高中数学第二章圆锥曲线与方程测评训练含解析北师大版选修1_1

这是一份高中数学第二章圆锥曲线与方程测评训练含解析北师大版选修1_1，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第二章测评
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.下列曲线中离心率为62的是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.x22-y24=1 B.x24-y22=1
C.x24-y26=1 D.x24-y210=1
解析:双曲线x24-y22=1的离心率e=4+22=62.
答案:B
2.平面上有两个定点A,B及动点P,命题甲:“|PA|-|PB|是定值”,命题乙:“点P的轨迹是以A,B为焦点的双曲线”,则甲是乙的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:当|PA|-|PB|=|AB|时,点P的轨迹是一条射线,故甲乙,而乙⇒甲,故选B.
答案:B
3.已知椭圆与双曲线x23-y22=1有共同的焦点,且离心率为15,则椭圆的标准方程为(　　)
A.x220+y225=1 B.x225+y220=1
C.x225+y25=1 D.x25+y225=1
解析:双曲线x23-y22=1中,a12=3,b12=2,则c1=a12+b12=5,故焦点坐标为(-5,0),(5,0),故所求椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的c=5,又椭圆的离心率e=ca=15,则a=5,a2=25,b2=a2-c2=20,故椭圆的标准方程为x225+y220=1.
答案:B
4.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1的焦距为10,点P(2,1)在双曲线C的渐近线上,则双曲线C的方程为(　　)
A.x220-y25=1 B.x25-y220=1
C.x280-y220=1 D.x220-y280=1
解析:根据双曲线标准方程中系数之间的关系求解.
∵x2a2-y2b2=1的焦距为10,
∴c=5=a2+b2.①
又双曲线渐近线方程为y=±bax,且P(2,1)在渐近线上,∴2ba=1,即a=2b.②
由①②解得a=25,b=5,故选A.
答案:A
5.(2017全国Ⅰ高考)已知F是双曲线C:x2-y23=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为(　　)
A.13 B.12 C.23 D.32
解析:由c2=a2+b2=4,得c=2,所以点F的坐标为(2,0).将x=2代入x2-y23=1,得y=±3,所以|PF|=3.
又点A的坐标是(1,3),故△APF的面积为12×3×(2-1)=32,故选D.
答案:D
6.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=3x,它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上,则双曲线的方程为(　　)
A.x236-y2108=1 B.x29-y227=1
C.x2108-y236=1 D.x227-y29=1
解析:抛物线y2=24x的准线方程为x=-6,故双曲线中c=6.①
由双曲线x2a2-y2b2=1的一条渐近线方程为y=3x,知ba=3,②
且c2=a2+b2.③
由①②③解得a2=9,b2=27.
故双曲线的方程为x29-y227=1,故选B.
答案:B
7.P是长轴在x轴上的椭圆x2a2+y2b2=1上的点,F1,F2分别为椭圆的两个焦点,椭圆的半焦距为c,则|PF1|·|PF2|的最大值与最小值之差一定是(　　)
A.1 B.a2 C.b2 D.c2
解析:由椭圆的几何性质得|PF1|∈[a-c,a+c],|PF1|+|PF2|=2a,
所以|PF1|·|PF2|≤|PF1|+|PF2|22=a2,
当且仅当|PF1|=|PF2|时取等号.
|PF1|·|PF2|=|PF1|(2a-|PF1|)
=-|PF1|2+2a|PF1|=-(|PF1|-a)2+a2
≥-c2+a2=b2,
所以|PF1|·|PF2|的最大值与最小值之差为a2-b2=c2.
答案:D
8.若直线y=kx-2与抛物线y2=8x交于A,B两个不同的点,且AB的中点的横坐标为2,则k等于(　　)
A.2或-1 B.-1 C.2 D.1±5
解析:由y=kx-2,y2=8x消去y,得k2x2-4(k+2)x+4=0,
故Δ=[-4(k+2)]2-4k2×4=64(1+k)>0,
解得k>-1,由x1+x2=4(k+2)k2=4,
解得k=-1或k=2,又k>-1,故k=2.
答案:C
9.设双曲线x2a2-y2b2=1的一条渐近线与抛物线y=x2+1只有一个公共点,则双曲线的离心率为(　　)
A.54 B.5 C.52 D.5
解析:双曲线x2a2-y2b2=1的一条渐近线方程为y=bax,由方程组y=bax,y=x2+1消去y,得x2-bax+1=0有唯一解,所以Δ=ba2-4=0,所以ba=2,所以e=ca=a2+b2a=1+ba2=5,故选D.
