高中数学人教B版 (2019)必修 第四册9.1.2 余弦定理练习题

99.1.2　余弦定理

1.在△ABC中，符合余弦定理的是(　　)

A．c2＝a2＋b2－2abcosC

B．c2＝a2－b2－2bccosA

C．b2＝a2－c2－2bccosA

D．cosC＝

2．一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是－，则三角形的第三条边长为(　　)

A．52B．2

C．16D．4

3.已知在△ABC中，a＝1，b＝2，cosC＝，则c＝________；sinA＝________.

4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝5，b＝3，cosC是方程5x2＋7x－6＝0的根，求c.

5.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，b＝，c＝，则B＝________.

6．在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角的大小为________．

一、选择题

1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＝b2－c2＋ac，则角B的大小是(　　)

A．45°B．60°

C．90°D．135°

2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足b2＝ac，且c＝2a，则cosB＝(　　)

A.B.

C.D.

3．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝10，b＝15，C＝60°，则cosB＝(　　)

A.B.

C．－D．－

4．若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为(　　)

A.B．8－4

C．1D.

5．若△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，CA＝6，则·的值为(　　)

A．19B．14

C．－18D．－19

6．(易错题)若△ABC的三条边a，b，c满足(a＋b)(b＋c)(c＋a)＝7910，则△ABC(　　)

A．一定是锐角三角形

B．一定是直角三角形

C．一定是钝角三角形

D．可能是锐角三角形也可能是钝角三角形

二、填空题

7．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是________．

8．在△ABC中，若(a＋c)(a－c)＝b(b＋c)，则A＝________.

9．(探究题)在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，则A＝________，AC边上的高为________．

三、解答题

10．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，2cos(A＋B)＝1.

(1)求角C的度数；

(2)求AB的长．

1．(多选)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，c＝2，cosA＝，则b＝(　　)

A．2B．3

C．4D．2

2．在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝3，c＝4，则实数a的取值范围是(　　)

A．(1,7)  B．(1,5)

C．(，5)  D．(，5)

3．(情境命题——生活情境)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从点O沿OD走到点D用了2min，从点D沿DC走到点C用了3min.若此人步行的速度为50m/min，求该扇形的半径．

9．1.2　余弦定理

必备知识基础练

1．答案：A

解析：注意余弦定理形式，特别是正负号问题．

2．答案：B

解析：设第三条边长为x，

则x2＝52＋32－2×5×3×＝52，

∴x＝2.

3．答案：2　

解析：根据余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝12＋22－2×1×2×＝4，解得c＝2.由a＝1，b＝2，c＝2，得cos A＝＝，所以sin A＝＝.

4．解析：5x2＋7x－6＝0可化为：(5x－3)(x＋2)＝0.

解得x1＝，x2＝－2.

又cos C∈(－1,1)，且cos C是方程5x2＋7x－6＝0的根，

∴cos C＝.

据余弦定理得，

c2＝a2＋b2－2abcos C＝52＋32－2×5×3×＝16.

∴c＝4.

5．答案：150°

解析：由余弦定理，得cos B＝＝＝－.

又0°<B<180°，∴B＝150°.

6．答案：

解析：∵a>b>c，∴C为最小角，由余弦定理得

cos C＝＝＝.

又C∈(0，π)，∴C＝.

关键能力综合练

1．答案：A

解析：因为a2＝b2－c2＋ac，所以a2＋c2－b2＝ac，

由余弦定理得cos B＝＝＝，

又0°<B<180°，所以B＝45°.

2．答案：B

解析：由b2＝ac，又c＝2a，由余弦定理，

得cos B＝＝＝.

3．答案：A

解析：由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2ab·cos C

＝102＋152－2×10×15×cos 60°＝175，

∴c＝5.

∴cos B＝＝＝.

4．答案：A

解析：由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C

＝(a＋b)2－2ab－2abcos C，

∴(a＋b)2－c2＝2ab(1＋cos C)

＝2ab(1＋cos 60°)＝3ab＝4，

∴ab＝.

5．答案：D

解析：设三角形的三边分别为a，b，c，

依题意得，a＝5，b＝6，c＝7.

∴·＝||·||·cos(π－B)＝－ac·cos B.

由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cos B，

∴－ac·cos B＝(b2－a2－c2)＝(62－52－72)＝－19，

∴·＝－19.

6．答案：C

解析：∵(a＋b)：(b＋c)：(c＋a)＝7：9：10，不妨设a＋b＝7k，则b＋c＝9k，c＋a＝10k(k是不为0的正常数)，

解得a＝4k，b＝3k，c＝6k.

由余弦定理可得cos C＝＝－<0，

∵0<C<π，故C为钝角，△ABC为钝角三角形．

7．答案：

解析：设中间角为θ，则cos θ＝＝，

又θ∈(0，π)，θ＝，所以最大角与最小角和为π－＝.

8．答案：

解析：由题意得a2－c2＝b2＋bc，即b2＋c2－a2＝－bc，

cos A＝＝＝－，

又A∈(0，π)，∴A＝.

9．答案：　

解析：由余弦定理，可得

cos A＝＝＝，

又0<A<π，∴A＝，所以sin A＝.

则AC边上的高h＝ABsin A＝3×＝.

10．解析：(1)cos C＝cos[180°－(A＋B)]

＝－cos(A＋B)＝－.

又∵0°<C<180°，∴C＝120°.

(2)∵a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，

∴

∴AB2＝a2＋b2－2abcos 120°＝(a＋b)2－ab＝10，

∴AB＝.

学科素养升级练

1．答案：AC

解析：由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A，

∴4＝b2＋12－6b，即b2－6b＋8＝0，

∴b＝2或b＝4.

2．答案：C

解析：∵b＝3，c＝4，且△ABC是锐角三角形，

∴cos A＝>0，

且cos C＝>0，∴7<a2<25，

∴<a<5.

3．解析：

依题意得OD＝100 m，

CD＝150 m，连接OC，易知

∠ODC＝180°－∠AOB＝60°，

因此由余弦定理，得

OC2＝OD2＋CD2－2OD×CD×cos∠ODC，

即OC2＝1002＋1502－2×100×150×，

解得OC＝50(m)．