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2022版高三全国统考数学（文）大一轮备考课件：第1章第2讲 常用逻辑用语
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这是一份2022版高三全国统考数学（文）大一轮备考课件：第1章第2讲 常用逻辑用语，共45页。PPT课件主要包含了考点帮·必备知识通关，考法帮·解题能力提升，提能力∙数学探索，考情解读，定义法，思维导引等内容，欢迎下载使用。
考点1 命题及四种命题间的关系考点2 充分条件与必要条件考点3 逻辑联结词考点4 全称命题与特称命题
考法1 四种命题及其真假判断
考法2 充分条件与必要条件的应用
考法3 逻辑联结词考法4 全（特）称命题
高分帮 ·“双一流”名校冲刺
数学探索 突破双变量“存在性或任意性”问题
考点1 命题及四种命题间的关系考点2 充分条件与必要条件考点3 逻辑联结词考点4 全称命题与特称命题
考点1 命题及四种命题间的关系
1.命题的概念用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫作命题.判断为真的语句叫作真命题,判断为假的语句叫作假命题.2.四种命题及其相互关系
3.四种命题的真假关系(1)若两个命题互为逆否命题,则它们的真假性相同.(2)两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系.(3)在四种形式的命题中,真命题的个数只能是0,2,4.规律总结 常用的词语的否定
考点2 充分条件与必要条件
记p :x∈A,q :x∈B,则
注意 不能将“若p,则q”与“p⇒q”混为一谈,只有“若p,则q”为真命题时,才有“p⇒q”,即“p⇒q” ⇔“若p,则q”为真命题.
考点3 逻辑联结词
1.概念命题中的“或”“且”“非”叫作逻辑联结词.符号分别为“∨”“∧”“¬”.说明 用“并集”的概念来理解“或”,用“交集”的概念来理解“且”,用补集的概念来理解“非”.
2.命题p∨q,p∧q, ¬p的真假判断
说明 确定p∧q,p∨q,¬p真假的记忆口诀如下:p∧q→见假即假,p∨q→见真即真,p 与¬p→真假相反.
思维拓展 1.复合命题的否定:(1)“¬p”的否定是“p”;(2)“p∨q”的否定是“¬p∧¬q”;(3)“p∧q”的否定是“¬p∨¬q”. 2.命题的否定与否命题的区别:¬p是命题的否定,它是对结论进行否定,而否命题是同时否定条件和结论.
考点4 全称命题与特称命题
1.全称量词与存在量词
2.全称命题与特称命题
3.含有一个量词的命题的否定
考法1 四种命题及其真假判断四种命题及其真假判断考法2充充分条件与必要条件的应用分条件与必要条件的应用考法3 逻辑联结词考法4 全（特）称命题
考法1 四种命题及其真假判断
示例1 给出命题:若函数y=f (x)是幂函数,则函数y=f (x)的图象不过第四象限.在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中,真命题的个数是 A.3B.2C.1D.0解析 原命题是真命题,故它的逆否命题是真命题;它的逆命题为“若函数y=f(x)的图象不过第四象限,则函数y=f(x)是幂函数”,显然逆命题为假命题,故原命题的否命题也为假命题.因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个.答案 C
考法1 集合的含义与表示
方法技巧 判断命题真假的方法
考法2 充分条件与必要条件的应用
命题角度1 充分条件与必要条件的判断示例2 (1)[2020北京,9,4分]已知α,β∈R,则“存在k∈Z,使得α=kπ+(-1)kβ”是“sin α=sin β”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件(2)[2019天津,3,5分][文]设x∈R,则“x2-5x<0”是“|x-1|<1”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 (1)(定义法) 若存在k∈Z,使得α=kπ+(-1)kβ,则当k=2n,n∈Z时,α=2nπ+β,则sin α=sin(2nπ+β)=sin β;当k=2n+1,n∈Z时,α=(2n+1)π-β,则sin α=sin(2nπ+π-β)=sin(π-β)=sin β,充分性成立.若sin α=sin β,则α=2nπ+β或α=2nπ+π-β,n∈Z,即α=kπ+(-1)kβ,k∈Z,必要性成立,则“存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ”是“sin α=sin β”的充分必要条件.(2)(集合法) 由x2-5x<0可得0
2.集合法当所要判断的命题与方程的根、不等式的解集有关,或所描述的对象可以用集合表示时,可以借助集合间的包含关系进行充分条件与必要条件的判断.
