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高中数学沪教版高中二年级 第一学期8.2向量的数量积多媒体教学ppt课件
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这是一份高中数学沪教版高中二年级 第一学期8.2向量的数量积多媒体教学ppt课件，共27页。PPT课件主要包含了acosθ，b在a方向上，典例分析，举一反三，易错警示，错解①②③④⑤⑥等内容，欢迎下载使用。
2. 平面向量的数量积(1)平面向量数量积的定义已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,我们把数量 叫做向量a和b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b= ,并规定：零向量与任一向量的数量积为 .(2)一向量在另一向量方向上的投影①定义:设θ是非零向量a和b的夹角,则 叫做 a在b的方向上的投影,|b|csθ叫做 投影.b在a的方向上的投影是一个实数,而不是向量,当0°≤θ<90°时,它是 ,当90°<θ≤180°时,它是 ,当θ=90°时,它是 .②a·b的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与 的投影|b|cs θ的乘积.
|a||b|·cs θ
3. 向量的数量积的性质设a,b都是非零向量,e是与b方向相同的单位向量,θ是a与e的夹角,则(1)e·a=a·e= |a|cs θ.(2)a⊥b a·b= 0.(3)当a与b同向时, a·b=|a||b|.当a与b反向时, a·b=-|a||b|.特别地:a·a=a2=|a|2或|a|= .(4)|a·b| ≤ |a||b|.(5) (α是a与b的夹角).
4. 向量数量积的运算律(1)a·b= b·a (交换律);(2)(λa)·b= λ(a·b) = a·(λb) (数乘结合律);(3)(a+b)·c= a·c+b·c (分配律).
5. 平面向量数量积的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2).(1)a·b= x1x2+y1y2.(2).(3).
(4)若a与b夹角为θ,则.(5)若c的起点坐标和终点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则
6. 平面向量在平面几何中的应用用向量方法解决几何问题一般分四步:(1)选好基向量；(2)建立平面几何与向量的 联系 ,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为 向量问题；(3)通过 向量运算 研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题;(4)把运算结果“翻译”成 几何关系.
题型一 数量积的运算【例1】(2009·广东联考)已知向量,且.求a·b及|a+b|.分析 利用数量积的坐标运算及性质,注意x的取值范围.
学后反思 与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型.解答此类问题,除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、夹角的坐标运算公式外,还应掌握三角恒等变换的相关知识，分析求模类型.
1.（2010·广州综测）已知点A(1,0),B(0,1),C（2sin θ,cs θ）.（1）若|AC|=|BC|,求tanθ的值；（2）若（OA+2OB）·OC=1,其中O为坐标原点，求sin2θ的值.
解析： （1）方法一： 则
题型三 夹角问题【例3】(14分)已知a、b都是非零向量,且|a|=|b|=|a-b|.求a与a+b的夹角.
学后反思 (1)求两个向量的夹角,需求得a·b及|a|,|b|或得出它们的关系,注意夹角的取值范围是 [0°,180° ].(2)向量有两种表示形式,即坐标法和几何法,解题时要灵活选择.本题通过比较两种方法发现,利用向量的几何形式解答此类题目显得更加简捷和直观.
题型四 综合应用问题【例4】 已知向量a=(x2,x+1),b=(1-x,t).若函数f(x)=a·b在区间(-1,1)上是增函数,求t的取值范围.分析 先求出f(x)的表达式,然后利用导数与函数单调性的关系及本函数的性质求解，注意x的取值范围.
解 因为f(x)=a·b=x2(1-x)+t(x+1)=-x3+x2+tx+t,所以f′(x)=-3x2+2x+t.若f(x)在(-1,1)上是增函数,则在(-1,1)上f′(x)≥0.所以
而当t≥5时,f′(x)在(-1,1)上满足f′(x)>0,即若f(x)在(-1,1)上是增函数,则t的取值范围为 [5,+∞).
学后反思 新课标强调向量的工具性,要求加强向量与三角、函数、解析几何、立体几何等知识的联系,因此,把函数、向量、导数等知识进行综合必将是高考的趋势.本题实质上是应用导数解决函数的单调性问题,向量起到构造函数关系的作用,一旦求出函数解析式f(x)=-x3+x2+tx+t,就可以用导数等知识解决.解题时应分清层次,明确向量在综合问题中的作用,把复杂问题分解为多个简单问题来解决.
12.（2009·江苏）设a=(4cs α,sin α),b=(sin β,4cs β),c=(cs β,-4sin β).（1）若a与b-2c垂直，求tan(α+β)的值；（2）求|b+c|的最大值.(3) tanαtanβ=16,求证：a∥b
解 因为a与b-2c垂直，∴a·(b-2c)=4csαsin β-8cs αcs β+4sin αcs β+8sin αsin β=4sin(α+β)-8cs（α+β）=0,∴tan(α+β)=2.
