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    专题23 与三角函数有关的应用题 冲刺2019高考数学二轮复习核心考点

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    专题23 与三角函数有关的应用题 冲刺2019高考数学二轮复习核心考点

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    这是一份专题23 与三角函数有关的应用题 冲刺2019高考数学二轮复习核心考点,主要包含了自主热身,归纳总结,问题探究,变式训练等内容,欢迎下载使用。
    【自主热身,归纳总结】
    1、如图,两座建筑物AB,CD的高度分别是9 m和15 m,从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的张角∠CAD=45°,则这两座建筑物AB和CD的底部之间的距离BD=________m.
    【答案】 18
    【解析】:设BD=x m,作AH⊥CD,垂足为H,记∠HAC=α,∠HAD=β,则α+β=45°.
    因为tanα=eq \f(6,x),tanβ=eq \f(9,x),且tan(α+β)=1,得eq \f(\f(6,x)+\f(9,x),1-\f(6,x)·\f(9,x))=1,
    即x2-15x-54=0,即(x+3)(x-18)=0,解得x=18.
    eq \a\vs4\al(解后反思) 在解方程的过程中,若记eq \f(3,x)=t,则5t=1-6t2,因为方程中出现的系数较小,所以更易解出方程的根.
    2.如图1,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=100 m,则山高MN=________m.
    【答案】 150
    【解析】 根据图示,AC=100eq \r(2) m.在△MAC中,
    ∠CMA=180°-75°-60°=45°.由正弦定理得eq \f(AC,sin 45°)=eq \f(AM,sin 60°)⇒AM=100eq \r(3) m.在△AMN中,eq \f(MN,AM)=sin 60°,∴MN=100eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)=150(m).
    3.如图2,某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB,C是该小区的一个出入口,且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟,从D沿着DC走到C用了3分钟.若此人步行的速度为每分钟50米,则该扇形的半径为________米.
    【答案】
    4、如图,某城市有一块半径为40 m的半圆形绿化区域(以O 为圆心,AB为直径),现计划对其进行改建.在AB的延长线上取点D,OD=80 m,在半圆上选定一点C,改建后的绿化区域由扇形区域AOC和三角形区域COD组成,其面积为S m2.设∠AOC=x rad.
    (1) 写出S关于x的函数关系式S(x),并指出x的取值范围;
    (2) 试问∠AOC多大时,改建后的绿化区域面积S取得最大值?
    思路分析 对于(1),面积S由两部分组成,一个是扇形面积,根据扇形面积公式S=eq \f(1,2)αr2可得,另一个是△OCD的面积,根据三角形的面积公式eq \f(1,2)absinC可得;对于(2),注意到所研究的函数不是基本初等函数,因此,采用导数法来研究它的最值.
    【解析】: (1) 因为扇形AOC的半径为40 m,∠AOC=x rad,所以扇形AOC的面积S扇形AOC=eq \f(x·OA2,2)=800x,0<x<π.(2分)
    在△COD中,OD=80,OC=40,∠COD=π-x,
    所以△COD的面积S△COD=eq \f(1,2)OC·OD·sin∠COD=1 600sin(π-x)=1 600sinx,(4分)
    从而S=S△COD+S扇形AOC=1600sinx+800x,0<x<π.(6分)
    【问题探究,变式训练】
    例1、如图,准备在墙上钉一个支架,支架由两直杆AC与BD焊接而成,焊接点D把杆AC分成AD,CD两段,其中两固定点A,B间距离为1米,AB与杆AC的夹角为60°,杆AC长为1米.若制作AD段的成本为a元/米,制作CD段的成本是2a元/米,制作杆BD的成本是4a元/米.设∠ADB=α,制作整个支架的总成本记为S元.
    (1) 求S关于α的函数表达式,并指出α的取值范围;
    (2) 问AD段多长时,S最小?