3.等价转化法适用于“不易直接正面判断”的情况,可将原命题等价转化为一个易于判断真假的命题.常用的是逆否等价法:(1) ¬q 是¬p的充分不必要条件⇔p是q的充分不必要条件;(2) ¬q是¬p的必要不充分条件⇔p是q的必要不充分条件;(3) ¬q是¬p的充要条件⇔ p是q的充要条件;(4) ¬q是¬p的既不充分也不必要条件⇔ p是q的既不充分也不必要条件.
方法技巧 已知充分、必要条件或充要条件求参数取值范围的策略
考法3 逻辑联结词
命题角度1 判断含逻辑联结词的命题的真假示例4 已知命题p1:当x,y∈R时,|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0;p2:函数y=2x+2-x在R上为减函数.则命题q1:p1∨p2,q2:p1∧p2,q3:(¬p1)∨p2和q4:p1∧(¬p2)中,真命题是 A.q1,q3B.q2,q3C.q1,q4D.q2,q4
方法技巧“p∨q”“p∧q”“¬p”形式命题的真假的判断步骤(1)确定命题构成形式;(2)判断命题p,q的真假;(3)根据真值表确定“p∨q”“p∧q”“¬p”形式命题的真假.命题角度2 已知复合命题真假求参数取值范围示例5 已知命题p :方程x2+mx+1=0有两个不相等的正实数根,命题q :方程4x2+4(m+2)x+1=0无实数根.若“p或q”为真命题,则实数m的取值范围是 .
当q为真命题时,有Δ'=16(m+2)2-16<0,解得-3
考法4 全(特)称命题
方法技巧 全称命题与特称命题真假的判断方法
注意 无论是全称命题还是特称命题,当其真假不容易从正面判断时,都可通过判断其否定的真假来判断.
命题角度2 全(特)称命题的否定示例7 [新课标全国Ⅰ,5分]设命题p:∃n∈N,n2>2n,则¬p为A.∀n∈N,n2>2nB.∃n∈N,n2≤2nC.∀n∈N,n2≤2nD.∃n∈N,n2=2n解析 命题p是特称命题,故¬p是全称命题,又“>”的否定是“≤”,因此¬p为“∀n∈N,n2≤2n”.答案 C
方法技巧 全(特)称命题的否定步骤(1)改写量词:确定命题所含量词的类型,省去量词的要结合命题的含义加上量词,再对量词进行改写(常用的词语的否定详见P006规律总结);(2)否定结论:对原命题的结论进行否定.易错警示 在写一个命题的否定时,一定要深挖隐含条件准确理解题意,从而写出正确的命题的否定.如命题“∀x∈R,ln x>0”中的“ln x>0”实质上是一个由逻辑联结词“且”联结的复合结论,即“ln x有意义且ln x>0”,所以“ln x>0”的否定应为“ln x无意义或ln x≤0”.
命题角度3 与全(特)称命题有关的参数问题示例8 已知命题p“∃x∈R,使得ex≤2x+a”为假命题,则实数a的取值范围是 .解析 命题p是一个特称命题且为假命题,故¬p是一个全称命题且为真命题.¬p :∀x∈R,使得ex>2x+a,即ex-2x-a>0恒成立. …… (转化为恒成立问题)设f(x)=ex-2x-a,则f '(x)=ex-2.令f '(x)=0,即ex-2=0,解得x=ln 2.所以当x∈(-∞,ln 2)时,f '(x)<0,函数f(x)单调递减;当x∈(ln 2,+∞)时,f '(x)>0,函数f(x)单调递增.
所以当x=ln 2时,函数f(x)取得最小值f(ln 2)=eln 2-2ln 2-a=2-2ln 2-a.由不等式ex-2x-a>0恒成立可得f(x)min>0,即2-2ln 2-a>0,所以a<2-2ln 2.所以a的取值范围是(-∞,2-2ln 2).方法技巧 此类问题本质是恒成立问题或有解问题.求解时,一般先利用等价转化思想将条件合理转化,得到关于参数的方程或不等式(组),再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或取值范围.
