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2022版高三全国统考数学（文）大一轮备考课件：第2章第2讲 函数的基本性质
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这是一份2022版高三全国统考数学（文）大一轮备考课件：第2章第2讲 函数的基本性质，共60页。PPT课件主要包含了考点帮·必备知识通关，考法帮·解题能力提升，提能力∙数学探索，考情解读，函数的最值，图2-2-1，2图象法等内容，欢迎下载使用。
考点1 函数的单调性与最值考点2 函数的奇偶性考点3 函数的周期性
考法1 确定函数的单调性（单调区间）
考法2 函数单调性的应用
考法3 求函数的最值（值域）考法4 判断函数的奇偶性考法5 函数奇偶性的应用考法6 函数周期性的判断及应用考法7 函数性质的综合应用
高分帮 ·“双一流”名校冲刺
通思想∙ 方法指导
数学探索 函数奇偶性的拓广性质及应用
思想方法 利用减元法解决多元变量的最值问题
考点1 函数的单调性与最值
1.单调函数的定义及几何意义
名师提醒 1.函数的单调性定义中的?1,?2有三个特征:一是任意性;二是有大小,即?1?2);三是属于同一个区间,三者缺一不可.2.单调区间只能用区间表示,不能用不等式表示.3.求函数单调区间或讨论函数单调性时,必须先求函数的定义域.4.一个函数的同一种单调区间用“和”或“,”连接,不能用“∪”连接.5.“函数的单调区间是M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念,显然N ⊆M.
3.函数单调性常用结论若函数f (?),g(?)在区间I上具有单调性,则在区间I上有:(1)f (?)与f (?)+c(c为常数)单调性相同.(2)f(?)与a·f (?)在a>0时单调性相同,在a<0时单调性相反.(3)当f (?),g (?)都是增(减)函数时,f (?)+g (?)是增(减)函数;若两者都恒大于零,则f (?)·g (?)也是增(减)函数;若两者都恒小于零,则 f (?)·g (?)是减(增)函数.
考点2 函数的奇偶性
函数奇偶性的概念及性质
注意 既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型,即f(?)=0,?∈D.其中定义域D是关于原点对称的非空数集.
规律总结 一些重要类型的奇偶函数
考点3 函数的周期性
(6)若函数f (?)的图象关于直线?=a与?=b对称,那么函数f(?)的周期为2|b-a|;(7)若函数f (?)的图象既关于点(a,0)对称,又关于点(b,0)对称,则函数f (?)的周期是2|b-a|;(8)若函数f(?)的图象既关于直线?=a对称,又关于点(b,0)对称,则函数f (?)的周期是4|b-a|;(9)若函数f(?)是偶函数,其图象关于直线?=a对称,则其周期为2a;(10)若函数f(?)是奇函数,其图象关于直线?=a对称,则其周期为4a.
考法1 确定函数的单调性（单调区间）考法2 函数单调性的应用考法3 求函数的最值（值域）考法4 判断函数的奇偶性考法5 函数奇偶性的应用考法6 函数周期性的判断及应用考法7 函数性质的综合应用
考法1 确定函数的单调性(单调区间)
示例2 [2017全国卷Ⅱ,8,5分][文]函数f(?)=ln(?2-2?-8)的单调递增区间是 A.(-∞,-2)B.(-∞,1) C.(1,+∞) D.(4,+∞)解析 (复合法)由?2-2?-8>0,得?<-2或?>4.因此,函数f(?)=ln(?2-2?-8)的定义域是(-∞,-2)∪(4,+∞). …………………(先求函数f(?)的定义域)易知函数y=?2-2?-8在(-∞,-2)上单调递减,在(4,+∞)上单调递增,函数y=ln t 为(0,+∞)上的增函数,由复合函数的单调性知,f(?)=ln(?2-2?-8)的单调递增区间是(4,+∞).答案 D
方法技巧 判断函数的单调性和求单调区间的方法(1)定义法:一般步骤为设元—作差—变形—判断符号—得出结论.(2)图象法:若f(?)是以图象形式给出的,或者f(?)的图象易作出,则可由图象的上升或下降确定单调性.(3)导数法:先求导数,再利用导数值的正负确定函数的单调区间.(4)性质法:对于由基本初等函数的和、差构成的函数,根据各基本初等函数的增减性及“增+增=增,增-减=增,减+减=减,减-增=减”进行判断.(5)复合法:对于复合函数,先将函数f (g(? ))分解成f (t )和t =g (?),然后讨论(判断)这两个函数的单调性,再根据复合函数“同增异减”的规则进行判断.
