北师大版 (2019)必修 第二册6.1 余弦定理与正弦定理第3课时随堂练习题

课后素养落实(二十三)　用余弦定理、正弦定理解三角形

(建议用时：40分钟)

1．在△ABC中，角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c，若a sin A＋b sin B<c sin C，则△ABC的形状是(　　)

A．锐角三角形     B．直角三角形

C．钝角三角形     D．不确定

C　[根据正弦定理可得a2＋b2<c2.

由余弦定理得cos C＝<0，故C是钝角，△ABC是钝角三角形．]

2．△ABC中，a＝，b＝，sin B＝，则符合条件的三角形有(　　)

A．1个    B．2个    C．3个    D．0个

B　[∵a sin B＝，∴a sin B<b＝<a＝，

∴符合条件的三角形有2个．]

3．已知锐角△ABC的面积为3，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为(　　)

A．75°    B．60°    C．45°    D．30°

B　[S△ABC＝×3×4sin C＝3，∴sin C＝.

∵△ABC是锐角三角形，∴C＝60°.]

4．在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a2＋b2＝2c2，则cos C的最小值为(　　)

A．    B．    C．    D．－

C　[由余弦定理知cos C＝＝＝≥＝，故选C.]

5．在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角为(　　)

A．    B．    C．    D．

B　[∵a＞b＞c，∴C为最小角，由余弦定理得

cos C＝＝＝，

∴C＝.]

二、填空题

6．在△ABC中，若B＝30°，AB＝2，AC＝2，则△ABC的面积是________ .

2或　[sin C＝＝，于是C＝60°或120°，故A＝90°或30°，

由S△ABC＝AB·AC·sin A，可得答案为2或.]

7．我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年．“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6，S6＝________．

　[作出单位圆的内接正六边形，如图，则OA＝OB＝AB＝1，S6＝6××12×sin 60°＝.]

8．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b－c＝a，2sin B＝3sin C，则cos A的值为________．

－　[由2sin B＝3sin C，得2b＝3c，代入到b－c＝a，可得a∶b∶c＝4∶3∶2，不妨设a＝4k，b＝3k，c＝2k，则cos A＝＝＝－.]

三、解答题

9．已知AB⊥BD，AC⊥CD，AC＝1，AB＝2，∠BAC＝120°，求BD的长．

[解]　如图，连接BC，

BC＝＝，

在△ABC中，由正弦定理知，＝，

∴sin ∠ACB＝.

又∵∠ACD＝90°，

∴cos ∠BCD＝，sin ∠BCD＝，

由AB⊥BD，AC⊥CD，∠BAC＝120°，

得∠BDC＝60°.

由正弦定理，得BD＝＝＝.

10．已知△ABC的面积是30，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，cos A＝.

 (1)求·；

 (2)若c－b＝1，求a的值．

[解]　(1)在△ABC中，cos A＝，

∴A为锐角，且sin A＝，

∴S△ABC＝bc sin A＝bc·＝30，

∴bc＝156.∴·＝||||·cos A＝bc cos A＝156×＝144.

(2)由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝(b－c)2＋2bc(1－cos A)＝1＋2×156×＝25.∴a＝5.

11．已知△ABC的外接圆半径为R，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2R(sin2A－sin2C)＝(a－b)sinB，那么角C的大小为(　　)

A．    B．    C．    D．

C　[由正弦定理得，a2－c2＝ab－b2，

∴cos C＝＝，

∵0<C<π，∴C＝.]

12．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且b2＝a2＋bc，A＝，则C＝(　　)

A．    B．    C．    D. 或

B　[由b2＝a2＋bc可得：a2＝b2－bc，

∵a2＝b2＋c2－2bc cos A，

∴b2－bc＝b2＋c2－2bc cos A，∴c＝b.

代入到b2＝a2＋bc，可得：a2＝b2－b2，

∴a＝b＝b＝b，

∴a∶b∶c＝∶1∶－1，

∴cos C＝＝＝，

∴C＝.]

13．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a，b，c，若a＝2，b＝2，且三角形有两解，则角A的取值范围是________．

　[法一：由条件知b sin A<a，

即2sin A<2，∴sin A<，

∵a<b，∴A<B，∴A为锐角，∴0<A<.

法二：如图，AC＝2，以C为圆心2为半径作⊙C，则⊙C上任一点(⊙C与直线AC交点除外)可为点B构成△ABC，当AB与⊙C相切时，AB＝2，∠BAC＝，当AB与⊙C相交时，∠BAC<，因为三角形有两解，所以直线AB与⊙C应相交，∴0<∠BAC<.]

14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a cos B＝3，b sin A＝4，则a＝_________．

5　[由正弦定理得，＝，

∴a sin B＝b sin A＝4，又∵a cos B＝3，

∴(a sin B)2＋(a cos B)2＝42＋32＝25，

∴a2＝25，∴a＝5.]

15．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝5，BC＝，求其角平分线AD的长．

[解]　由余弦定理，得cos ∠BAC＝＝＝，

又∠BAC∈，

∴∠BAC＝.又S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，

∴bc sin ∠BAC＝b×AD×sin ∠CAD＋c×AD×sin ∠BAD，

即×5×6×sin ＝×5×AD×sin ＋×6×AD×sin ，

∴＝＋，解得AD＝.