高考数学一轮复习练21第三章三角函数解三角形第三讲第1课时三角函数公式的基本应用含解析新人教版

第三讲　两角和与差的三角函数　二倍角公式

第一课时　三角函数公式的基本应用

A组基础巩固

一、单选题

1．(2021·湖北枣阳模拟)若sin α＝，则sin＝(　B　)

A．　　 B．

C．　　 D．

[解析]　∵sin α＝，

∴cos α＝＝，

∴sin＝sin α·cos ＋cos αsin

＝×＋×＝，故选B.

2．已知α是第二象限角，且tan α＝－，则sin 2α等于(　C　)

A．－　　 B．　　

C．－　　 D．

[解析]　因为α是第二象限角，且tan α＝－，

所以sin α＝，cos α＝－，

所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－.

3．(2021·宁夏银川月考)已知锐角α，β满足cos α＝，sin(α－β)＝－，则sin β的值为(　A　)

A．　　 B．　　

C．　　 D．

[解析]　∵α是锐角，β是锐角，cos α＝，sin(α－β)＝－，∴sin α＝，cos(α－β)＝，∴sin β＝sin [α－(α－β)]＝×－×＝，故选A.

4．若sin＝，则cos的值为(　A　)

A．－　　 B．　　

C．　　 D．－

[解析]　cos＝cos ＝－cos＝2sin2－1＝2×－1＝－.故选A.

5．(2020·全国Ⅰ，9)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α＝(　A　)

A．　　 B．　　

C．　　 D．

[解析]　本题考查三角恒等变换以及同角三角函数基本关系．因为3cos 2α－8cos α＝5，所以3(2cos2α－1)－8cos α＝5，即3cos2α－4cos α－4＝0，即(3cos α＋2)(cos α－2)＝0，解得cos α＝－或cos α＝2(舍去)．又α∈(0，π)，所以sin α＝＝，故选A.

6．(2021·衡水中学调研)已知sin(θ＋20°)＝，则sin(2θ－50°)的值为(　A　)

A．－　　 B．　　

C．　　 D．

[解析]　sin(2θ－50°)＝sin [(2θ＋40°)－90°]＝

－cos(2θ＋40°)＝2sin2(θ＋20°)－1＝－.

7．(2020·河北冀州中学月考)(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)的值是(　C　)

A．　　 B．　　

C．2　　 D．

[解析]　(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)＝1＋tan 18°＋tan 27°＋tan 18°tan 27°＝1＋tan 45°·(1－tan 18°tan 27°)＋tan 18°tan 27°＝2.

二、多选题

8．下面各式中正确的是(　ABC　)

A．sin＝sin cos ＋cos

B．cos ＝sin －cos cos

C．cos＝cos cos ＋

D．cos ＝cos －cos

[解析]　sin＝sin cos ＋cos sin ＝sin cos ＋cos ，因此A正确；cos ＝cos＝cos cos －sin sin ＝sin －cos cos ，因此B正确．cos＝cos＝cos cos ＋sin sin ＝cos cos ＋，因此C正确；显然D不正确，故选A、B、C.

9．(2021·辽宁六校考试)下列各式中，值为的是(　BC　)

A．cos2－sin2　　 B．

C．2sin 195°cos 195°　　 D．

[解析]　本题考查由正弦、余弦与正切的二倍角公式计算求值．

cos2－sin2＝cos＝cos ＝，故A错误；＝·＝tan 45°＝，故B正确；2sin 195°cos 195°＝2sin(180°＋15°)cos(180°＋15°)＝2sin 15°·cos 15°＝sin 30°＝，故C正确；＝＝，故D错误．故选BC.

10．(2020·山东滨州三模改编)已知α，β，γ∈，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则下列结论正确的是(　AC　)

A．cos(β－α)＝　　 B．cos(β－α)＝－

C．β－α＝　　 D．β－α＝－

[解析]　本题考查同角三角函数基本关系和两角差的余弦公式．由已知得sin γ＝sin β－sin α，cos γ＝cos α－cos β.

