2020-2021学年4.2 二项式系数的性质同步练习题

这是一份2020-2021学年4.2 二项式系数的性质同步练习题，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
课后素养落实(三十六)　二项式系数的性质(建议用时：40分钟)一、选择题1．若(x＋3y)n展开式的系数和等于(7a＋b)10展开式中的二项式系数之和，则n的值为(　　)A．5　　　　B．8　　　　C．10　　　　D．15A　[(7a＋b)10展开式的二项式系数之和为210，令x＝1，y＝1，则由题意知，4n＝210，解得n＝5．]2．若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为(　　)A．10　　　B．20　　　C．30　　　D．120B　[由2n＝64，得n＝6，∴Tr＋1＝Cx6－r＝Cx6－2r(0≤r≤6，r∈N)．由6－2r＝0，得r＝3．∴T4＝C＝20．]3．(x－1)11展开式中x的偶次项系数之和是(　　)A．－2 048　 B．－1 023C．－1 024　 D．1 024C　[(x－1)11＝Cx11＋Cx10(－1)1＋Cx9(－1)2＋…＋(－1)11，偶次项系数为负数，其和为－210＝－1 024．]4．设(3－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若n＝4，则a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan＝(　　)A．256　　　B．136　　　C．120　　　D．16A　[令x＝－1，得a0－a1＋a2＋…＋(－1)nan＝(3－(－1))4＝44＝256．]5．已知C＋2C＋22C＋…＋2nC＝729，则C＋C＋C的值等于(　　)A．64　　　B．32　　　C．63　　　　D．31B　[由已知(1＋2)n＝3n＝729，解得n＝6．则C＋C＋C＝C＋C＋C＝＝32．]二、填空题6．若展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项是________．10　[令x＝1得2n＝32，∴n＝5．∵Tr＋1＝C(x2)5－r·＝C·x10－5r，∴由10－5r＝0即r＝2可得展开式中的常数项是C＝10．]7．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第________行中从左至右第14个与第15个数的比为2∶3．34　[由已知＝，即 × ＝，化简得＝．解得n＝34．]8．将函数f(x)＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3＝________．10　[∵f(x)＝x5＝[(1＋x)－1]5，∴a3＝C(－1)2＝10．]三、解答题9．展开式第9项与第10项二项式系数相等，求x的一次项系数．[解]　∵的展开式中第9项，第10项的二项式系数分别为C、C．又∵这两项的二项式系数相等．∴C＝C，∴n＝17．其展开式的通项Tr＋1＝Cx·2r·x＝2rCx，令－＝1，∴r＝9．∴T10＝29Cx＝29×24 310x＝12 446 720x，即x的一次项系数为12 446 720．10．若(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10，求：(1)各项系数之和；(2)奇数项系数的和与偶数项系数的和．[解]　(1)各项系数之和即为a0＋a1＋a2＋…＋a10，可用“赋值法”求解．令x＝y＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝(2－3)10＝(－1)10＝1．(2)奇数项系数的和为a0＋a2＋a4＋…＋a10，偶数项系数的和为a1＋a3＋a5＋…＋a9．由(1)知a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，①令x＝1，y＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510，②①＋②得，2(a0＋a2＋…＋a10)＝1＋510，故奇数项系数的和为(1＋510)；①－②得，2(a1＋a3＋…＋a9)＝1－510，故偶数项系数的和为(1－510)．11．若(x－2)5－3x4＝a0＋a1(x－3)＋a2(x－3)2＋a3(x－3)3＋a4(x－3)4＋a5(x－3)5，则a3＝(　　)A．－70　　　　B．28　　　　C．－26　　　　D．40C　[令t＝x－3，则(x－2)5－3x4＝a0＋a1(x－3)＋a2(x－3)2＋a3(x－3)3＋a4(x－3)4＋a5(x－3)5可化为(t＋1)5－3(t＋3)4＝a0＋a1t＋a2t2＋a3t3＋a4t4＋a5t5，则a3＝C－3×C×3＝10－36＝－26．]12．在 (n∈N＋)的展开式中，若二项式系数最大的项仅是第六项，则展开式中常数项是(　　)A．180　　　　B．120　　　　C．90　　　　D．45A　[在 (n∈N＋)的展开式中，若二项式系数最大的项仅是第六项，则n＝10，则＝的展开式的通项为Tr＋1＝C·2r·x5－，令5－＝0，得r＝2，可得展开式中常数项为C·22＝180．]13．(多选题)若将函数f＝x5表示为f＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x) 2＋…＋a5(1＋x) 5， 其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则(　　)A．a0＝－1　　 B．a3＝10C．i＝1 　 D．(－1) iai＝－31ABCD　[由已知得(x－1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，令x＝0得，a0＝－1；又a0＋i＝(1－1)5＝0，a0＋(－1) iai＝(－1－1) 5＝－32，所以i＝1，(－1) iai＝－31，a3＝(－1) 2C＝10．]14．(一题两空)已知C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝729，则n＝________；C＋C＋C＋…＋C＝________．6　63　[逆用二项式定理得C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝(1＋2)n＝3n＝729，即3n＝36，所以n＝6，所以C＋C＋C＋…＋C＝26－C＝64－1＝63．]15．求展开式中的常数项．[解]　∵＝，∴其通项为Tr＋1＝C (r＝0，1，…，10)，要求原式中的常数项，则应先求出的展开式中的常数项．∵Tk＋1＝Car－k＝Car－3k(k＝0，1，2，…，r)，由题意，令r－3k＝0，即r是k的3倍．又r∈N＋，且r≤10，∴r＝0，3，6，9，此时k＝0，1，2，3．当r＝0时，k＝0，系数为C＝1；当r＝3时，k＝1，系数为CC＝360；当r＝6时，k＝2，系数为CC＝CC＝3 150；当r＝9时，k＝3，系数为CC＝CC＝840．∴展开式的常数项为1＋360＋3 150＋840＝4 351．