新教材2022届高考数学人教版一轮复习课件：专题突破四 立体几何中的综合问题

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类题通法利用空间向量证明空间垂直、平行的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系，建系时要尽可能地利用条件中的垂直关系． (2)建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素． (3)通过空间向量的运算求出直线的方向向量或平面的法向量，再研究平行、垂直关系．(4)根据运算结果解释相关问题．
题型二　利用空间向量求异面直线所成的角[例2]　如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°.(1)求证：BD⊥平面PAC；(2)若PA＝AB，求PB与AC所成角的余弦值．
(2)在各棱长均相等的直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知M是BB1的中点，N是棱AC的中点，则异面直线A1M与BN所成角的正切值为________．
题型三　利用空间向量求线面角[例3]　[2020·新高考Ⅰ卷] 如图，四棱锥P ­ ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l.(1)证明：l⊥平面PDC；(2)已知PD＝AD＝1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．
解析：(1)因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥AD.又底面ABCD为正方形，所以AD⊥DC.因此AD⊥平面PDC.因为AD∥BC，AD⊄平面PBC，所以AD∥平面PBC.由已知得l∥AD.因此l⊥平面PDC.
巩固训练3：如图，在三棱台ABC－DEF中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB＝∠ACD＝45°，DC＝2BC.(1)证明：EF⊥DB；(2)求直线DF与平面DBC所成角的正弦值．
类题通法利用向量计算二面角大小的常用方法 (1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐(钝)二面角．(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．
巩固训练4：[2021·山东青岛模拟]在以ABCDEF为顶点的五面体中，底面ABCD为菱形，∠ABC＝120°，AB＝AE＝ED＝2EF，EF∥AB，二面角E－AD－B为直二面角．(1)证明：BD⊥FC；(2)求二面角A－CF－B的余弦值．
类题通法 1.空间角的综合多数是线面角和二面角之间的综合，当然也不排除线线角与它们的综合．2．常规思路：根据已知角，求得题中未知量，进而求出另一个角．
　状 元 笔 记　一、立体几何中的折叠问题[典例1]　[2018·全国卷Ⅰ]如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF.(1)证明：平面PEF⊥平面ABFD；(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值．
【解析】　(1)证明：由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，所以BF⊥平面PEF，又BF⊂平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.
【解题思路】　(1)①翻折前后的不变关系，四边形ABFE是矩形．②证明BF⊥平面PEF.③证明平面PEF⊥平面ABFD.(2)①建系：借助第(1)问，过P作平面ABFD的垂线为z轴，垂足为原点，EF所在直线为y轴，建系．②求直线DP的方向向量和平面ABFD的法向量．③由公式计算所求角的正弦值．
[典例2]　[2019·全国卷Ⅲ]图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60 °.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2.(1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；(2)求图2中的二面角B －CG －A的大小．
【解析】　(1)证明：由已知得AD∥BE，CG∥BE，所以AD∥CG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面．由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，故AB⊥平面BCGE.又因为AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE.
类题通法 (1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量．一般情况下，长度是不变量，而位置关系往往发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口． (2)在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形．(3)解决折叠问题的关注点：平面图形折叠成空间图形，主要抓住变与不变的量，所谓不变的量，即是指“未折坏”的元素，包括“未折坏”的边和角，一般优先标出未折坏的直角(从而观察是否存在线面垂直)，然后标出其他特殊角，以及所有不变的线段．