答案:D
10.在抛物线y2=8x中,以(1,-1)为中点的弦的方程是(　　)
A.x-4y-3=0 B.x+4y+3=0
C.4x+y-3=0 D.4x+y+3=0
解析:设弦的两端点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)(x1≠x2),则y12=8x1,y22=8x2,
两式相减得(y1-y2)(y1+y2)=8(x1-x2),
又y1+y2=-2,∴y1-y2x1-x2=-4,
∴弦所在直线的斜率为-4,
又过点(1,-1),∴所求直线方程为4x+y-3=0.
答案:C
11.如图,南北方向的公路L,A地在公路正东2 km处,B地在A北偏东60°方向23 km处,河流沿岸曲线PQ上任意一点到公路L和到A地距离相等.现要在曲线PQ上某处建一座码头,向A,B两地运货物,经测算,从M到A,B修建公路的费用都为a万元/km,那么,修建这两条公路的总费用最低是(　　)

A.(2+3)a万元 B.(23+1)a万元
C.5a万元 D.6a万元
解析:本题主要考查抛物线的实际应用.依题意知曲线PQ是以A为焦点、L为准线的抛物线,根据抛物线的定义知,欲求从M到A,B修建公路的费用最低,只需求出B到直线L的距离即可.∵B地在A地北偏东60°方向23km处,∴B到点A的水平距离为3km,∴B到直线L的距离为3+2=5(km),那么,修建这两条公路的总费用最低为5a万元,故选C.
答案:C
12.(2017全国Ⅰ高考)设A,B是椭圆C:x23+y2m=1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB=120°,则m的取值范围是(　　)
A.(0,1]∪[9,+∞) B.(0,3]∪[9,+∞)
C.(0,1]∪[4,+∞) D.(0,3]∪[4,+∞)
解析:由题意,可知当点M为短轴的端点时,∠AMB最大.当0b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,线段F1F2被点b2,0分成3∶1的两段,则此椭圆的离心率为　　　　　. 
解析:由题意,得b2+cc-b2=3⇒b2+c=3c-32b⇒b=c,
因此e=ca=c2a2=c2b2+c2=12=22.
答案:22
15.已知抛物线C:y2=2px(p>0),过焦点F且斜率为k(k>0)的直线与C相交于A,B两点,若AF=3FB,则k=　　　　　. 
解析:设直线l为抛物线的准线,过A,B分别作AA1,BB1垂直于l,A1,B1为垂足,过B作BE垂直于AA1于E,则|AA1|=|AF|,|BB1|=|BF|,由AF=3FB,
∴cos∠BAE=|AE||AB|=12,
∴∠BAE=60°,∴tan∠BAE=3,即k=3.
答案:3
16.以下四个关于圆锥曲线的命题:
①设A,B为两个定点,k为非零常数,|PA|-|PB|=k,则动点P的轨迹为双曲线;
②过定圆C上一定点A作圆的动弦AB,O为坐标原点,若OP=12(OA+OB),则动点P的轨迹为椭圆;
③方程2x2-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;
④双曲线x225-y29=1与椭圆x235+y2=1有相同的焦点.
其中正确命题的序号是　　　　　. 
解析:双曲线的定义是:平面上与两个定点A,B的距离的差的绝对值为常数2a,且00),
又双曲线过点(0,2),∴c=5,a=2,
∴b2=c2-a2=25-4=21,
∴双曲线的标准方程是y24-x221=1,实轴长为4,焦距为10,离心率e=ca=52,渐近线方程是y=±22121x.
18.(本小题满分12分)若已知椭圆x210+y2m=1与双曲线x2-y2b=1有相同的焦点,又椭圆与双曲线交于点P103,y,求椭圆及双曲线的方程.
解由椭圆与双曲线有相同的焦点,得10-m=1+b,即m=9-b,①
由点P103,y在椭圆、双曲线上,得y2=89m,②
y2=b9,③
解由①②③组成的方程组得m=1,b=8,
∴椭圆方程为x210+y2=1,双曲线方程为x2-y28=1.