    【解析】: (1) 在△ABD中,由正弦定理得eq \f(1,sinα)=eq \f(BD,sin\f(π,3))=eq \f(AD,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)-α))),(1分)
    所以BD=eq \f(\r(3),2sinα),AD=eq \f(\r(3)csα,2sinα)+eq \f(1,2),(3分)
    则S=aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3)csα,2sinα)+\f(1,2)))+2aeq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3)csα,2sinα)+\f(1,2)))))+4aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2sinα)))=aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4\r(3)-\r(3)csα,2sinα)+\f(3,2))),α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3),\f(2π,3))).(7分)
    (2) 令S′=eq \r(3)a·eq \f(1-4csα,2sin2α)=0,设csα0=eq \f(1,4).(9分)
    (11分)
    所以当csα=eq \f(1,4)时,S最小,此时sinα=eq \f(\r(15),4),AD=eq \f(\r(3)csα,2sinα)+eq \f(1,2)=eq \f(5+\r(5),10).(12分)
    答:(1)S关于α的函数表达式为S=aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4\r(3)-\r(3)csα,2sinα)+\f(3,2))),且α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3),\f(2π,3)));
    (2)当AD=eq \f(5+\r(5),10)时,S最小.(14分)
    【变式1】、 如图,某景区内有一半圆形花圃,其直径AB为6,O是圆心,且OC⊥AB.在OC上有一座观赏亭Q,其中∠AQC=eq \f(2π,3).计划在eq \(BC,\s\up8(︵))上再建一座观赏亭P,记∠POB=θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(00,所以当tanα=eq \f(\r(2),2)时,α取最大值.
    答:游客在观赏亭P处的观赏效果最佳时,sinθ=eq \f(\r(3),3).(16分)
    【变式2】、 ))(2017苏锡常镇调研(一))(C13,17. (本小题满分14分)
    某单位将举办庆典活动,要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC(如图).设计要求彩门的面积为S(单位:m2),高为h(单位:m)(S,h为常数).彩门的下底BC固定在广场底面上,上底和两腰由不锈钢支架构成,设腰和下底的夹角为α,不锈钢支架的长度之和记为l.
    (1) 请将l表示成关于α的函数l=f(α);
    (2) 问:当α为何值时l最小,并求最小值.
    (2) f′(α)=h·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(-2csα,sin2α)-\f(-1,sin2α)))=h·eq \f(1-2csα,sin2α),(8分)
    令f′(α)=h·eq \f(1-2csα,sin2α)=0,得α=eq \f(π,3).(9分)
    当α变化时,f′(α),f(α)的变化情况如下表:
    所以lmin=feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))=eq \r(3)h+eq \f(S,h).(12分)
    答:(1) l表示成关于α的函数为l=f(α)=eq \f(S,h)+heq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,sinα)-\f(1,tanα)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0<α<\f(π,2)));
    (2) 当α=eq \f(π,3)时,l有最小值,为eq \r(3)h+eq \f(S,h).(14分)
    【变式3】、 在一水域上建一个演艺广场.演艺广场由看台Ⅰ,看台Ⅱ,三角形水域ABC,及矩形表演台BCDE四个部分构成(如图).看台Ⅰ,看台Ⅱ是分别以AB,AC为直径的两个半圆形区域,且看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍;矩形表演台BCDE中,CD=10米;三角形水域ABC的面积为400eq \R(,3)平方米.设∠BAC=θ.
    (1)求BC的长(用含θ的式子表示);
    (2)若表演台每平方米的造价为0.3万元,求表演台的最低造价.
    【解析】:(1)因为看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍,所以AB= eq \r(3)AC.
    在△ABC中,S△ABC= eq \f(1,2)AB•AC•sinθ=400 eq \r(3),
    所以AC2= eq \f(800,sinθ) . …………………… 3分
    由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB•AC•csθ,
    =4AC2-2 eq \r(3)AC2 csθ.
    =(4-2 eq \r(3)csθ) eq \f(800,sinθ) ,
    即BC= eq \r((4-2 eq \r(3)csθ)• eq \f(800,sinθ)) =40 eq \r( eq \f(2- eq \r(3)csθ,sinθ)).
    所以 BC=40 eq \r( eq \f(2- eq \r(3)csθ,sinθ)) ,θ∈(0,π). …………………… 7分
    (2)设表演台的总造价为W万元.
