2020-2021学年河南省南阳市高二（下）5月联考数学试卷北师大版

这是一份2020-2021学年河南省南阳市高二（下）5月联考数学试卷北师大版，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 复数z=1+ai1+ia∈R在复平面内对应的点在虚轴上，则a等于（ ）
A.2B.−1C.1D.−2

2. 设函数f(x)在x=1处存在导数为2，则limΔx→0f(1+Δx)−f(1)3Δx=( )
A.23B.6C.13D.12

3. 利用数学归纳法证明“n+1n+2… n+n=2n×1×3×⋯×2n−1，n∈N∗”时，从“n=k”变到“n=k+1”时，左边应增乘的因式是（ ）
A.2k+1B.2k+1k+1C.2k+12k+2D.22k+1

4. “学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台，现日益成为老百姓了解国家动态、紧跟时代脉搏的热门APP，该款软件主要设有“阅读文章”“视听学习”两个学习板块和“每日答题”“每周答题”“专项答题”“挑战答题”四个答题板块．某人在学习过程中，“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间最多间隔一个答题板块的学习方法有( )
A.192 种B.240 种C.432 种D.528 种

5. 已知X∼B5,13，则P32≤X≤72=( )
A.80243 B.40243 C.4081D.8081

6. 从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到两个数均为偶数”，则P(B|A)=( )
A. 18 B.14C.25D.12

7. 在《九章算术》方田章圆田术（刘徽注）中指出，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”注述中所用的割圆术是一种无限与有限的转化过程，比如在2+2+2+⋯中“⋯”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程x+2=x确定出来x=2，类比上述结论可得lg2[2+lg2(2+lg2(2+⋯))]的正值为( )
A.1B.2C.2D.4

8. 已知随机变量X∼N(2, 1)，其正态分布密度曲线如图所示，若向长方形OABC中随机投掷1点，则该点恰好落在阴影部分的概率为( )
附：若随机变量ξ∼N(μ, σ2)，则P(μ−σEx2，
∴乙可能被淘汰．
②甲先出题且甲获胜的概率：
P1=0.6+0.4×0.3×0.6+0.42×0.32×0.6+0.43×0.33×0.6+⋯，
此为等比数列求和，
P1=15221−0.12n≈1522，
乙先出题乙获胜的概率：
P2=0.7+0.3×0.4×0.7+0.32×0.42×0.7+0.33×0.43×0.7+⋯，
此为等比数列求和，
P2=35441−0.12n≈3544,
则甲获胜的概率约为1−3544=944，
∵1522>944，
∴ 甲先出题甲获胜的概率大．
【答案】
解：(1)∵ fx=ax3+bx2−3x+c，
∴ f′x=3ax2+2bx−3．
又∵ fx在x=±1处取很极值，
∴ f′1=0,f′−1=0,
即3a+2b−3=0,3a−2b−3=0,
解得a=1,b=0,
∴ f′x=3x2−3，fx=x3−3x+c．
当x变化时，f′x的变化情况如下表：
要使函数y=fx有三个不同零点，
则f1=2+c>0,f−1=−2+c2
⇔lnx1−lnx2x1−x2>2x1+x2
⇔lnx1x2>2(x1−x2)x1+x2
⇔lnx1x2>2x1x2−1x1x2+1（∗）
令x1x2=t，
则t>1，
所以（∗）⇔lnt−2t−1t+1>0．
令kt=lnt−2t−1t+1，t>1．
则k′t=1t+−4t+12=t−12tt+12>0，
所以k(t)在(1,+∞)上调递增，
即kt>k1=0．
综上，b≤e2．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究不等式恒成立问题
函数零点的判定定理
利用导数研究函数的最值
【解析】
无
无
【解答】
(1)证明：f′x=1x−12ex=2e−xex2ex．
令gx=2e−xex，
则g′x=−x+1ex0，g2=2e−2e20，
所以f′x=gx2ex在12,2存在唯一零点.
(2)解：因为fx=lnx−ex−12，fx−ℎx=ax−ex−12a∈R
所以ℎx=lnx−axa∈R．
不妨设x1>x2>0，
因为ℎx1=ℎx2=0，
所以lnx1−ax1=0，lnx2−ax2=0，
所以lnx1+lnx2=ax1+x2，lnx1−lnx2=ax1−x2．
因为x1>0，x2>0，
而要求满足x1x2>b的b的最大，
所以只需证明x1x2>e2，
所以x1x2>e2⇔lnx1+lnx2>2⇔ax1+x2>2
⇔lnx1−lnx2x1−x2>2x1+x2
⇔lnx1x2>2(x1−x2)x1+x2
⇔lnx1x2>2x1x2−1x1x2+1（∗）
令x1x2=t，
则t>1，
所以（∗）⇔lnt−2t−1t+1>0．
令kt=lnt−2t−1t+1，t>1．
则k′t=1t+−4t+12=t−12tt+12>0，
所以k(t)在(1,+∞)上调递增，
即kt>k1=0．
综上，b≤e2．中奖人
预测结果
甲
乙
丙
丁
甲
​
×
×
×
乙
​
×
​
​
丙
×
×
​
​
丁
×
​
×
​
X
0
1
2
3
P
16
16
13
13
X
0
1
2
3
P
16
16
13
13
x
−∞,−1
−1
−1,1
1
1,+∞
f′x
+
0
−
0
+
fx
↗
2+c
↘
−2+c
↗
x
−∞,−1
−1
−1,1
1
1,+∞
f′x
+
0
−
0
+
fx
↗
2+c
↘
−2+c
↗