考法2 函数单调性的应用
方法技巧 利用函数的单调性比较大小的方法比较函数值的大小时,若自变量的值不在同一个单调区间内,则要利用函数的性质,将自变量的值转化到同一个单调区间上进行比较,对于选择题、填空题通常选用数形结合的方法进行求解.
命题角度2 求解不等式示例4 (1)[2017全国卷Ⅰ,5,5分]函数f (?)在(-∞,+∞)上单调递减,且为奇函数.若f (1)=-1,则满足-1≤f (?-2)≤1的?的取值范围是A.[-2,2] B.[-1,1]C.[0,4] D.[1,3](2)已知函数f (?)=-?|? |,?∈(-1,1),则不等式f (1-m)?2),在解决“与抽象函数有关的不等式”问题时,可通过“脱去”函数符号“f ”化为一般不等式求解,但必须在同一单调区间内进行.需要说明的是,若不等式一边没有“f ”,而是常数,则应将常数转化为函数值.如若已知0=f (1), f (?-1)<0,则f (?-1)
考法3 求函数的最值(值域)
考法3 求函数的最值(值域)
方法技巧 求函数最值(值域)的方法(1)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性结合端点值求出最值(值域).(2)图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点求出最值(值域),若函数的解析式的几何意义较明显,如距离、斜率等,可用数形结合法求解.(3)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求最值(值域).
考法4 判断函数的奇偶性
(3)当?<0时,-?>0,则f(-?)=-(-?)2-?=-(?2+?)=-f(?);当?>0时,-?<0,则f(-?)=(-?)2-?=-(-?2+?)=-f(?).又f (0)=0,故对任意的?∈(-∞,+∞),都有f(-?)=-f(?), ………. (只有当所有区间上都满足相同关系时,才能判定其奇偶性)所以f (?)为奇函数.
方法技巧 判断函数奇偶性的方法(1)定义法
(3)性质法设f(?),g(?)的定义域分别是D1,D2,那么在它们的公共定义域上,有下面结论:
注意 1.函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件.2.对于分段函数奇偶性的判断,要分段判断f(-?)=f(?)或f(-?)=-f(?)是否成立,只有当所有区间都满足相同关系时,才能判断该分段函数的奇偶性.
考法5 函数奇偶性的应用
方法技巧 函数奇偶性的应用类型及解题策略
易错警示 (1)当能确定函数在0处有定义时,f(0)=0只是f(?)为奇函数的必要非充分条件,用其求出参数值后,还要验证这个值是不是函数为奇函数的充分条件;(2)当不能确定函数在0处是否有定义时,f(0)=0是f(?)为奇函数的既不充分也不必要条件,这时只能用奇函数的定义或其他方法求参数的值.
考法6 函数周期性的判断及应用
方法技巧 1.判断函数的周期性时,只需证明f(?+T)=f(?)(T≠0)便可证明函数是周期函数,且周期为T,函数的周期性常与函数的其他性质综合命题.2.根据函数的周期性,可以由函数的局部性质得到函数的整体性质,即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能.在解决具体问题时,要注意结论:若T是函数的周期,则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期.
考法7 函数性质的综合应用
(2)解法一 ∵f(?)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,∴f(-?)=-f(?),且f(0)=0.∵f(1-?)=f(1+?),∴f(-?)=f(2+?),∴f(2+?)=-f(?),∴f(4+?)=-f(2+?)=f(?),∴f(?)是周期函数,且一个周期为4,∴f(4)=f(0)=0,f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=0,f(3)=f(1+2)=f(1-2)=-f(1)=-2,∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+…+f(50)=12×0+f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2.
解法二 因为函数f(?)满足f(1-?)=f(1+?),可知f(?)的图象关于直线?=1对称.又f(?)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,所以f(0)=0,且已知f(1)=2,计算可得:f(2)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,f(4)=f(-2)=-f(2)=0,f(5)=f(-3)=-f(3)=2,f(6)=f(-4)=-f(4)=0,f(7)=f(-5)=-f(5)=-2,f(8)=f(-6)=-f(6)=0,……所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(49)+f(50)=(2+0-2+0)×12+2+0=2.答案 (1)C (2)C
方法技巧 1.对于函数单调性与奇偶性的综合问题,常利用奇、偶函数的图象的对称性,以及奇、偶函数在关于原点对称的区间上的单调性求解.2.函数周期性与奇偶性的综合问题多是求值问题,常利用奇偶性及周期性进行变换,将所求函数值的自变量转换到已知函数解析式的函数的定义域内求解.3.函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质,在高考中常常将它们综合在一起命题,在解题时,往往需要先借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性,即实现区间的转换,再利用单调性解决相关问题.
