2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习学案：4.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切

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eq \x(考点一) 三角函数公式的基本应用
[自主练透型]
1．[2021·山西吕梁阶段检测]sin 7°cs 37°－sin 83°cs 307°＝( )
A．－eq \f(1,2) B.eq \f(1,2) C．－eq \f(\r(3),2) D.eq \f(\r(3),2)
2．[2021·湖南益阳、湘潭质量统测]已知sin α＝eq \f(1,3)(角α为第二象限角)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝( )
A.eq \f(4－\r(2),6) B.eq \f(\r(2)－2,6) C.eq \f(4＋\r(2),6) D.eq \f(\r(2)－4,6)
3．[2020·全国卷Ⅲ]已知2tan θ－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝7，则tan θ＝( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2

悟·技法
三角函数公式的应用策略
(1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．
(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用.
考点二 三角函数公式的活用[互动讲练型]
[例1] (1)在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则cs C的值为( )
A．－eq \f(\r(2),2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(1,2) D．－eq \f(1,2)
(2)[2021·陕西汉中模拟]化简：eq \f(sin 10°,1－\r(3)tan 10°)＝( )
A.eq \f(1,4) B. eq \f(1,2) C．1 D．－eq \f(\r(3),3)
悟·技法
三角函数公式活用技巧
(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．
(2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用(如本例(1)).
[变式练]——(着眼于举一反三)
1．已知sin 2α＝eq \f(1,3)，则cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝( )
A．－eq \f(1,3) B.eq \f(1,3) C．－eq \f(2,3) D.eq \f(2,3)
2．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))－sin α＝eq \f(4\r(3),5)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(11π,6)))＝________.
3．(1＋tan 20°)(1＋tan 25°)＝________.
考点三 角的变换[互动讲练型]
[例2] (1)已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))＝－2，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝( )
A．－eq \f(1,3) B.eq \f(1,3) C．－3 D．3
(2)[2021·百校联盟联考]已知α、β都是锐角，cs(α＋β)＝eq \f(5,13)，sin(α－β)＝eq \f(3,5)，则sin α＝( )
A.eq \f(9\r(130),130) B.eq \f(7\r(130),130)
C.eq \f(7\r(65),65) D.eq \f(4\r(65),65)
悟·技法
利用角的变换求三角函数值的策略
(1)当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式．
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
(3)常见的角变换技巧：
α＝2·eq \f(α,2)；α＝(α＋β)－β；α＝β－(β－α)；
α＝eq \f(1,2)[(α＋β)＋(α－β)]；β＝eq \f(1,2)[(α＋β)－(α－β)]；
eq \f(π,4)＋α＝eq \f(π,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α)).
(4)特殊角的拆分：eq \f(7π,12)＝eq \f(π,3)＋eq \f(π,4)，eq \f(5π,12)＝eq \f(π,4)＋eq \f(π,6)，eq \f(π,12)＝eq \f(π,3)－eq \f(π,4).
[变式练]——(着眼于举一反三)
4．已知α，β均为锐角，cs α＝eq \f(4,5)，tan(α－β)＝－eq \f(1,3)，则tan β＝________.
5．若cs(75°－α)＝eq \f(1,3)，则cs(30°＋2α)＝________.
第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切
课堂考点突破
考点一
1．解析：sin 7°cs 37°－sin 83°cs 307°＝sin 7°cs 37°－cs 7°sin 37°＝sin(7°－37°)＝sin(－30°)＝－sin 30°＝－eq \f(1,2)，故选A.
答案：A
2．解析：因为角α为第二象限角，且sin α＝eq \f(1,3)，所以cs α＝－eq \f(2\r(2),3).所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝cs αcs eq \f(π,4)＋sin αsin eq \f(π,4)＝－eq \f(\r(2),2)×eq \f(2\r(2),3)＋eq \f(1,3)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(2)－4,6).故选D.
答案：D
3．解析：2tan θ－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝2tan θ－eq \f(tan θ＋1,1－tan θ)＝7，整理可得tan2θ－4tan θ＋4＝0，∴tan θ＝2，故选D.
答案：D
考点二
例1 解析：(1)由tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，可得eq \f(tan A＋tan B,1－tan Atan B)＝－1，即tan(A＋B)＝－1，又A＋B∈(0，π)，所以A＋B＝eq \f(3π,4)，则C＝eq \f(π,4)，cs C＝eq \f(\r(2),2).
(2)eq \f(sin 10°,1－\r(3)tan 10°)＝eq \f(sin 10°cs 10°,cs 10°－\r(3)sin 10°)＝eq \f(2sin 10°cs 10°,4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs 10°－\f(\r(3),2)sin 10°)))
＝eq \f(sin 20°,4sin30°－10°)＝eq \f(1,4)，故选A.
答案：(1)B (2)A
变式练
1．解析：cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(1＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,2))),2)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)sin 2α＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,3)＝eq \f(2,3).
答案：D
2．解析：由cs(α＋eq \f(π,6))－sin α＝eq \f(\r(3),2)cs α－eq \f(1,2)sin α－sin α＝eq \f(\r(3),2)cs α－eq \f(3,2)sin α＝eq \r(3)(eq \f(1,2)cs α－eq \f(\r(3),2)sin α)＝eq \r(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝eq \f(4\r(3),5)，得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝eq \f(4,5).sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(11π,6)))＝－sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(11π,6)))))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝－eq \f(4,5).
答案：－eq \f(4,5)
3．解析：(1＋tan 20°)(1＋tan 25°)＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25°＝1＋tan(20°＋25°)(1－tan 20°tan 25°)＋tan 20°tan 25°＝2.
答案：2
考点三
例2 解析：(1)∵taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))＝－2，∴taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))＋\f(π,4)))＝eq \f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))＋tan\f(π,4),1－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))·tan\f(π,4))＝eq \f(－2＋1,1－－2×1)＝－eq \f(1,3)，故选A.
(2)∵α、β都是锐角，∴0<α＋β<π，－eq \f(π,2)<α－β∴sin2α＝eq \f(81,130)，∵sin α>0，∴sin α＝eq \f(9\r(130),130)，故选A.
答案：(1)A (2)A
变式练
4．解析：由于α为锐角，且cs α＝eq \f(4,5)，故sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \f(3,5)，tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(3,4).由tan (α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan α·tan β)＝－eq \f(1,3)，解得tan β＝eq \f(13,9).
答案：eq \f(13,9)
5．解析：∵cs(75°－α)＝sin(15°＋α)＝eq \f(1,3)，
∴cs(30°＋2α)＝1－2sin2(15°＋α)＝1－2×eq \f(1,9)＝eq \f(7,9).
答案： eq \f(7,9)