a,b]的最值一定是.

②二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)不可能是偶函数.

③二次函数y=x2+mx+1在[1,+∞)上单调递增的充要条件是m≥-2.

④幂函数的图象不可能出现在第四象限.

⑤当n>0时,幂函数y=xn在(0,+∞)上是增函数.

⑥若幂函数y=xn是奇函数,则y=xn是增函数.

A.2 B.3 C.4 D.5

2.[2017浙江,5,4分]若函数f(x)=x2+ax+b在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M-m (　　)

A.与a有关,且与b有关 B.与a有关,但与b无关

C.与a无关,且与b无关 D.与a无关,但与b有关

图 2-3-1

3.若四个幂函数y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在同一平面直角坐标系中的图象如图2-3-1所示,则a,b,c,d的大小关系是(　　)

A.d>c>b>a　B.a>b>c>d

C.d>c>a>b　D.a>b>d>c

4.[2020江苏,7,5分]已知y=f(x)是奇函数,当x≥0时,f(x)=,则f(-8)的值是　　　　. 

5.[2018上海,7,5分]已知α∈{-2,-1,,,1,2,3},若幂函数f(x)=xα为奇函数,且在(0,+∞)上递减,则α=　　　　. 

拓展变式

1.已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3),且在x轴上截得的线段长为2,若对任意x∈R,都有f(2-x)=f(2+x),则f(x)=　　　　. 

2.(1)将示例2中的条件“在0≤x≤1时有最大值2”改为“在0≤x≤1时有最小值2”,则实数a的取值范围为　　　　. 

(2)将示例2中的条件“在0≤x≤1时有最大值2”改为“f(x)≤2在[0,1]上恒成立”,则实数a的取值范围为　　　　. 

(3)将示例2中的条件“在0≤x≤1时有最大值2”改为“f(x)≥2在[a,a+1]上恒成立”,则实数a的取值范围为　　　　. 

3.已知函数f(x)=x2-2ax+5(a>1).

(1)若函数f(x)的定义域和值域均为[1,a],则实数a的值为　　　　; 

(2)若f(x)在区间(-∞,2]上单调递减,且对任意的x1,x2∈[1,a+1],总有|f(x1)-f(x2)|≤4,则实数a的取值范围为　　　　. 

4.(1)[2020全国卷Ⅱ,10,5分][文]设函数f(x)=x3,则f(x) (　　)

A.是奇函数,且在(0,+∞)单调递增

B.是奇函数,且在(0,+∞)单调递减

C.是偶函数,且在(0,+∞)单调递增

D.是偶函数,且在(0,+∞)单调递减

(2)若(2m+1>(m2+m-1,则实数m的取值范围是　　　　. 

5.(1)若二次函数f(x)=x2-2x+m在区间(1,4)内存在零点,则实数m的取值范围是　　　　. 

(2)若方程x2+(k-2)x+2k-1=0的两根中,一个根在0和1之间,另一个根在1和2之间,则实数k的取值范围是　　　　. 

答  案

第二章　函数概念与基本初等函数Ⅰ

第三讲　二次函数与幂函数

1.B　因为x的取值有范围限制,所以函数最值不一定是,故①错误;当b=0时,二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)为偶函数,故②错误;由≤1得,m≥-2,故③正确;由幂函数的图象与性质可知④⑤正确;当n=-1时,幂函数y=xn是奇函数,但不是增函数,故⑥错误.正确说法的个数为3,故选B.

2.B　由题意得f(x)=(x+)2+b,分情况讨论:①当0≤≤1时,f(x)min=m=f()=+b,f(x)max=M=max{f(0),f(1)}=max{b,1+a+b},∴M-m=max{,1+a+}与a有关,与b无关;②当<0时,f(x)在[0,1]上单调递增,∴M-m=f(1)-f(0)=1+a与a有关,与b无关;③当>1时,f(x)在[0,1]上单调递减,∴M-m=f(0)-f(1)=-1-a与a有关,与b无关.综上所述,M-m与a有关,但与b无关,故选B.

3.B　由幂函数的图象可知,在(0,1)上,幂函数的指数越大,函数图象越接近x轴,由题图知a>b>c>d,故选B.

4.-4　由题意可得f(-8)=-f(8)==-(23=-22=-4.

5.-1　∵α∈{-2,-1,,,1,2,3},幂函数f(x)=xα为奇函数,且在(0,+∞)上递减,∴α是奇数,且α<0,∴α=-1.

1.x2-4x+3　因为f(2-x)=f(2+x)对任意x∈R恒成立,所以f(x)图象的对称轴为直线x=2.又因为f(x)的图象被x轴截得的线段长为2,所以f(x)=0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)=a(x-1)(x-3)(a≠0),因为f(x)的图象过点(4,3),所以3a=3,即a=1,所以f(x)=(x-1)(x-3)=x2-4x+3.

2.(1)∅　易知函数f(x)=-x2+2ax+1-a(0≤x≤1)的最小值在端点处取得,故或即或无解,故a的取值范围为∅.

(2)[-1,2]　由题意知f(x)max≤2,由示例2可知,①解得-1≤a<0;②解得0≤a≤1;③解得1<a≤2.

综上,a的取值范围是[-1,2].

(3)(-∞,-1]∪[2,+∞)　由示例2可知f(x)在[a,a+1]上的最小值为f(a+1),由题意知f(x)min≥2,∴f(a+1)≥2.即-(a+1)2+2a(a+1)+1-a≥2,解得a≥2或a≤-1.

3.(1)2　因为f(x)=x2-2ax+5在(-∞,a]上单调递减,所以f(x)=x2-2ax+5(a>1)在[1,a]上单调递减,所以f(x)max=f(1)=6-2a=a,f(x)min=f(a)=-a2+5=1,解得a=2.即实数a的值为2.

(2)2≤a≤3　因为f(x)在(-∞,2]上单调递减,函数f(x)的对称轴为直线x=a,所以a≥2.所以f(x)在[1,a]上单调递减,在[a,a+1]上单调递增,所以f(x)min=f(a)=5-a2,f(x)max=max{f(1),f(a+1)},又f(1)-f(a+1)=6-2a-(6-a2)=a(a-2)≥0,所以f(x)max=f(1)=6-2a.因为对任意的x1,x2∈[1,a+1],总有|f(x1)-f(x2)|≤4,所以f(x)max-f(x)min≤4,即6-2a-(5-a2)≤4,解得-1≤a≤3,又a≥2,所以2≤a≤3.即实数a的取值范围为2≤a≤3.

4.(1)A　函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),因为f(-x)=(-x)3=-x3+=-(x3)=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,排除C,D.因为函数y=x3,y=在(0,+∞)上为增函数,所以f(x)=x3在(0,+∞)上为增函数,排除B,选A.

(2)≤m<2　因为函数y=的定义域为[0,+∞),且在定义域内为增函数,所以不等式等价于解2m+1≥0,得m≥;解m2+m-1≥0,得m≤或m≥;解2m+1>m2+m-1,即m2-m-2<0,得-1<m<2.

综上,实数m的取值范围是≤m<2.

5.(1)(-8,1)　二次函数f(x)的图象的对称轴方程为x=1.若在区间(1,4)内存在零点,只需f(1)<0且f(4)>0即可,即-1+m<0且8+m>0,解得-8<m<1.

(2)(,)　设函数f(x)=x2+(k-2)x+2k-1,结合图D 2-3-1,可知即

解得即<k<,所以实数k的取值范围是(,).

图D 2-3-1