高分帮·“双一流”名校冲刺
通思想∙ 方法指导思想方法 利用减元法解决多元变量的最值问题提能力 ∙ 数学探索数学探索 函数奇偶性的拓广性质及应用
思想方法 利用减元法解决多元变量的最值问题
在数学中经常碰到求含有多个变量的最值问题,此类题目题型众多,解法也很多,学生在面对含有多个变量的问题时,最大的困扰是不知从何处入手.对于高中生,主要掌握的是一元变量的最值问题.因此,解决多元变量的最值问题,减元是常见的方法.常见的减元法有以下三种.1.代入减元示例13 设?,y是正实数,且2?+8y-?y=0,则?+y的最小值为 .
数学探索 函数奇偶性的拓广性质及应用
函数的奇偶性是高考的重点内容之一,特别是与函数其他性质的综合应用更加突出,这类问题从通性通法的角度来处理,显得较为烦琐,若能灵活利用函数的奇偶性的性质,常能达到化难为易、事半功倍的效果.以下归纳出奇、偶函数的一组性质及其应用.性质1 若函数f(?)是奇函数,且g(?)=f(?)+c,则必有g(-?)+g(?)=2c证明 由于函数f(?)是奇函数,所以f(-?)=-f(?),所以g(-?)+g(?)=f(-?)+c+f(?)+c=2c.
示例16 (1)已知函数f(?)=a?3+bsin ?+4(a,b∈R),f(lg(lg210))=5,则f(lg(lg 2))= A.-5B.-1C.3D.4(2)对于函数f(?)=asin ?+b?+c(其中a,b∈R,c∈Z),选取a,b,c的一组值计算f(1)和f(-1),所得出的正确结果不可能是A.4和6B.3和1C.2和4D.1和2
解析 (1)设g(?)=a?3+bsin ?,则f(?)=g(?)+4,且函数g(?)为奇函数.又lg(lg 2)+lg(lg210)=lg(lg 2·lg210)=lg 1=0,所以f(lg(lg 2))+f(lg(lg210))=2×4=8,又f(lg(lg210))=5,所以f(lg(lg 2))=3.
(2)设g(?)=asin ?+b?,则f(?)=g(?)+c,且函数g(?)为奇函数.注意到c∈Z,所以f(1)+f(-1)=2c为偶数.结合选项可知只有D项不满足,故选D.答案 (1)C (2)D点评 由以上例题可知,这类问题的求解关键在于观察函数的结构,构造出一个奇函数.有些问题是简单的,直接应用即可,但有些问题是复杂的,需要变形才能应用.
考点1 函数的单调性与最值考点2 函数的奇偶性考点3 函数的周期性
考法1 确定函数的单调性（单调区间）
考法2 函数单调性的应用
考法3 求函数的最值（值域）考法4 判断函数的奇偶性考法5 函数奇偶性的应用考法6 函数周期性的判断及应用考法7 函数性质的综合应用
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数学探索 函数奇偶性的拓广性质及应用
思想方法 利用减元法解决多元变量的最值问题
考点1 函数的单调性与最值
1.单调函数的定义及几何意义
名师提醒 1.函数的单调性定义中的?1,?2有三个特征:一是任意性;二是有大小,即?1?2);三是属于同一个区间,三者缺一不可.2.单调区间只能用区间表示,不能用不等式表示.3.求函数单调区间或讨论函数单调性时,必须先求函数的定义域.4.一个函数的同一种单调区间用“和”或“,”连接,不能用“∪”连接.5.“函数的单调区间是M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念,显然N ⊆M.
3.函数单调性常用结论若函数f (?),g(?)在区间I上具有单调性,则在区间I上有:(1)f (?)与f (?)+c(c为常数)单调性相同.(2)f(?)与a·f (?)在a>0时单调性相同,在a<0时单调性相反.(3)当f (?),g (?)都是增(减)函数时,f (?)+g (?)是增(减)函数;若两者都恒大于零,则f (?)·g (?)也是增(减)函数;若两者都恒小于零,则 f (?)·g (?)是减(增)函数.
