数学必修2第一章 空间几何体1.2 空间几何体的三视图和直观图习题

1.2.3　空间几何体的直观图

课后篇巩固提升

1.由斜二测画法得到:

①相等的线段和角在直观图中仍然相等;

②正方形在直观图中是矩形;

③等腰三角形在直观图中仍然是等腰三角形;

④菱形的直观图仍然是菱形.

上述结论正确的个数是(　　)

A.0 B.1 C.2 D.3

解析只有平行且相等的线段在直观图中才相等,而相等的角在直观图中不一定相等,如角为90°,在直观图中可能是135°或45°,故①错,由直观图的斜二测画法可知②③④皆错.故选A.

答案A

2.如图为一平面图形的直观图的大致图形,则此平面图形可能是(　　)

解析根据该平面图形的直观图,该平面图形为一个直角梯形,且在直观图中平行于y'轴的边与底边垂直.

答案C

3.已知水平放置的△ABC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图,其中B'O'=C'O'=1,A'O'=,那么原△ABC中∠ABC的大小是(　　)

A.30° B.45° C.60° D.90°

解析根据斜二测画法可知△ABC中,BC=2,AO=,AO⊥BC,∴AB=AC==2,故△ABC是等边三角形,则∠ABC=60°.

答案C

4.如图所示,△A'B'C'是水平放置的△ABC的直观图,则在△ABC的三边及中线AD中,最长的线段是(　　)

A.AB B.AD C.BC D.AC

解析△ABC是直角三角形,且∠ABC=90°,

则AC>AB,AC>AD,AC>BC.

答案D

5.

如图,矩形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形的直观图,其中O'A'=6,O'C'=2,则原图形是(　　)

A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.梯形

解析设y'轴与B'C'交于点D',则O'D'=2.

在原图形中,OD=4,CD=2,则OD⊥CD.

∴OC==6=OA,∴原图形是菱形.

答案C

6.

一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形,且梯形O'A'B'C'的面积为,则原梯形的面积为(　　)

A.2 B.

C.2 D.4

解析如图,由斜二测画法规则可知,平面中的图形与直观图中的图形上下底边的长度是一样的,不一样的是两个梯形的高.平面图形中的高OA是直观图中O'A'的2倍.直观图中,O'A'是梯形高的倍,由此平面图形中梯形的高OA是直观图中梯形高的2倍,其面积是梯形O'A'B'C'的面积2倍,而梯形O'A'B'C'的面积为,所以原梯形的面积是4.故选D.

答案D

7.如图,正方形O'A'B'C'的边长为a,它是一个水平放置的平面图形的直观图,则原图形OABC的周长是　　　　. 

解析由斜二测画法的规则可知,原图形OABC是一个平行四边形.在原图形OABC中,OB=2a,OA=a,

且OA⊥OB,∴AB=3a,

∴原图形OABC的周长为2(a+3a)=8a.

答案8a

8.

如图,△A'O'B'表示水平放置的△AOB的直观图,B'在x'轴上,A'O'和x'轴垂直,且A'O'=2,则△AOB的边OB上的高为　　　　　. 

解析由直观图与原图形中边OB长度不变,且S原=2S直观,得·OB·h=2×2O'B'.

∵OB=O'B',∴h=4.

答案4

9.在棱长为4 cm的正方体ABCD-A1B1C1D1中,作直观图时,棱AA1在x轴上,棱AD在y轴上,则在其直观图中,对应棱A'D'的长为　　　　　cm,棱A'A1'的长为　　　　　　　cm. 

解析在x轴上的线段长度不变,故A'A1'=4cm,在y轴上的线段变成原来的一半,故A'D'=2cm.

答案2　4

10.

如图所示,已知用斜二测画法画出的△ABC的直观图△A'B'C'是边长为a的正三角形,则原△ABC的面积为　　　　　. 

解析过点C'作C'M'∥y'轴,且交x'轴于点M'.

过C'作C'D'⊥x'轴,且交x'轴于点D',

则C'D'=a.

∴∠C'M'D'=45°,

∴C'M'=a.∴原三角形的高CM=a,底边长为a,其面积为S=×a×a=a2,或S直观=S原,∴S原=a2=a2.

答案a2

11.按如图的建系方法,画水平放置的正五边形ABCDE的直观图.

解画法:

(1)在图①中作AG⊥x轴于点G,作DH⊥x轴于点H.

(2)在图②中画相应的x'轴与y'轴,两轴相交于点O',使∠x'O'y'=45°.

(3)在图②中的x'轴上取O'B'=OB,O'G'=OG,O'C'=OC,O'H'=OH,y'轴上取O'E'=OE,分别过G'和H'作y'轴的平行线,并在相应的平行线上取G'A'=GA,H'D'=HD.

(4)连接A'B',A'E',E'D',D'C',并擦去辅助线G'A',H'D',x'轴与y'轴,便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A'B'C'D'E'(如图③).

12.如图所示是一个几何体的三视图,试用斜二测画法画出它的直观图.

解该几何体是一个四棱台与四棱锥的组合体.

(1)画轴.画x轴、y轴、z轴,使三轴交于点O,∠xOy=45°,∠xOz=90°.

(2)画底面.由三视图知该几何体是一个简单组合体,它的下部是一个四棱台,上部是一个四棱锥.用斜二测画法画出底面ABCD的直观图,在z轴上截取OO'等于三视图中相应的高度,过点O'作Ox的平行线O'x',Oy的平行线O'y',在平面x'O'y'内,作出棱台的上底面A'B'C'D'的直观图.

(3)画四棱锥顶点.在Oz轴上截取O'P等于三视图中相应的高度.

(4)成图.连接PA',PB',PC',PD',AA',BB',CC',DD',整理可得直观图如图②.