高考数学一轮复习第十章选修系列选修4_4第二节参数方程课时规范练含解析文北师大版

第十章  选修系列

选修4-4  坐标系与参数方程

第二节  参数方程

课时规范练

1．若直线(t为参数)与圆(θ为参数)相切，求直线的倾斜角α.

解析：直线(t为参数)的普通方程为y＝xtan α.

圆(θ为参数)的普通方程为(x－4)2＋y2＝4.

由于直线与圆相切，则＝2，

即tan2α＝，解得tan α＝±，

由于α∈[0，π)，故α＝或.

2．(2020·长春质检)以直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点P的直角坐标为(1，2)，点C的极坐标为，若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以点C为圆心，3为半径．

(1)求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；

(2)设直线l与圆C相交于A，B两点，求|PA|·|PB|.

解析：(1)由题意得直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的极坐标方程为ρ＝6sin θ.

(2)由(1)易知圆C的直角坐标方程为x2＋(y－3)2＝9，

把代入x2＋(y－3)2＝9，得t2＋(－1)t－7＝0，

设点A，B对应的参数分别为t1，t2，∴t1t2＝－7，又|PA|＝|t1|，|PB|＝|t2|，

∴|PA|·|PB|＝7.

3．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以平面直角坐标系的原点为极点，x轴非负半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2＝2ρsin－1.

(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程，并指明曲线C的形状；

(2)设直线l与曲线C交于A，B两点，且|OA|＜|OB|，求－.

解析：(1)由消去参数t，得y＝2x.

由ρ2＝2ρsin－1，得ρ2－2ρcos θ－2ρsin θ＋1＝0，

x2＋y2－2x－2y＋1＝0，

即(x－1)2＋(y－1)2＝1.

∴直线l的普通方程为y＝2x，曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，曲线C表示以(1，1)为圆心，1为半径的圆．

(2)将x＝t，y＝t代入x2＋y2－2x－2y＋1＝0，得t2－t＋1＝0，

设点A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝＞0，t1·t2＝1＞0，

∴t1＞0，t2＞0.

∵|OA|＜|OB|，∴－＞0，

∴－＝－＝＝＝＝.

4．在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2－2ρsin－4＝0，以极点O为原点，极轴为x轴非负半轴建立平面直角坐标系xOy，直线l：(t为参数，0≤α＜π)．

(1)求曲线C的直角坐标方程；

(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，求||OA|－|OB||的取值范围．

解析：(1)由ρ2－2ρsin－4＝0得，ρ2－2ρcos θ－2ρsin θ－4＝0，

所以x2＋y2－2x－2y－4＝0，

即曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝6.

(2)将直线l的参数方程代入x2＋y2－2x－2y－4＝0并整理得，

t2－2(sin α＋cos α)t－4＝0，设A，B对应的参数分别为t1，t2，

则t1＋t2＝2(sin α＋cos α)，t1t2＝－4＜0.

||OA|－|OB||＝||t1|－|t2||＝|t1＋t2|＝|2(sin α＋cos α)|＝|2sin|，

因为0≤α＜π，所以≤α＋＜，

从而有－2＜2sin≤2.

所以||OA|－|OB||的取值范围是[0，2]．