两式分别平方相加，得(sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2＝1，

∴－2cos(β－α)＝－1，∴cos(β－α)＝，∴A正确，B错误．

∵α，β，γ∈，∴sin γ＝sin β－sin α>0，

∴β>α，∴β－α＝，∴C正确，D错误．故选AC.

三、填空题

11．计算：＝　　.

[解析]　原式＝＝

＝tan(45°－15°)＝tan 30°＝.

12．设α为锐角，若cos＝，则sin的值为　　.

[解析]　∵α为锐角且cos＝>0，

∴α＋∈，∴sin＝.

∴sin＝sin

＝sin 2cos －cos 2sin

＝sincos－

＝××－

＝－＝.

13．(2020·山西康杰中学月考)若＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝　　.

[解析]　∵＝＝3，∴tan α＝2.

∵tan(α－β)＝2，

∴tan(β－2α)＝tan [(β－α)－α]＝－tan [(α－β)＋α]＝－＝.

四、解答题

14．(2018·浙江，18)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.

(1)求sin(α＋π)的值；

(2)若角β满足sin(α＋β)＝，求cos β的值．

[解析]　本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力．

(1)由角α的终边过点P得sin α＝－，所以sin(α＋π)＝－sin α＝.

(2)由角α的终边过点P得cos α＝－，

由sin(α＋β)＝得cos(α＋β)＝±.

由β＝(α＋β)－α得

cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，

所以cos β＝－或cos β＝.

15．已知若0<α<，－<β<0，cos＝，cos＝.

(1)求cos α的值；

(2)求cos的值．

[解析]　(1)∵0<α<，∴<＋α<，

∵cos＝，∴sin＝，

∴cos α＝cos

＝coscos ＋sinsin

＝×＋×＝.

(2)∵－<β<0，∴<－<，

∵cos＝，∴sin＝，

∴cos＝cos

＝coscos＋sinsin

＝×＋×＝.

B组能力提升

1．(2021·江西九江模拟)计算sin －cos 的值为(　B　)

A．0　　 B．－　　

C．2　　 D．

[解析]　sin －cos ＝2＝2sin＝2sin＝－，故选B.

2．在△ABC中，tan A＋tan B＋＝tan Atan B，则C等于(　A　)

A．　　 B．　　

C．　　 D．

[解析]　由已知得tan A＋tan B＝－(1－tan Atan B)，

∴＝－，即tan(A＋B)＝－.

又tan C＝tan [π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝，0<C<π，∴C＝.

3．(2020·北京北大附中抽测)若函数f(x)＝5cos x＋12sin x在x＝θ时取得最小值，则cos θ等于(　B　)

A．　　 B．－　　

C．　　 D．－

[解析]　f(x)＝5cos x＋12sin x＝13＝13sin(x＋α)，其中sin α＝，cos α＝.由题意知θ＋α＝2kπ－(k∈Z)，得θ＝2kπ－－α(k∈Z)，所以cos θ＝cos＝cos＝－sin α＝－.

4．(多选题)(2021·山东济南模拟)已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈，则(　AC　)

A．cos β＝　　 B．sin β＝

C．cos(α－β)＝　　 D．sin(α－β)＝－

[解析]　因为α∈，cos α＝，所以sin α＝，又α，β∈，所以α＋β∈(0，π)，所以sin(α＋β)＝＝，所以cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－＋＝，A正确．sin β＝，B错误．cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝，C正确．sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝，D错误．

5．已知coscos＝－，α∈.

(1)求sin 2α的值；

(2)求tan α－的值．

[解析]　(1)coscos

＝cossin

＝sin＝－，即sin＝－.

∵α∈，∴2α＋∈，

∴cos＝－，

∴sin 2α＝sin ＝sincos －cossin ＝－×－×＝.

(2)∵α∈，∴2α∈，

又由(1)知sin 2α＝，∴cos 2α＝－.

∴tan α－＝－＝＝＝－2×＝2.