2022版新高考数学人教版一轮课件：第2章 第4讲 函数的奇偶性与周期性

这是一份2022版新高考数学人教版一轮课件：第2章 第4讲 函数的奇偶性与周期性，共57页。PPT课件主要包含了最小的正数，最小正数，××√√×，②③⑤等内容，欢迎下载使用。

第四讲　函数的奇偶性与周期性
1 知识梳理·双基自测
2 考点突破·互动探究
3 名师讲坛·素养提升
知识点一　函数的奇偶性
f(－x)＝f(x)
f(－x)＝－f(x)
知识点二　函数的周期性1．周期函数对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有_______________，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个______________，那么这个_________就叫做f(x)的最小正周期．
f(x＋T)＝f(x)
题组一　走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．(　　)(2)若函数f(x)是奇函数，则必有f(0)＝0.(　　)(3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(　　)(4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称．(　　)(5)2π是函数f(x)＝sin x，x∈(－∞，0)的一个周期．(　　)
3．(必修1P45T5改编)若函数y＝f(x)(x∈R)是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数y＝f(x)图象上的是(　　)A．(a，－f(a)) B．(－a，－f(a))C．(－a，－f(－a)) D．(a，f(－a))[解析]　∵函数y＝f(x)为奇函数，∴f(－a)＝－f(a)．即点(－a，－f(a))一定在函数y＝f(x)的图象上．
4．(必修1P45T6改编)若奇函数f(x)在区间[a，b]上是减函数，则它在[－b，－a]上是_________函数；若偶函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，则它在[－b，－a]上是_________函数．5．(必修4P46T10改编)已知函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝lg3(x2＋3)，则f(2 022)＝_________．
考向1　判断函数的奇偶性——自主练透
判断函数的奇偶性的方法(1)定义法：若函数的定义域不是关于原点对称的区间，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的区间，再判断f(－x)是否等于f(x)或－f(x)，据此得出结论．(2)图象法：奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(或y轴)对称．
(3)性质法：偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．(注：利用上述结论时要注意各函数的定义域)
考向2　函数的性质的综合应用——多维探究角度1　利用奇偶性求参数的值或取值范围
角度2　函数奇偶性与单调性结合
角度3　函数奇偶性与周期性结合
角度4　单调性、奇偶性和周期性结合
[解析]　因为f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．因为f(x)在区间[0，2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数，所以f(x)在区间[－2，2]上是增函数，所以f(－1)函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略1．函数单调性与奇偶性结合．注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．2．周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．3．周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．
(3)(角度3)(2018·课标全国Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)，若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝(　　)A．－50 B．0 C．2 D．50
(4)(角度4)(2021·湖北、山东部分重点中学第一次联考，8)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，且y＝f(x＋3)为偶函数，若f(x)在(0，3)内单调递减，则下面结论正确的是(　　)A．f(－4.5)(3)∵f(x)是奇函数，且f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(1－x)＝f(1＋x)＝－f(x－1)，f(0)＝0，则f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即函数f(x)是周期为4的周期函数，∵f(1)＝2，∴f(2)＝－f(0)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，f(4)＝f(0)＝0，
－2(x＋4)(x＋3)
2×(2 022－x)(x－2 021)
利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．
函数三大性质的综合应用
函数的奇偶性、周期性及单调性，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．