19.导学号01844027(本小题满分12分)(2017全国Ⅱ高考)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:x22+y2=1上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足NP=2NM.
(1)求点P的轨迹方程;
(2)设点Q在直线x=-3上,且OP·PQ=1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
(1)解设P(x,y),M(x0,y0),
则N(x0,0),NP=(x-x0,y),NM=(0,y0).
由NP=2NM得x0=x,y0=22y.
因为M(x0,y0)在C上,所以x22+y22=1.
因此点P的轨迹方程为x2+y2=2.
(2)证明由题意知F(-1,0).设Q(-3,t),P(m,n),
则OQ=(-3,t),PF=(-1-m,-n),OQ·PF=3+3m-tn,OP=(m,n),PQ=(-3-m,t-n).
由OP·PQ=1得-3m-m2+tn-n2=1.
又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0.
所以OQ·PF=0,即OQ⊥PF.
又过点P存在唯一直线垂直于OQ,
所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
20.导学号01844028(本小题满分12分)(2017北京高考)已知椭圆C的两个顶点分别为A(-2,0),B(2,0),焦点在x轴上,离心率为32.
(1)求椭圆C的方程;
(2)点D为x轴上一点,过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N,过D作AM的垂线交BN于点E.求证:△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.
(1)解设椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0).
由题意得a=2,ca=32,解得c=3.所以b2=a2-c2=1.
所以椭圆C的方程为x24+y2=1.
(2)证明设M(m,n),则D(m,0),N(m,-n).
由题设知m≠±2,且n≠0.
直线AM的斜率kAM=nm+2,
故直线DE的斜率kDE=-m+2n.
所以直线DE的方程为y=-m+2n(x-m),直线BN的方程为y=n2-m(x-2).
联立y=-m+2n(x-m),y=n2-m(x-2),
解得点E的纵坐标yE=-n(4-m2)4-m2+n2.
由点M在椭圆C上,得4-m2=4n2.
所以yE=-45n.又S△BDE=12|BD|·|yE|=25|BD|·|n|,S△BDN=12|BD|·|n|,所以△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.
21.(本小题满分12分)已知椭圆C1:x24+y2=1,椭圆C2以C1的长轴为短轴,且与C1有相同的离心率.
(1)求椭圆C2的方程;
(2)设O为坐标原点,点A,B分别在椭圆C1和C2上,OB=2OA,求直线AB的方程.
解(1)由已知可设椭圆C2的方程为y2a2+x24=1(a>2),
其离心率为32,故a2-4a=32,解得a=4.
故椭圆C2的方程为y216+x24=1.
(2)设A,B两点的坐标分别为(xA,yA),(xB,yB),
由OB=2OA及(1)知,O,A,B三点共线且点A,B不在y轴上,因此可设直线AB的方程为y=kx.
将y=kx代入x24+y2=1中,得(1+4k2)x2=4,
所以xA2=41+4k2.
将y=kx代入y216+x24=1中,得(4+k2)x2=16,
所以xB2=164+k2.
又由OB=2OA,得xB2=4xA2,即164+k2=161+4k2,
解得k=±1.故直线AB的方程为y=x或y=-x.
22.导学号01844029(本小题满分12分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长为2,离心率为22,直线l:y=kx+m与椭圆C交于A,B两点,且线段AB的垂直平分线通过点0,-12.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)求△AOB(O为坐标原点)面积的最大值.
解(1)由已知可得e=ca=22,2b=2,a2=b2+c2,解得a2=2,b2=1,
故椭圆C的标准方程为x22+y2=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程y=kx+m,x22+y2=1,
消去y得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0.
当Δ=8(2k2-m2+1)>0,
即2k2>m2-1时,x1+x2=-4km1+2k2,x1·x2=2m2-21+2k2,
所以x1+x22=-2km1+2k2,y1+y22=m1+2k2.
当k=0时,线段AB的垂直平分线显然过点0,-12,S△AOB=12|AB|·|m|=12·|m|·22·1-m2=2·(1-m2)·m2.
因为m∈(-1,0)∪(0,1),
所以m2∈(0,1).
S△AOB≤2·1-12×12=22,
当m2=12时,取到等号.
当k≠0时,因为线段AB的垂直平分线过点0,-12,所以y1+y22--12x1+x22-0=-1k,化简整理得2k2+1=2m.由2k2+1=2m,2k2+1>m2,得0