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2022版高三全国统考数学（文）大一轮备考课件：第8章第2讲 空间点、直线、平面之间的位置关系
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这是一份2022版高三全国统考数学（文）大一轮备考课件：第8章第2讲 空间点、直线、平面之间的位置关系，共32页。PPT课件主要包含了考点帮·必备知识通关，考法帮·解题能力提升，提能力∙数学探索，考情解读，四个公理，图8-2-3，答案B，方法技巧，思维导引等内容，欢迎下载使用。
考点1 平面的基本性质
考点2 空间中直线间的位置关系
考点3 空间中直线、平面间的位置关系
考法1 平面的基本性质及应用
考法2 空间两直线的位置关系
考法3 求异面直线所成的角
高分帮 ·“双一流”名校冲刺
数学探索 立体几何中的动态问题
考点1 平面的基本性质考点2 空间中直线间的位置关系考点3 空间中直线、平面间的位置关系
考点1 平面的基本性质
2.公理2的推论推论1 经过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面.推论2 经过两条相交直线,有且只有一个平面.推论3 经过两条平行直线,有且只有一个平面.
考点2 空间中直线间的位置关系
1.空间两直线的位置关系
说明 (1)过平面外一点A和平面内一点B的直线,与平面内不过点B的直线是异面直线;(2)异面直线既不平行,也不相交;(3)异面直线不具有传递性,即若直线a与b异面,b与c异面,则a与c不一定是异面直线.
2.等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.3.异面直线所成的角
考点3 空间中直线、平面间的位置关系
规律总结 唯一性定理(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.(2)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.(3)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.(4)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
考法1 平面的基本性质及应用考法2 空间两直线的位置关系考法3 求异面直线所成的角
考法1 平面的基本性质及应用
示例1 [2020全国卷Ⅱ,16,5分][文]设有下列四个命题:p1:两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.p2:过空间中任意三点有且仅有一个平面.p3:若空间两条直线不相交,则这两条直线平行.p4:若直线l⊂平面α,直线m⊥平面α,则m⊥l.则下述命题中所有真命题的序号是 . ①p1∧p4 ②p1∧p2 ③¬p2∨p3④¬p3∨¬p4
解析 对于p1,由题意设直线l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C,则A,B,C三点不共线,所以此三点确定一个平面α,则A∈α,B∈α,C∈α,所以AB⊂α,BC⊂α,CA⊂α,即l1⊂α,l2⊂α,l3⊂α,所以p1是真命题.对于p2,当A,B,C三点不共线时,过A,B,C三点有且仅有一个平面;当A,B,C三点共线时,过A,B,C的平面有无数个,所以p2是假命题,¬p2是真命题.对于p3,若空间两条直线不相交,则这两条直线可能平行,也可能异面,所以p3是假命题,¬p3是真命题.对于p4,很显然p4是真命题,则¬p4是假命题.故p1∧p4为真命题,p1∧p2为假命题,¬p2∨p3为真命题,¬p3∨¬p4为真命题.综上可知,真命题的序号是①③④.
易错警示 解答本题时,需注意以下易错点:(1)判断命题p2时,忽视三点在同一条直线上的情况,从而误认为p2为真命题;(2)判断命题p3时,易受同一平面内的影响,误认为两条直线不是相交就是平行,从而误认为p3为真命题.
示例2 [截面交线问题]已知ABCD-A1B1C1D1是正方体,在图8-2-2(1)中,E,F分别是D1C1,B1B的中点,画出图8-2-2(1)(2)中有阴影的平面与平面ABCD的交线,并给出证明.
解析 在图8-2-3(1)中,过点E作EN∥B1B交CD于点N,连接NB并延长交EF的延长线于点M,连接AM,则AM即为有阴影的平面与平面ABCD的交线.在图8-2-3(2)中,过点C1作C1M∥A1B交DC的延长线于点M,连接BM,则BM即为有阴影的平面与平面ABCD的交线.
证明如下:在图8-2-3(1)中,因为直线EN∥BF,所以B,N,E,F四点共面,因此EF与BN相交,交点为M.因为M∈EF,且M∈NB,而EF⊂平面AEF,NB⊂平面ABCD,所以M是平面ABCD与平面AEF的公共点.又因为点A是平面AEF和平面ABCD的公共点,故AM为两平面的交线;在图8-2-3(2)中,C1M在平面DCC1D1内,因此C1M与DC的延长线相交,交点为M,则点M为平面A1C1B与平面ABCD的公共点,又点B是这两个平面的公共点,因此直线BM是两平面的交线.
点评 本题解题关键在于构造平面,可考虑过一条直线及另一条直线上的点作平面,进而找出两平面的交线.
