高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.1椭圆及其标准方程训练含解析北师大版选修1_1

第二章DIERZHANG圆锥曲线与方程

§1　椭　圆

1.1　椭圆及其标准方程

1.设定点F1(0,-2),F2(0,2),动点P满足条件|PF1|+|PF2|=m+(m>2),则点P的轨迹是(　　)

A.椭圆 B.线段

C.不存在 D.椭圆或线段

解析:因为m>2,所以m+>2=4,所以点P的轨迹为以F1,F2为焦点的椭圆.

答案:A

2.椭圆=1的焦点坐标是(　　)

A.(±5,0) B.(0,±5)

C.(0,±12) D.(±12,0)

解析:因为c2=a2-b2=169-25=122,所以c=12.又焦点在y轴上,故焦点坐标为(0,±12).

答案:C

3.已知椭圆=1上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3,到另一个焦点的距离为7,则m=(　　)

A.10 B.5 

C.15 D.25

解析:设椭圆的焦点分别为F1,F2,则由椭圆的定义,知|PF1|+|PF2|=2a=10,所以a=5,所以a2=25,所以椭圆的焦点在x轴上,m=25.

答案:D

4.已知椭圆=1上一点P到两个焦点F1,F2的距离之差为2,则△PF1F2的形状为(　　)

A.直角三角形 

B.锐角三角形

C.钝角三角形 

D.等边三角形

解析:不妨令|PF1|-|PF2|=2,由|PF1|+|PF2|=8,|PF1|-|PF2|=2,解得|PF1|=5,|PF2|=3.

又|F1F2|=4,满足|PF2|2+|F1F2|2=|PF1|2,

∴△PF1F2为直角三角形.

答案:A

5.导学号01844010已知P是椭圆=1上一点,F1,F2为焦点,且∠F1PF2=90°,则△PF1F2的面积是　　　　　. 

解析:由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a=10,①

∵∠F1PF2=90°,

∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2=36,②

由①②,得|PF1|·|PF2|=32.

∴S=|PF1|·|PF2|=16.

答案:16

6.若椭圆=1的焦距等于2,则m的值是　　　　　. 

解析:当椭圆的焦点在x轴上时,a2=m,b2=15,

所以c2=m-15,所以2c=2=2,解得m=16;

当椭圆的焦点在y轴上时,同理有2=2,

所以m=14.

答案:16或14

7.已知椭圆的焦点是F1(-1,0),F2(1,0),P是椭圆上的一点,若|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项,则该椭圆的方程是　　　　　. 

解析:由题意得2|F1F2|=|PF1|+|PF2|,

所以4c=2a=4,所以a=2.

又c=1,所以b2=a2-c2=3,

故椭圆方程为=1.

答案:=1

8.求以椭圆9x2+5y2=45的焦点为焦点,且经过点M(2,)的椭圆的标准方程.

解由9x2+5y2=45,得=1.

其焦点F1(0,2),F2(0,-2).

设所求椭圆方程为=1.

又∵点M(2,)在椭圆上,

∴=1.①

又a2-b2=4,②

解①②得a2=12,b2=8.

故所求椭圆方程为=1.

9.导学号01844011已知P是椭圆+y2=1上的一点,F1,F2是椭圆的两个焦点.

(1)当∠F1PF2=60°时,求△F1PF2的面积;

(2)当∠F1PF2为钝角时,求点P横坐标的取值范围.

解(1)由椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=4,①

且F1(-,0),F2(,0).

在△F1PF2中,由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos60°.②

由①②得|PF1|·|PF2|=.

所以|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2=.

(2)设点P(x,y),由已知∠F1PF2为钝角,得<0,即(x+,y)·(x-,y)<0,

又y2=1-,

所以x2<2,

解得-<x<,

所以点P横坐标的取值范围是-<x<.