北师大版必修15.2y=log2 x的图像和性质随堂练习题

对数函数y＝log2x的图像和性质

 [A组　学业达标]

1．下列函数中是对数函数的是(　　)

解析：对数函数的形式是y＝logax(a＞0且a≠1)，A符合对数函数的形式，因此是对数函数；B中的真数是x＋1不是x，因此不是对数函数；C中的真数是x2不是x，因此不是对数函数；D中函数不符合对数函数的形式，因此不是对数函数．故选A.

答案：A

2．函数f(x)＝的定义域为(　　)

A．(0,2)  B．(0,2]

C．(2，＋∞)  D．[2，＋∞)

解析：令log2x－1＞0，∴log2x＞1，∴x＞2.

答案：C

3．函数y＝log3x的定义域为(0，＋∞)，则其反函数的值域是(　　)

A．(0，＋∞)  B．R

C．(－∞，0)  D．(0,1)

解析：反函数的值域为原函数的定义域(0，＋∞)．

答案：A

4．函数y＝在[1,2]上的值域是(　　)

A．[－1,0]     B．[0,1]     C．[1，＋∞)  D．(－∞，－1]

解析：函数y＝在[1,2]上是减函数，∴≤y≤即－1≤y≤0.

答案：A

5．已知函数y＝logx(2－x)，则它的定义域为(　　)

A．(－∞，2)  B．(0,2)

C．(1,2)  D．(0,1)∪(1,2)

解析：由题易知解得0＜x＜2，且x≠1，故选D.

答案：D

6．已知函数f(x)＝log2x的值域是[1,2]，则它的定义域可用区间表示为________．

解析：函数f(x)＝log2x是定义域上的增函数，易知当值域为[1,2]时，定义域为[2,4]．

答案：[2,4]

7．若指数函数f(x)＝ax(x∈R)的部分对应值如下表：

g(x)是f(x)的反函数，则不等式g(x)＜0的解集为________．

解析：由表可得a＝2，即函数g(x)＝log2x，根据其单调性知，解集为{x|0＜x＜1}．

答案：{x|0＜x＜1}

8．函数f(x)＝的定义域为________．

解析：要使f(x)有意义，须满足⇒x≥3.

答案：[3，＋∞)

9．求下列函数的定义域：

(1)f(x)＝；

(2)y＝log(x－2)(5－x)．

解析：(1)由得x＜4且x≠3，

∴所求定义域为(－∞，3)∪(3,4)．

(2)∵∴∴2＜x＜3或3＜x＜5，

∴所求定义域为(2,3)∪(3,5)．

10．作出函数y＝|log2x|＋2的图像，并根据图像写出函数的单调区间及值域．

解析：先做出函数y＝log2x的图像图甲，再将y＝log2x在x轴下方的图像关于x轴对称翻折到x轴上方(原来在x轴上方的图像不变)，得到函数y＝|log2x|的图像图乙，然后将y＝|log2x|的图像向上平移2个单位长度，得函数y＝|log2x|＋2的图像图丙．y＝|log2x|＋2的单调增区间是[1，＋∞)，单调递减区间是(0,1)，值域是[2，＋∞)．

[B组　能力提升]

11．已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．a＜b＜c  B．c＜b＜a

C．b＜a＜c  D．b＜c＜a

解析：奇函数f(x)在R上是增函数，当x＞0时，f(x)＞f(0)＝0，当x1＞x2＞0时，f(x1)＞f(x2)＞0，

∴x1f(x1)＞x2f(x2)，∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增，且g(x)＝xf(x)是偶函数，∴a＝g(－log25.1)＝g(log25.1).2＜log25.1＜3,1＜20.8＜2，由g(x)在(0，＋∞)上单调递增，得g(20.8)＜g(log25.1)＜g(3)，

∴b＜a＜c，故选C.

答案：C

12．设函数f(x)＝log2x的反函数为y＝g(x)，且g(a)＝，则a等于(　　)

A．2      B．－2        C.        D．－

解析：∵函数f(x)＝log2x的反函数为y＝2x，

即g(x)＝2x.又∵g(a)＝，∴2a＝，∴a＝－2.

答案：B

13．函数f(x)＝log2[log2(log2x)]的定义域为________．

解析：由题意可得：log2(log2x)＞0，∴log2x＞1，∴x＞2.

答案：(2，＋∞)

14．已知y＝log2(ax＋1)(a≠0)的定义域为(－∞，1)，则a＝________.

解析：由题得：y＝log2(ax＋1)(a≠0)，

∴ax＋1＞0，

∵函数定义域为(－∞，1)，

∴可得x＜－，且－＝1，∴a＝－1.

答案：－1

15．已知f(x)＝loga(a＞0，a≠1)．

(1)求f(x)的定义域；

(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；

(3)若f＝1，求a的值．

解析：(1)∵f(x)＝loga，需有＞0，

即(1＋x)(1－x)＞0，(x＋1)(x－1)＜0，

∴－1＜x＜1.∴函数f(x)的定义域为(－1,1)．

(2)f(x)为奇函数，证明如下：

∵f(－x)＝loga＝loga－1＝－loga＝－f(x)，且x∈(－1,1)．∴f(x)为奇函数．

(3)∵f＝loga＝loga3.

∴loga3＝1，故a＝3.

16．已知函数f(x)＝log2(1＋x2)．求证：

(1)函数f(x)是偶函数；

(2)函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数．

证明：(1)函数f(x)的定义域是R，关于原点对称，

f(－x)＝log2[1＋(－x)2]＝log2(1＋x2)＝f(x)，

所以f(x)为偶函数．

(2)设x1，x2，且x1＞x2＞0，

f(x1)－f(x2)＝log2－log2＝log2，

∵x1＞x2，∴1＋x＞1＋x，＞1，

∴log2＞log21＝0，

即f(x1)－f(x2)＞0，

∴函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数.