高中数学北师大版 (2019)必修 第二册6.1 余弦定理与正弦定理第4课时达标测试

这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第二册6.1 余弦定理与正弦定理第4课时达标测试，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为( )
A．α＞β B．α＝β
C．α＋β＝90°D．α＋β＝180°
B [根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图．知α＝β，故选B.
]
2.如图所示，在河岸AC测量河的宽度BC，图中所标的数据a，b，c，α，β是可供测量的数据．下面给出的四组数据中，对测量河宽较适宜的是( )
A．c和α B．c和b
C．c和β D．b和α
D [b在岸上比较好测量，α和β任选其一测量即可．]
3．一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68 n mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为( )
A． eq \f(17\r(6),2) n mile/h B．34 eq \r(6) n mile/h
C． eq \f(17\r(2),2) n mile/h D．34 eq \r(2) n mile/h
A [如图所示，在△PMN中， eq \f(PM,sin 45°)＝ eq \f(MN,sin 120°)，
∴MN＝ eq \f(68×\r(3),\r(2))＝34 eq \r(6)，
∴v＝ eq \f(MN,4)＝ eq \f(17\r(6),2)(n mile/h).故选A.]
4．在地面上点D处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60°和30°，已知建筑物底部高出地面D点20 m，则建筑物高度为( )
A．20 m B．30 m C．40 m D．60 m
C [如图，设O为建筑物顶端在地面的射影，在Rt△BOD中，∠ODB＝30°，OB＝20，BD＝40，OD＝20 eq \r(3).在Rt△AOD中，OA＝OD·tan 60°＝60.
∴AB＝OA－OB＝40.故选C.]
5．一艘船以4 km/h的速度与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h，则经过 eq \r(3) h，该船实际航程为( )
A．2 eq \r(15) km B．6 km
C．2 eq \r(21) km D．8 km
B [如图所示，在△ACD中，AC＝2 eq \r(3)，CD＝4 eq \r(3)，∠ACD＝60°，∴AD2＝12＋48－2×2 eq \r(3)×4 eq \r(3)× eq \f(1,2)＝36.
∴AD＝6.即该船实际航程为6 km.故选B.]
二、填空题
6．某人从A处出发，沿北偏东60°行走3 eq \r(3) km到B处，再沿正东方向行走2 km到C处，则A，C两地的距离为________km.
7 [如图所示，由题意可知AB＝3 eq \r(3)，BC＝2，∠ABC＝150°.由余弦定理，得AC2＝27＋4－2×3 eq \r(3)×2×cs 150°＝49，AC＝7.则A，C两地的距离为7 km.]
7．如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝100 m，汽车从C点到B点历时14 s，则这辆汽车的速度为________m/s.(精确到0.1，参考数据： eq \r(2)≈1.414， eq \r(5)≈2.236)
22.6 [由题意，AB＝200 m，AC＝100 eq \r(2) m，
由余弦定理可得BC＝ eq \r(40 000＋20 000－2×200×100\r(2)×（－\f(\r(2),2)）)≈316.2(m)，
这辆汽车的速度为316.2÷14≈22.6(m/s).]
8．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里记载了这样一个题目：“今有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步．欲知为田几何．”这道题讲的是有一块三角形的沙田，三边长分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为________平方千米．
21 [设在△ABC中，a＝13里，b＝14里，c＝15里，
所以cs C＝ eq \f(132＋142－152,2×13×14)＝ eq \f(132＋（14－15）×（14＋15）,2×13×14)＝ eq \f(140,2×13×14)＝ eq \f(5,13)，
所以sin C＝ eq \f(12,13)，
故△ABC的面积为 eq \f(1,2)×13×14× eq \f(12,13)×5002× eq \f(1,1 0002)＝21(平方千米).]
三、解答题
9.如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2 eq \r(3)，点D在BC边上，∠ADC＝45°，求AD的长度.
[解] 在△ABC中，由余弦定理，有
cs C＝ eq \f(AC2＋BC2－AB2,2AC·BC)＝ eq \f(22＋（2\r(3)）2－22,2×2×2\r(3))＝ eq \f(\r(3),2)，
则C＝30°.
在△ACD中，由正弦定理，有 eq \f(AD,sin C)＝ eq \f(AC,sin ∠ADC)，
∴AD＝ eq \f(AC·sin 30°,sin 45°)＝ eq \f(2×\f(1,2),\f(\r(2),2))＝ eq \r(2)，即AD的长度等于 eq \r(2).
