高中北师大版1.2余弦定理当堂检测题

课时分层作业(十二)

(建议用时：60分钟)

[基础达标练]

一、选择题

1．在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120° ，则边c的值是(　　)

A．8　　　 B．2

C．6 D．2

D　[由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcos C＝16＋36－2×4×6cos 120°＝76，所以c＝2，故选D．]

2．在△ABC中，若a＝8，b＝7，cos C＝，则最大角的余弦值是(　　)

A．－ B．－

C．－ D．－

C　[由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝82＋72－2×8×7×＝9，

所以c＝3，故a最大，所以最大角的余弦值为cos A＝＝＝－.]

3．在△ABC中，a，b，c为角A，B，C的对边，且b2＝ac，则B的取值范围是(　　)

A．   B．

C． D．

A　[cos B＝＝＝＋≥，因为0<B<π，所以B∈.]

4．在△ABC中，若bcos A＝acos B，则△ABC是(　　)

A．等边三角形 B．等腰三角形

C．直角三角形 D．锐角三角形

B　[因为bcos A＝acos B，

所以b·＝a·.

所以b2＋c2－a2＝a2＋c2－b2.

所以a2＝b2.

所以a＝b．故此三角形是等腰三角形．]

5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C＝120°，c＝a，则(　　)

A．a>b

B．a<b

C．a＝b

D．a与b的大小关系不能确定

A　[由余弦定理，知c2＝a2＋b2－2abcos C，则2a2＝a2＋b2＋ab，即a2＝b2＋ab，则2＋－1＝0，所以＝<1，所以a>b，故选A．]

二、填空题

6．△ABC的内角，A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcos B＝acos C＋ccos A，则B＝________.

　[依题意得2b×＝a×＋c×，即a2＋c2－b2＝ac，所以2accos B＝ac>0，cos B＝.又0<B<π，所以B＝.]

7．在△ABC中，若a＝2，b＝3，C＝60°，则sin A＝________.

　[由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝4＋9－2×2×3×＝7，

c＝，由正弦定理得sin A＝＝＝.]

8．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，则角C＝________.

　[利用正弦定理、余弦定理求解．

由3sin A＝5sin B，得3a＝5b.

又因为b＋c＝2a，所以a＝b，c＝b，

所以cos C＝＝＝－.

因为C∈(0，π)，所以C＝.]

三、解答题

9．在△ABC中，已知a＝2，b＝2，C＝15°，求角A，B和边c的值.

[解]　由余弦定理知c2＝a2＋b2－2abcos C

＝4＋8－2×2×2×＝8－4，

∴c＝＝＝－.

由正弦定理得sin A＝＝＝＝，

∵b>a，∴B>A，∴A＝30°，

∴B＝180°－A－C＝135°，

∴c＝－，A＝30°，B＝135°.

10．在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccos B·cos C，试判断三角形的形状．

[解]　法一：由＝＝＝2R，则条件化为：4R2sin2C·sin2B＋4R2sin2 C·sin2B＝8R2sin B·sinC·cos B·cos C．又sin B·sin C≠0，

∴sin B·sin C＝cos Bcos C，即cos(B＋C)＝0.

又0°<B＋C<180°，∴B＋C＝90°，

∴A＝90°，故△ABC为直角三角形．

法二：将已知等式变形为：

b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝2bccos B·cos C，即b2＋c2－b2·2－c2·2

＝2bc··，

即b2＋c2＝

＝＝a2，∴A＝90°，

∴△ABC为直角三角形．

[能力提升练]

1．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若>0，则△ABC(　　)

A．一定是锐角三角形

B．一定是直角三角形

C．一定是钝角三角形

D．是锐角或直角三角形

C　[∵>0，∴c2－a2－b2>0，∴a2＋b2<c2，∴△ABC为钝角三角形，故选C．]

2．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D是边BC上一点，DC＝2BD，则·等于(　　)

A．－　　　 B．－

C．－ D．－

B　[由余弦定理得cos∠BAC＝，

解得BC＝，

又cos B＝＝，

解得AD＝，

又，的夹角大小为∠ADB，

cos∠ADB＝

＝＝－，

所以·＝||·||·cos∠ADB＝－.]

3．在△ABC中，∠A＝60°，AC＝1，△ABC的面积为，则BC的长为________．

　[S△ABC＝AB·ACsin A⇒AB＝4，∴BC＝＝.]

4．在△ABC中，三个角A，B，C所对边长分别为a＝3，b＝4，c＝6，则bccos A＋cacos B＋abcos C的值为________．

　[∵bccos A＋cacos B＋abcos C＝bc·＋ca·＋ab·＝(b2＋c2－a2＋a2＋c2－b2＋a2＋b2－c2)＝(a2＋b2＋c2)＝.]

5．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，2cos(A＋B)＝1.

(1)求角C的度数；

(2)求AB的长．

[解]　(1)在△ABC中，cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－，∴C＝120°.

(2)∵a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，

∴a＋b＝2，ab＝2.

根据余弦定理，

AB2＝a2＋b2－2abcos 120°

＝(a＋b)2－ab

＝(2)2－2＝10.

∴AB＝.