考点2 函数的奇偶性
函数奇偶性的概念及性质
注意 既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型,即f(?)=0,?∈D.其中定义域D是关于原点对称的非空数集.
规律总结 一些重要类型的奇偶函数
考点3 函数的周期性
(6)若函数f (?)的图象关于直线?=a与?=b对称,那么函数f(?)的周期为2|b-a|;(7)若函数f (?)的图象既关于点(a,0)对称,又关于点(b,0)对称,则函数f (?)的周期是2|b-a|;(8)若函数f(?)的图象既关于直线?=a对称,又关于点(b,0)对称,则函数f (?)的周期是4|b-a|;(9)若函数f(?)是偶函数,其图象关于直线?=a对称,则其周期为2a;(10)若函数f(?)是奇函数,其图象关于直线?=a对称,则其周期为4a.
考法1 确定函数的单调性（单调区间）考法2 函数单调性的应用考法3 求函数的最值（值域）考法4 判断函数的奇偶性考法5 函数奇偶性的应用考法6 函数周期性的判断及应用考法7 函数性质的综合应用
考法1 确定函数的单调性(单调区间)
示例2 [2017全国卷Ⅱ,8,5分][文]函数f(?)=ln(?2-2?-8)的单调递增区间是 A.(-∞,-2)B.(-∞,1) C.(1,+∞) D.(4,+∞)解析 (复合法)由?2-2?-8>0,得?<-2或?>4.因此,函数f(?)=ln(?2-2?-8)的定义域是(-∞,-2)∪(4,+∞). …………………(先求函数f(?)的定义域)易知函数y=?2-2?-8在(-∞,-2)上单调递减,在(4,+∞)上单调递增,函数y=ln t 为(0,+∞)上的增函数,由复合函数的单调性知,f(?)=ln(?2-2?-8)的单调递增区间是(4,+∞).答案 D
方法技巧 判断函数的单调性和求单调区间的方法(1)定义法:一般步骤为设元—作差—变形—判断符号—得出结论.(2)图象法:若f(?)是以图象形式给出的,或者f(?)的图象易作出,则可由图象的上升或下降确定单调性.(3)导数法:先求导数,再利用导数值的正负确定函数的单调区间.(4)性质法:对于由基本初等函数的和、差构成的函数,根据各基本初等函数的增减性及“增+增=增,增-减=增,减+减=减,减-增=减”进行判断.(5)复合法:对于复合函数,先将函数f (g(? ))分解成f (t )和t =g (?),然后讨论(判断)这两个函数的单调性,再根据复合函数“同增异减”的规则进行判断.
考法2 函数单调性的应用
方法技巧 利用函数的单调性比较大小的方法比较函数值的大小时,若自变量的值不在同一个单调区间内,则要利用函数的性质,将自变量的值转化到同一个单调区间上进行比较,对于选择题、填空题通常选用数形结合的方法进行求解.
命题角度2 求解不等式示例4 (1)[2017全国卷Ⅰ,5,5分]函数f (?)在(-∞,+∞)上单调递减,且为奇函数.若f (1)=-1,则满足-1≤f (?-2)≤1的?的取值范围是A.[-2,2] B.[-1,1]C.[0,4] D.[1,3](2)已知函数f (?)=-?|? |,?∈(-1,1),则不等式f (1-m)
考法3 求函数的最值(值域)
考法3 求函数的最值(值域)
方法技巧 求函数最值(值域)的方法(1)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性结合端点值求出最值(值域).(2)图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点求出最值(值域),若函数的解析式的几何意义较明显,如距离、斜率等,可用数形结合法求解.(3)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求最值(值域).
考法4 判断函数的奇偶性
(3)当?<0时,-?>0,则f(-?)=-(-?)2-?=-(?2+?)=-f(?);当?>0时,-?<0,则f(-?)=(-?)2-?=-(-?2+?)=-f(?).又f (0)=0,故对任意的?∈(-∞,+∞),都有f(-?)=-f(?), ………. (只有当所有区间上都满足相同关系时,才能判定其奇偶性)所以f (?)为奇函数.
方法技巧 判断函数奇偶性的方法(1)定义法
(3)性质法设f(?),g(?)的定义域分别是D1,D2,那么在它们的公共定义域上,有下面结论:
注意 1.函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件.2.对于分段函数奇偶性的判断,要分段判断f(-?)=f(?)或f(-?)=-f(?)是否成立,只有当所有区间都满足相同关系时,才能判断该分段函数的奇偶性.