    因为CD=10m,表演台每平方米的造价为0.3万元,
    所以W=3BC=120 eq \r( eq \f(2- eq \r(3)csθ,sinθ)) ,θ∈(0,π). …………………… 9分
    记f(θ)= eq \f(2- eq \r(3)csθ,sinθ),θ∈(0,π).
    则f ′(θ)= eq \f( eq \r(3)-2csθ,sin2θ). …………………… 11分
    由f ′(θ)=0,解得θ= eq \f(π,6).
    当θ∈(0, eq \f(π,6))时,f ′(θ)<0;当θ∈( eq \f(π,6),π)时,f ′(θ)>0.
    故f(θ)在(0, eq \f(π,6))上单调递减,在( eq \f(π,6),π)上单调递增,
    从而当θ= eq \f(π,6) 时,f(θ)取得最小值,最小值为f( eq \f(π,6))=1.
    所以Wmin=120(万元).
    答:表演台的最低造价为120万元. …………………… 14分
    例2、如图,海上有A,B两个小岛相距10km,船O将保持观望A岛和B岛所成的视角为60°,现从船O上派下一只小艇沿BO方向驶至C处进行作业,且OC=BO.设AC=xkm.
    (1) 用x分别表示OA2+OB2和OA·OB,并求出x的取值范围;
    (2) 晚上小艇在C处发出一道强烈的光线照射A岛,B岛至光线CA的距离为BD,求BD的最大值.
    【解析】: (1) 在△OAC中,∠AOC=120°,AC=x.
    由余弦定理得OA2+OC2-2OA·OC·cs120°=x2.
    又OC=BO,所以
    OA2+OB2-2OA·OB·cs120°=x2 ①.(2分)
    在△OAB中,AB=10,∠AOB=60°.由余弦定理得
    OA2+OB2-2OA·OB·cs60°=100 ②.(4分)
    ①+②得OA2+OB2=eq \f(x2+100,2).
    ①-②得4OA·OB·cs60°=x2-100,即OA·OB=eq \f(x2-100,2).(6分)
    又OA2+OB2≥2OA·OB,所以eq \f(x2+100,2)≥2×eq \f(x2-100,2),即x2≤300.又OA·OB=eq \f(x2-100,2)>0,即x2>100,所以100,(14分)
    则f(x)在(10,10eq \r(3)]上是单调增函数,所以f(x)的最大值为f(10eq \r(3))=10,即BD的最大值为10.(16分)
    (利用单调性定义证明f(x)在(10,10eq \r(3)上是单调增函数,同样给满分;如果直接说出f(x)在(10,10eq \r(3)]上是增函数,但未给出证明,扣2分)
    【变式1】、如图,某生态农庄内有一直角梯形区域,∥,,百米,百米.该区域内原有道路,现新修一条直道(宽度忽略不计),点
    在道路上(异于两点),.
    (1)用表示直道的长度;
    (2)计划在△区域内种植观赏植物,在△区域内种植经济作物.已知种植
    观赏植物的成本为每平方百米万元,种植经济作物的成本为每平方百米万元,
    新建道路的成本为每百米万元,求以上三项费用总和的最小值.
    【解析】: (1)过点作垂直于线段,垂足为.
    在直角中,因为AB⊥BC,,,所以.
    在直角中,因为,,所以,则,
    C
    B
    A
    (第17题)
    D
    P
    故,
    又,所以.…… 2分
    在中,由正弦定理得,
    所以,. …… 6分
    (2)在中,由正弦定理得,
    所以.
    所以.
    又.
    所以. ………………………… 8分
    设三项费用总和为,

    ,,
    ,.………………………………… 10分
    所以,
    令,则.
    列表:
    所以时,.
    答:以上三项费用总和的最小值为万元.………………………… 14分
    【变式2】、如图,经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB,AC,根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P,分别在两条公路边上建两个仓库M,N (异于村庄A),要求PM=PN=MN=2(单位:km).如何设计,使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)?
    (第17题)
    答:设计∠AMN为60°时,工厂产生的噪声对居民的影响最小.(14分)
    解法2 (构造直角三角形)
    设∠PMB=θ.当0

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