2022届一轮复习专题练习9 第68练圆的方程（解析版）

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考点一圆的标准方程
1．设Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，－1))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，1))，则以线段AB为直径的圆的方程是( )
A．(x－3)2＋y2＝2 B．(x－3)2＋y2＝8
C．(x＋3)2＋y2＝2 D．(x＋3)2＋y2＝8
2．圆E经过三点A(0,1)，B(2,0)，C(0，－1)，且圆心在x轴的正半轴上，则圆E的标准方程为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))2＋y2＝eq \f(25,4)
B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3,4)))2＋y2＝eq \f(25,16)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,4)))2＋y2＝eq \f(25,16)
D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,4)))2＋y2＝eq \f(25,4)
3．圆(x－3)2＋(y－1)2＝5关于直线y＝－x对称的圆的方程为( )
A．(x＋3)2＋(y－1)2＝5
B．(x－1)2＋(y－3)2＝5
C．(x＋1)2＋(y＋3)2＝5
D．(x－1)2＋(y＋3)2＝5
4．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，eq \r(5))在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为eq \f(4\r(5),5)，则圆C的方程为________________．
考点二圆的一般方程
5．方程x2＋y2＋2x－4y－6＝0表示的图形是( )
A．以(1，－2)为圆心，eq \r(11)为半径的圆
B．以(1,2)为圆心，eq \r(11)为半径的圆
C．以(－1，－2)为圆心，eq \r(11)为半径的圆
D．以(－1,2)为圆心，eq \r(11)为半径的圆
6．已知方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆有最大的面积，则取最大面积时，该圆的圆心坐标为( )
A．(－1,1) B．(－1,0)
C．(1，－1) D．(0，－1)
7．已知△ABC顶点的坐标分别为Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，3))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5，2))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，0))，则其外接圆的一般方程为__________________．
考点三点与圆的位置关系
8．已知圆的方程是(x－2)2＋(y－3)2＝4，则点P(1,2)( )
A．是圆心 B．在圆上
C．在圆内 D．在圆外
9．已知点(a＋1，a－1)在圆x2＋y2－2ay－4＝0的内部(不包括边界)，则a的取值范围是( )
A．a>1 B．0C．a10．已知P(x，y)是圆x2＋(y－3)2＝a2(a>0)上的动点，定点A(2,0)，B(－2,0)，△PAB的面积的最大值为8，则a的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
11．若a∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－2，0，1，\f(3,4)))，则方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示的圆的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
12．若直线ax＋2by－2＝0(a>0，b>0)始终平分圆x2＋y2－4x－2y－8＝0的周长，则eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)的最小值为( )
A．1 B．5 C．4eq \r(2) D．3＋2eq \r(2)
13．点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，－2))与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是( )
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝1
D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
14．圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝4，直线l：3x＋4y＋c＝0.若圆C上到直线l的距离等于1的点有且仅有2个，则实数c的取值范围是________．
答案精析
1．A [直径AB＝eq \r(4－22＋1＋12)＝2eq \r(2)，所以半径为eq \r(2)，又中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，0))，所以圆的方程为(x－3)2＋y2＝2.]
2．C [根据题意，设圆E的圆心坐标为(a,0)(a>0)，半径为r，
则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－22＝r2，,a2＋0＋12＝r2，,a2＋0－12＝r2，))
解得a＝eq \f(3,4)，r2＝eq \f(25,16).
则圆E的标准方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,4)))2＋y2＝eq \f(25,16).]
3．C [由题意知，所求圆的圆心坐标为(－1，－3)，所以所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋3)2＝5.]
4．(x－2)2＋y2＝9
解析因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，
设C(a,0)，a>0，
所以圆心到直线2x－y＝0的距离d＝eq \f(2a,\r(5))＝eq \f(4\r(5),5)，
解得a＝2，所以圆C的半径r＝|CM|＝eq \r(4＋5)＝3，
所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.
5．D
6．D [由x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0知所表示圆的半径r＝eq \f(1,2)eq \r(k2＋4－4k2)＝eq \f(1,2)eq \r(－3k2＋4)，
要使圆的面积最大，需使半径最大，
所以当k＝0时，rmax＝eq \f(1,2)eq \r(4)＝1，
此时圆的方程为x2＋y2＋2y＝0，
即x2＋(y＋1)2＝1，所以圆心为(0，－1)．]
7．x2＋y2－6x－2y＋5＝0
解析设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将三个点代入得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4D＋3E＋F＋25＝0，,5D＋2E＋F＋29＝0，,D＋F＋1＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝－6，,E＝－2，,F＝5，))所以圆的方程为x2＋y2－6x－2y＋5＝0.
8．C [将点P(1,2)代入圆的左侧得(1－2)2＋(2－3)2＝2<4，故点P在圆内．]
9．D [点(a＋1，a－1)在圆x2＋y2－2ay－4＝0的内部且不包括边界，则把点(a＋1，a－1)代入方程左边代数式，该代数式的值小于0，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋1))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－1))2－2aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－1))－4<0，解得a<1.]
10．A [要使△PAB的面积最大，只需点P到直线AB的距离最大．
由于AB的方程为y＝0，圆心(0,3)到直线AB的距离d＝3，
故P到直线AB的距离的最大值为3＋a.
再根据|AB|＝4，可得△PAB面积的最大值为eq \f(1,2)|AB|·(3＋a)＝2(3＋a)＝8，解得a＝1.]
11．B [方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0，即方程eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(a,2)))2＋(y＋a)2＝1－a－eq \f(3,4)a2，
可以表示圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,2)，－a))，半径为eq \r(1－a－\f(3,4)a2)的圆．
当a＝－2时，1－a－eq \f(3,4)a2为0，不表示圆．
当a＝0时，半径为1，表示一个圆．
当a＝1时，1－a－eq \f(3,4)a2<0，不表示圆．
当a＝eq \f(3,4)时，1－a－eq \f(3,4)a2<0，不表示圆．
综上可得，所给的方程表示的圆的个数为1，所以B选项是正确的．]
12．D [由题意知圆心C(2,1)在直线ax＋2by－2＝0上，
∴2a＋2b－2＝0，整理得a＋b＝1，
∴eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(2,b)))(a＋b)＝3＋eq \f(b,a)＋eq \f(2a,b)
≥3＋2eq \r(\f(b,a)×\f(2a,b))＝3＋2eq \r(2)，
当且仅当eq \f(b,a)＝eq \f(2a,b)，即b＝2－eq \r(2)，a＝eq \r(2)－1时，等号成立．
∴eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)的最小值为3＋2eq \r(2).]
13．A [设圆上任一点为Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(s，t))，P，Q的中点为Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x，y))，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(4＋s,2)，,y＝\f(－2＋t,2)，))
解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(s＝2x－4，,t＝2y＋2，))
代入圆的方程，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－4))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2y＋2))2＝4，
整理，得 (x－2)2＋(y＋1)2＝1.]
14．(－14，－4)∪(6,16)
解析圆C的圆心为(1，－1)，半径r＝2，
圆心到直线l的距离
d＝eq \f(|3－4＋c|,\r(32＋42))＝eq \f(|c－1|,5)，
依题意r－1则1∴5<|c－1|<15，
解得6