10．济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征．小明同学想测量泉标的高度，于是他在广场的A点测得泉标顶端的仰角为60°，他又沿着泉标底部方向前进15.2 m，到达B点，又测得泉标顶端的仰角为80°.你能帮小明同学求出泉标的高度吗？(精确到1 m)
[解] 如图所示，点C，D分别为泉标的底部和顶端．依题意，得∠BAD＝60°，∠CBD＝80°，AB＝15.2 m，则∠ABD＝100°，故∠ADB＝180°－(60°＋100°)＝20°.
在△ABD中，根据正弦定理，得 eq \f(BD,sin 60°)＝ eq \f(AB,sin ∠ADB)，
∴BD＝ eq \f(AB·sin 60°,sin 20°)＝ eq \f(15.2·sin 60°,sin 20°)≈38.5(m).
在Rt△BCD中，CD＝BD sin 80°≈38.5·sin 80°≈38(m)，
即泉城广场上泉标的高约为38 m．
11.如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C，然后给出了三种测量方案(△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)：
①测量A，B，b；②测量a，b，C；③测量A，B，a.
则一定能确定A，B间距离的所有方案的个数为( )
A．3 B．2 C．1 D．0
A [对于①，利用内角和定理先求出C＝π－A－B，再利用正弦定理 eq \f(b,sin B)＝ eq \f(c,sin C)解出c；
对于②，直接利用余弦定理c2＝a2＋b2－2ab cs C即可解出c；
对于③，先利用内角和定理求出C＝π－A－B，再利用正弦定理 eq \f(a,sin A)＝ eq \f(c,sin C)解出c.故选A.]
12．甲船在湖中B岛的正南A处，AB＝3 km，甲船以8 km/h的速度向正北方向航行，同时乙船从B岛出发，以12 km/h的速度向北偏东60°方向驶去，则行驶15 min时，两船的距离是( )
A． eq \r(7) km B． eq \r(13) km
C． eq \r(19) km D． eq \r(10－3\r(3)) km
B [由题意知AM＝8× eq \f(15,60)＝2，BN＝12× eq \f(15,60)＝3，MB＝AB－AM＝3－2＝1，所以由余弦定理，得MN2＝MB2＋BN2－2MB·BN cs 120°＝1＋9－2×1×3×(－ eq \f(1,2))＝13，
所以MN＝ eq \r(13) km.故选B.]
13.如图，某市在进行城市环境建设中，要把一个四边形ABCD区域改造成公园，经过测量得到AB＝1 km，BC＝2 km，CD＝3 km，AD＝4 km，且∠ABC＝120°，则这个区域的面积是________km2.
eq \f(\r(3)＋3\r(7),2) [连接AC(图略)，在△ABC中，AB＝1 km，BC＝2 km，∠ABC＝120°，利用余弦定理得AC2＝BC2＋AB2－2AB·BC cs ∠ABC＝4＋1＋2×1×2× eq \f(1,2)＝7，即AC＝ eq \r(7) km.
在△ACD中，因为AC＝ eq \r(7) km，CD＝3 km，AD＝4 km，所以AC2＋CD2＝AD2，则△ACD为直角三角形，且∠ACD＝90°.
故S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝ eq \f(1,2)AB·BC·sin ∠ABC＋ eq \f(1,2)AC·CD＝ eq \f(1,2)×1×2×sin 120°＋ eq \f(1,2)× eq \r(7)×3＝ eq \f(\r(3)＋3\r(7),2)(km2).]
14.某班设计了一个八边形的班徽，它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形组成．该八边形的面积为________．
2sin α－2cs α＋2 [ 三角形的底边长为x＝ eq \r(1＋1－2×1×1×cs α)＝ eq \r(2－2cs α)，
∴S＝4S三角形＋S正方形＝4× eq \f(1,2)×1×1×sin α＋x2＝2sin α＋2－2cs α＝2sin α－2cs α＋2.]
15．为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1 km处不能收到手机信号．检查员抽查青岛市一考点，在考点正西 eq \r(3) km有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12 km的速度沿公路行驶，问最长需要多少分钟检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？
[解] 如图所示，考点为A，检查开始处为B，设检查员行驶到公路上C，D两点之间时收不到信号，即公路上C，D两点到考点的距离为1 km.
在△ABC中，AB＝ eq \r(3)km，
AC＝1 km，∠ABC＝30°，
由正弦定理，得
sin ∠ACB＝ eq \f(sin 30°,AC)×AB＝ eq \f(\r(3),2)，
∴∠ACB＝120°(∠ACB＝60°不合题意)，
∴∠BAC＝30°，∴BC＝AC＝1 km.
在△ACD中，AC＝AD＝1 km，∠ACD＝60°，
∴△ACD为等边三角形，∴CD＝1 km.
∵ eq \f(BC,12)×60＝5(min)，
∴在BC上需5 min，CD上需5 min.
∴最长需要5 min检查员开始收不到信号，并持续至少5 min才算合格．