考法5 函数奇偶性的应用
方法技巧 函数奇偶性的应用类型及解题策略
易错警示 (1)当能确定函数在0处有定义时,f(0)=0只是f(?)为奇函数的必要非充分条件,用其求出参数值后,还要验证这个值是不是函数为奇函数的充分条件;(2)当不能确定函数在0处是否有定义时,f(0)=0是f(?)为奇函数的既不充分也不必要条件,这时只能用奇函数的定义或其他方法求参数的值.
考法6 函数周期性的判断及应用
方法技巧 1.判断函数的周期性时,只需证明f(?+T)=f(?)(T≠0)便可证明函数是周期函数,且周期为T,函数的周期性常与函数的其他性质综合命题.2.根据函数的周期性,可以由函数的局部性质得到函数的整体性质,即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能.在解决具体问题时,要注意结论:若T是函数的周期,则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期.
考法7 函数性质的综合应用
(2)解法一 ∵f(?)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,∴f(-?)=-f(?),且f(0)=0.∵f(1-?)=f(1+?),∴f(-?)=f(2+?),∴f(2+?)=-f(?),∴f(4+?)=-f(2+?)=f(?),∴f(?)是周期函数,且一个周期为4,∴f(4)=f(0)=0,f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=0,f(3)=f(1+2)=f(1-2)=-f(1)=-2,∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+…+f(50)=12×0+f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2.
解法二 因为函数f(?)满足f(1-?)=f(1+?),可知f(?)的图象关于直线?=1对称.又f(?)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,所以f(0)=0,且已知f(1)=2,计算可得:f(2)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,f(4)=f(-2)=-f(2)=0,f(5)=f(-3)=-f(3)=2,f(6)=f(-4)=-f(4)=0,f(7)=f(-5)=-f(5)=-2,f(8)=f(-6)=-f(6)=0,……所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(49)+f(50)=(2+0-2+0)×12+2+0=2.答案 (1)C (2)C
方法技巧 1.对于函数单调性与奇偶性的综合问题,常利用奇、偶函数的图象的对称性,以及奇、偶函数在关于原点对称的区间上的单调性求解.2.函数周期性与奇偶性的综合问题多是求值问题,常利用奇偶性及周期性进行变换,将所求函数值的自变量转换到已知函数解析式的函数的定义域内求解.3.函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质,在高考中常常将它们综合在一起命题,在解题时,往往需要先借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性,即实现区间的转换,再利用单调性解决相关问题.
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数学探索 函数奇偶性的拓广性质及应用
函数的奇偶性是高考的重点内容之一,特别是与函数其他性质的综合应用更加突出,这类问题从通性通法的角度来处理,显得较为烦琐,若能灵活利用函数的奇偶性的性质,常能达到化难为易、事半功倍的效果.以下归纳出奇、偶函数的一组性质及其应用.性质1 若函数f(?)是奇函数,且g(?)=f(?)+c,则必有g(-?)+g(?)=2c证明 由于函数f(?)是奇函数,所以f(-?)=-f(?),所以g(-?)+g(?)=f(-?)+c+f(?)+c=2c.
示例16 (1)已知函数f(?)=a?3+bsin ?+4(a,b∈R),f(lg(lg210))=5,则f(lg(lg 2))= A.-5B.-1C.3D.4(2)对于函数f(?)=asin ?+b?+c(其中a,b∈R,c∈Z),选取a,b,c的一组值计算f(1)和f(-1),所得出的正确结果不可能是A.4和6B.3和1C.2和4D.1和2
解析 (1)设g(?)=a?3+bsin ?,则f(?)=g(?)+4,且函数g(?)为奇函数.又lg(lg 2)+lg(lg210)=lg(lg 2·lg210)=lg 1=0,所以f(lg(lg 2))+f(lg(lg210))=2×4=8,又f(lg(lg210))=5,所以f(lg(lg 2))=3.
(2)设g(?)=asin ?+b?,则f(?)=g(?)+c,且函数g(?)为奇函数.注意到c∈Z,所以f(1)+f(-1)=2c为偶数.结合选项可知只有D项不满足,故选D.答案 (1)C (2)D点评 由以上例题可知,这类问题的求解关键在于观察函数的结构,构造出一个奇函数.有些问题是简单的,直接应用即可,但有些问题是复杂的,需要变形才能应用.
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