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提能力 ∙ 数学探索数学探索 突破双变量“存在性或任意性”问题
数学探索 突破双变量“存在性或任意性”问题
考点1 命题及四种命题间的关系考点2 充分条件与必要条件考点3 逻辑联结词考点4 全称命题与特称命题
考法1 四种命题及其真假判断
考法2 充分条件与必要条件的应用
考法3 逻辑联结词考法4 全（特）称命题
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数学探索 突破双变量“存在性或任意性”问题
考点1 命题及四种命题间的关系考点2 充分条件与必要条件考点3 逻辑联结词考点4 全称命题与特称命题
考点1 命题及四种命题间的关系
1.命题的概念用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫作命题.判断为真的语句叫作真命题,判断为假的语句叫作假命题.2.四种命题及其相互关系
3.四种命题的真假关系(1)若两个命题互为逆否命题,则它们的真假性相同.(2)两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系.(3)在四种形式的命题中,真命题的个数只能是0,2,4.规律总结 常用的词语的否定
考点2 充分条件与必要条件
记p :x∈A,q :x∈B,则
注意 不能将“若p,则q”与“p⇒q”混为一谈,只有“若p,则q”为真命题时,才有“p⇒q”,即“p⇒q” ⇔“若p,则q”为真命题.
考点3 逻辑联结词
1.概念命题中的“或”“且”“非”叫作逻辑联结词.符号分别为“∨”“∧”“¬”.说明 用“并集”的概念来理解“或”,用“交集”的概念来理解“且”,用补集的概念来理解“非”.
2.命题p∨q,p∧q, ¬p的真假判断
说明 确定p∧q,p∨q,¬p真假的记忆口诀如下:p∧q→见假即假,p∨q→见真即真,p 与¬p→真假相反.
思维拓展 1.复合命题的否定:(1)“¬p”的否定是“p”;(2)“p∨q”的否定是“¬p∧¬q”;(3)“p∧q”的否定是“¬p∨¬q”. 2.命题的否定与否命题的区别:¬p是命题的否定,它是对结论进行否定,而否命题是同时否定条件和结论.
考点4 全称命题与特称命题
1.全称量词与存在量词
2.全称命题与特称命题
3.含有一个量词的命题的否定
考法1 四种命题及其真假判断四种命题及其真假判断考法2充充分条件与必要条件的应用分条件与必要条件的应用考法3 逻辑联结词考法4 全（特）称命题
考法1 四种命题及其真假判断
示例1 给出命题:若函数y=f (x)是幂函数,则函数y=f (x)的图象不过第四象限.在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中,真命题的个数是 A.3B.2C.1D.0解析 原命题是真命题,故它的逆否命题是真命题;它的逆命题为“若函数y=f(x)的图象不过第四象限,则函数y=f(x)是幂函数”,显然逆命题为假命题,故原命题的否命题也为假命题.因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个.答案 C
考法1 集合的含义与表示
方法技巧 判断命题真假的方法
考法2 充分条件与必要条件的应用
命题角度1 充分条件与必要条件的判断示例2 (1)[2020北京,9,4分]已知α,β∈R,则“存在k∈Z,使得α=kπ+(-1)kβ”是“sin α=sin β”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件(2)[2019天津,3,5分][文]设x∈R,则“x2-5x<0”是“|x-1|<1”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 (1)(定义法) 若存在k∈Z,使得α=kπ+(-1)kβ,则当k=2n,n∈Z时,α=2nπ+β,则sin α=sin(2nπ+β)=sin β;当k=2n+1,n∈Z时,α=(2n+1)π-β,则sin α=sin(2nπ+π-β)=sin(π-β)=sin β,充分性成立.若sin α=sin β,则α=2nπ+β或α=2nπ+π-β,n∈Z,即α=kπ+(-1)kβ,k∈Z,必要性成立,则“存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ”是“sin α=sin β”的充分必要条件.(2)(集合法) 由x2-5x<0可得0
2.集合法当所要判断的命题与方程的根、不等式的解集有关,或所描述的对象可以用集合表示时,可以借助集合间的包含关系进行充分条件与必要条件的判断.