2. 平面向量的数量积(1)平面向量数量积的定义已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,我们把数量 叫做向量a和b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b= ,并规定：零向量与任一向量的数量积为 .(2)一向量在另一向量方向上的投影①定义:设θ是非零向量a和b的夹角,则 叫做 a在b的方向上的投影,|b|csθ叫做 投影.b在a的方向上的投影是一个实数,而不是向量,当0°≤θ<90°时,它是 ,当90°<θ≤180°时,它是 ,当θ=90°时,它是 .②a·b的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与 的投影|b|cs θ的乘积.
|a||b|·cs θ
3. 向量的数量积的性质设a,b都是非零向量,e是与b方向相同的单位向量,θ是a与e的夹角,则(1)e·a=a·e= |a|cs θ.(2)a⊥b a·b= 0.(3)当a与b同向时, a·b=|a||b|.当a与b反向时, a·b=-|a||b|.特别地:a·a=a2=|a|2或|a|= .(4)|a·b| ≤ |a||b|.(5) (α是a与b的夹角).
4. 向量数量积的运算律(1)a·b= b·a (交换律);(2)(λa)·b= λ(a·b) = a·(λb) (数乘结合律);(3)(a+b)·c= a·c+b·c (分配律).
5. 平面向量数量积的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2).(1)a·b= x1x2+y1y2.(2).(3).
(4)若a与b夹角为θ,则.(5)若c的起点坐标和终点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则
6. 平面向量在平面几何中的应用用向量方法解决几何问题一般分四步:(1)选好基向量；(2)建立平面几何与向量的 联系 ,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为 向量问题；(3)通过 向量运算 研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题;(4)把运算结果“翻译”成 几何关系.
题型一 数量积的运算【例1】(2009·广东联考)已知向量,且.求a·b及|a+b|.分析 利用数量积的坐标运算及性质,注意x的取值范围.
学后反思 与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型.解答此类问题,除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、夹角的坐标运算公式外,还应掌握三角恒等变换的相关知识，分析求模类型.
1.（2010·广州综测）已知点A(1,0),B(0,1),C（2sin θ,cs θ）.（1）若|AC|=|BC|,求tanθ的值；（2）若（OA+2OB）·OC=1,其中O为坐标原点，求sin2θ的值.
解析： （1）方法一： 则
题型三 夹角问题【例3】(14分)已知a、b都是非零向量,且|a|=|b|=|a-b|.求a与a+b的夹角.
学后反思 (1)求两个向量的夹角,需求得a·b及|a|,|b|或得出它们的关系,注意夹角的取值范围是 [0°,180° ].(2)向量有两种表示形式,即坐标法和几何法,解题时要灵活选择.本题通过比较两种方法发现,利用向量的几何形式解答此类题目显得更加简捷和直观.
题型四 综合应用问题【例4】 已知向量a=(x2,x+1),b=(1-x,t).若函数f(x)=a·b在区间(-1,1)上是增函数,求t的取值范围.分析 先求出f(x)的表达式,然后利用导数与函数单调性的关系及本函数的性质求解，注意x的取值范围.
解 因为f(x)=a·b=x2(1-x)+t(x+1)=-x3+x2+tx+t,所以f′(x)=-3x2+2x+t.若f(x)在(-1,1)上是增函数,则在(-1,1)上f′(x)≥0.所以
而当t≥5时,f′(x)在(-1,1)上满足f′(x)>0,即若f(x)在(-1,1)上是增函数,则t的取值范围为 [5,+∞).
学后反思 新课标强调向量的工具性,要求加强向量与三角、函数、解析几何、立体几何等知识的联系,因此,把函数、向量、导数等知识进行综合必将是高考的趋势.本题实质上是应用导数解决函数的单调性问题,向量起到构造函数关系的作用,一旦求出函数解析式f(x)=-x3+x2+tx+t,就可以用导数等知识解决.解题时应分清层次,明确向量在综合问题中的作用,把复杂问题分解为多个简单问题来解决.
12.（2009·江苏）设a=(4cs α,sin α),b=(sin β,4cs β),c=(cs β,-4sin β).（1）若a与b-2c垂直，求tan(α+β)的值；（2）求|b+c|的最大值.(3) tanαtanβ=16,求证：a∥b
解 因为a与b-2c垂直，∴a·(b-2c)=4csαsin β-8cs αcs β+4sin αcs β+8sin αsin β=4sin(α+β)-8cs（α+β）=0,∴tan(α+β)=2.
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