方法技巧1.证明点共线问题的常用方法
2.证明线共点问题的常用方法先证两条直线交于一点,再证明第三条直线经过该点.3.证明点、直线共面问题的常用方法
考法2 空间两直线的位置关系
示例3 [2019全国卷Ⅲ,8,5分][文]如图8-2-4,点N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是线段ED的中点,则A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线B.BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线
考法3 求异面直线所成的角
解析(平移法) 如图8-2-5所示,将直三棱柱ABC-A1B1C1补成直四棱柱ABCD-A1B1C1D1,连接AD1,B1D1,则AD1∥BC1,所以∠B1AD1或其补角为异面直线AB1与BC1所成的角.(补形平移)
方法技巧 用平移法求异面直线所成角的具体步骤
高分帮·“双一流”名校冲刺
提能力 ∙ 数学探索数学探索 立体几何中的动态问题
分析动点P在三棱锥表面形成的轨迹的形状
由弧长公式计算动点P在三棱锥表面形成的轨迹的长度
数学探索 立体几何中的动态问题
考点1 平面的基本性质
考点2 空间中直线间的位置关系
考点3 空间中直线、平面间的位置关系
考法1 平面的基本性质及应用
考法2 空间两直线的位置关系
考法3 求异面直线所成的角
高分帮 ·“双一流”名校冲刺
数学探索 立体几何中的动态问题
考点1 平面的基本性质考点2 空间中直线间的位置关系考点3 空间中直线、平面间的位置关系
考点1 平面的基本性质
2.公理2的推论推论1 经过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面.推论2 经过两条相交直线,有且只有一个平面.推论3 经过两条平行直线,有且只有一个平面.
考点2 空间中直线间的位置关系
1.空间两直线的位置关系
说明 (1)过平面外一点A和平面内一点B的直线,与平面内不过点B的直线是异面直线;(2)异面直线既不平行,也不相交;(3)异面直线不具有传递性,即若直线a与b异面,b与c异面,则a与c不一定是异面直线.
2.等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.3.异面直线所成的角
考点3 空间中直线、平面间的位置关系
规律总结 唯一性定理(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.(2)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.(3)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.(4)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
考法1 平面的基本性质及应用考法2 空间两直线的位置关系考法3 求异面直线所成的角
考法1 平面的基本性质及应用
示例1 [2020全国卷Ⅱ,16,5分][文]设有下列四个命题:p1:两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.p2:过空间中任意三点有且仅有一个平面.p3:若空间两条直线不相交,则这两条直线平行.p4:若直线l⊂平面α,直线m⊥平面α,则m⊥l.则下述命题中所有真命题的序号是 . ①p1∧p4 ②p1∧p2 ③¬p2∨p3④¬p3∨¬p4
解析 对于p1,由题意设直线l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C,则A,B,C三点不共线,所以此三点确定一个平面α,则A∈α,B∈α,C∈α,所以AB⊂α,BC⊂α,CA⊂α,即l1⊂α,l2⊂α,l3⊂α,所以p1是真命题.对于p2,当A,B,C三点不共线时,过A,B,C三点有且仅有一个平面;当A,B,C三点共线时,过A,B,C的平面有无数个,所以p2是假命题,¬p2是真命题.对于p3,若空间两条直线不相交,则这两条直线可能平行,也可能异面,所以p3是假命题,¬p3是真命题.对于p4,很显然p4是真命题,则¬p4是假命题.故p1∧p4为真命题,p1∧p2为假命题,¬p2∨p3为真命题,¬p3∨¬p4为真命题.综上可知,真命题的序号是①③④.
易错警示 解答本题时,需注意以下易错点:(1)判断命题p2时,忽视三点在同一条直线上的情况,从而误认为p2为真命题;(2)判断命题p3时,易受同一平面内的影响,误认为两条直线不是相交就是平行,从而误认为p3为真命题.
示例2 [截面交线问题]已知ABCD-A1B1C1D1是正方体,在图8-2-2(1)中,E,F分别是D1C1,B1B的中点,画出图8-2-2(1)(2)中有阴影的平面与平面ABCD的交线,并给出证明.
解析 在图8-2-3(1)中,过点E作EN∥B1B交CD于点N,连接NB并延长交EF的延长线于点M,连接AM,则AM即为有阴影的平面与平面ABCD的交线.在图8-2-3(2)中,过点C1作C1M∥A1B交DC的延长线于点M,连接BM,则BM即为有阴影的平面与平面ABCD的交线.
证明如下:在图8-2-3(1)中,因为直线EN∥BF,所以B,N,E,F四点共面,因此EF与BN相交,交点为M.因为M∈EF,且M∈NB,而EF⊂平面AEF,NB⊂平面ABCD,所以M是平面ABCD与平面AEF的公共点.又因为点A是平面AEF和平面ABCD的公共点,故AM为两平面的交线;在图8-2-3(2)中,C1M在平面DCC1D1内,因此C1M与DC的延长线相交,交点为M,则点M为平面A1C1B与平面ABCD的公共点,又点B是这两个平面的公共点,因此直线BM是两平面的交线.
点评 本题解题关键在于构造平面,可考虑过一条直线及另一条直线上的点作平面,进而找出两平面的交线.
方法技巧1.证明点共线问题的常用方法
2.证明线共点问题的常用方法先证两条直线交于一点,再证明第三条直线经过该点.3.证明点、直线共面问题的常用方法
考法2 空间两直线的位置关系
示例3 [2019全国卷Ⅲ,8,5分][文]如图8-2-4,点N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是线段ED的中点,则A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线B.BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线
考法3 求异面直线所成的角
解析(平移法) 如图8-2-5所示,将直三棱柱ABC-A1B1C1补成直四棱柱ABCD-A1B1C1D1,连接AD1,B1D1,则AD1∥BC1,所以∠B1AD1或其补角为异面直线AB1与BC1所成的角.(补形平移)
方法技巧 用平移法求异面直线所成角的具体步骤
高分帮·“双一流”名校冲刺
提能力 ∙ 数学探索数学探索 立体几何中的动态问题
分析动点P在三棱锥表面形成的轨迹的形状
由弧长公式计算动点P在三棱锥表面形成的轨迹的长度
数学探索 立体几何中的动态问题
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