高考数学一轮复习第三章3.2.3导数的综合应用课时作业理含解析

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1．[2021·长沙市四校高三年级模拟考试]已知函数f(x)＝sinx－xcsx－eq \f(1,6)x3，f′(x)为f(x)的导数．
(1)证明：f′(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上不存在零点；
(2)若f(x)>kx－xcsx－eq \f(1,6)x3－1对x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))恒成立，求实数k的取值范围．
2．[2021·山东泰安一中联考]已知函数f(x)＝eq \f(1,2)x2－alnx＋1(a∈R)．
(1)若函数f(x)在[1,2]上是单调递增函数，求实数a的取值范围；
(2)若－2≤a0在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上恒成立，故f′(x)>0在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上恒成立，
故f′(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上不存在零点．
(2)由f(x)>kx－xcsx－eq \f(1,6)x3－1，得sinx>kx－1.
∵x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴k－ex，故ex＋ax>ex－ex≥0在(0，＋∞)上恒成立．
故f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．
f(x)min＝f(1)＝a＋e>0，故当a>－e时，f(x)没有零点．
当a