3.等价转化法适用于“不易直接正面判断”的情况,可将原命题等价转化为一个易于判断真假的命题.常用的是逆否等价法:(1) ¬q 是¬p的充分不必要条件⇔p是q的充分不必要条件;(2) ¬q是¬p的必要不充分条件⇔p是q的必要不充分条件;(3) ¬q是¬p的充要条件⇔ p是q的充要条件;(4) ¬q是¬p的既不充分也不必要条件⇔ p是q的既不充分也不必要条件.
方法技巧 已知充分、必要条件或充要条件求参数取值范围的策略
考法3 逻辑联结词
命题角度1 判断含逻辑联结词的命题的真假示例4 已知命题p1:当x,y∈R时,|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0;p2:函数y=2x+2-x在R上为减函数.则命题q1:p1∨p2,q2:p1∧p2,q3:(¬p1)∨p2和q4:p1∧(¬p2)中,真命题是 A.q1,q3B.q2,q3C.q1,q4D.q2,q4
方法技巧“p∨q”“p∧q”“¬p”形式命题的真假的判断步骤(1)确定命题构成形式;(2)判断命题p,q的真假;(3)根据真值表确定“p∨q”“p∧q”“¬p”形式命题的真假.命题角度2 已知复合命题真假求参数取值范围示例5 已知命题p :方程x2+mx+1=0有两个不相等的正实数根,命题q :方程4x2+4(m+2)x+1=0无实数根.若“p或q”为真命题,则实数m的取值范围是 .
当q为真命题时,有Δ'=16(m+2)2-16<0,解得-3
考法4 全(特)称命题
方法技巧 全称命题与特称命题真假的判断方法
注意 无论是全称命题还是特称命题,当其真假不容易从正面判断时,都可通过判断其否定的真假来判断.
命题角度2 全(特)称命题的否定示例7 [新课标全国Ⅰ,5分]设命题p:∃n∈N,n2>2n,则¬p为A.∀n∈N,n2>2nB.∃n∈N,n2≤2nC.∀n∈N,n2≤2nD.∃n∈N,n2=2n解析 命题p是特称命题,故¬p是全称命题,又“>”的否定是“≤”,因此¬p为“∀n∈N,n2≤2n”.答案 C
方法技巧 全(特)称命题的否定步骤(1)改写量词:确定命题所含量词的类型,省去量词的要结合命题的含义加上量词,再对量词进行改写(常用的词语的否定详见P006规律总结);(2)否定结论:对原命题的结论进行否定.易错警示 在写一个命题的否定时,一定要深挖隐含条件准确理解题意,从而写出正确的命题的否定.如命题“∀x∈R,ln x>0”中的“ln x>0”实质上是一个由逻辑联结词“且”联结的复合结论,即“ln x有意义且ln x>0”,所以“ln x>0”的否定应为“ln x无意义或ln x≤0”.
命题角度3 与全(特)称命题有关的参数问题示例8 已知命题p“∃x∈R,使得ex≤2x+a”为假命题,则实数a的取值范围是 .解析 命题p是一个特称命题且为假命题,故¬p是一个全称命题且为真命题.¬p :∀x∈R,使得ex>2x+a,即ex-2x-a>0恒成立. …… (转化为恒成立问题)设f(x)=ex-2x-a,则f '(x)=ex-2.令f '(x)=0,即ex-2=0,解得x=ln 2.所以当x∈(-∞,ln 2)时,f '(x)<0,函数f(x)单调递减;当x∈(ln 2,+∞)时,f '(x)>0,函数f(x)单调递增.
所以当x=ln 2时,函数f(x)取得最小值f(ln 2)=eln 2-2ln 2-a=2-2ln 2-a.由不等式ex-2x-a>0恒成立可得f(x)min>0,即2-2ln 2-a>0,所以a<2-2ln 2.所以a的取值范围是(-∞,2-2ln 2).方法技巧 此类问题本质是恒成立问题或有解问题.求解时,一般先利用等价转化思想将条件合理转化,得到关于参数的方程或不等式(组),再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或取值范围.
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